《创新设计教师用书》（人教a版理科）高考数学第一轮复习细致讲解练：选修4-4 坐标系与参数方程

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1、选修44坐标系与参数方程第1讲坐标系最新考纲1理解坐标系的作用了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.知 识 梳 理1极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为.

2、有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，那么它们之间的关系为xcos ，ysin_.另一种关系为2x2y2，tan .2直线的极坐标方程假设直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，那么它的方程为：sin()0sin (0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：0和0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过M且平行于极轴：sin b.3圆的极坐标方程假设圆心为M(0，0)，半径

3、为r的圆方程为220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：2acos_；(3)当圆心位于M，半径为a：2asin_.诊 断 自 测1点P的直角坐标为(，)，那么它的极坐标可表示为_解析直接利用极坐标与直角坐标的互化公式答案2假设曲线的极坐标方程为2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，那么该曲线的直角坐标方程为_解析2sin 4cos ，22sin 4cos .x2y22y4x，即x2y22y4x0.答案x2y24x2y03(2021西安五校一模)在极坐标系(，)(02)中，曲线2

4、sin 与cos 1的交点的极坐标为_ 解析2sin 的直角坐标方程为x2y22y0，cos 1的直角坐标方程为x1，联立方程，得解得即两曲线的交点为(1,1)，又02，因此这两条曲线的交点的极坐标为.答案4在极坐标系中，直线l的方程为sin 3，那么点到直线l的距离为_解析直线l的极坐标方程可化为y3，点化为直角坐标为(，1)，点到直线l的距离为2.答案25在极坐标系中，圆4sin 的圆心到直线(R)的距离是_解析将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解，极坐标系中的圆4sin 转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2y24y，即x2(y2)24，其圆心为(0,2)，直线转化为平面直

5、角坐标系中的方程为yx，即x3y0.圆心(0,2)到直线x3y0的距离为.答案考点一极坐标与直角坐标的互化【例1】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点M的直角坐标(，1)化成极坐标解(1)x5cos ，y5sin ，点M的直角坐标是.(2)2，tan .点M在第三象限，0，最小正角.因此，点M的极坐标是.规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否那么点的极坐标将不唯一(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性【训练1】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(，)化成极坐标(0,02)解(1)x8c

6、os 4，y8sin 4，因此，点M的直角坐标是(4,4)(2)2，tan ，又因为点在第四象限，得.因此，点P的极坐标为.考点二直角坐标方程与极坐标方程的互化【例2】 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程解(1)cos1，cos cos sin sin 1.又，xy1.即曲线C的直角坐标方程为xy20.令y0，那么x2；令x0，那么y.M(2,0)，N.M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.(2)M，

7、N连线的中点P的直角坐标为，P的极角为.直线OP的极坐标方程为(R)规律方法 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系以下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境【训练2】 O1和O2的极坐标方程分别为4cos ，4sin .(1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程解以极点的原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位(1)4cos ，两边同乘以，得24cos ；4sin ，两边同乘以，得24sin .由cos x，sin y，2x2y2，得O1，O2的直角坐标方程分别为x2y24x0

8、和x2y24y0.(2)由得4x4y0，即xy0为所求直线方程考点三曲线极坐标方程的应用【例3】 (2021广州调研)在极坐标系中，求直线sin2被圆4截得的弦长解由sin2，得(sin cos )2可化为xy20.圆4可化为x2y216，由圆中的弦长公式得：224.故所求弦长为4.规律方法 在极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决【训练3】 (2021江苏卷)在极坐标系中，圆C经过点P(，)，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程解在sin中令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆

9、C经过点P，所以圆C的半径PC 1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .因无视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误【典例】 (10分)在极坐标系下，假设点P(，)的一个极坐标为，求以为坐标的不同的点的极坐标错解展示甲：解化为直角坐标为(2,2)，故该点与原点的中点坐标为(1，)，化为极坐标为.乙：解4，故2，因此所求极坐标为.标准解答为点P(，)的一个极坐标4或4. (2分)当4时，2k(kZ)，2，k(kZ)(4分)当4时，2k(kZ)，2，k(kZ)(6分)有四个不同的点：P1，P2(kZ)，P3，P4(kZ) (10分)反思感悟甲生解法中将直角坐标系的中点坐标公式应用于极坐标系

10、中的中点，事实上(，)与的关系并不是点(，)与极点的中点为，从几何意义上讲点应满足该点的极角为的，极径为的.乙生解法中满足的几何意义，但由于极坐标系内点的极坐标的不唯一性，还应就点(，)的其他形式的极坐标进行讨论【自主体验】以下各点中与极坐标不表示同一个点的极坐标是_解析因为与表示同一点的坐标有或，其中kZ，所以易得只有不同答案一、填空题1在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是_(填序号)；(1,0)；(1，)解析圆的方程可化为22sin ，由得x2y22y，即x2(y1)21，圆心为(0，1)，化为极坐标为.答案2极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是_(填序号)两个圆；两条直线；一个

11、圆和一条射线；一条直线和一条射线解析由(1)()0(0)得，1或.其中1表示以极点为圆心，半径为1的圆，表示以极点为起点与Ox反向的射线答案3在极坐标系中，点到圆2cos 的圆心的距离为_解析点化为直角坐标为(1，)，方程2cos 化为普通方程为x2y22x0，故圆心为(1,0)，那么点(1，)到圆心(1,0)的距离为.答案4在极坐标系(，)(02)中，曲线(cos sin )1与(sin cos )1的交点的极坐标为_解析曲线(cos sin )1化为直角坐标方程为xy1，(sin cos )1化为直角坐标方程为yx1.联立方程组得那么交点为(0,1)，对应的极坐标为.答案5(2021汕头调

12、研)在极坐标系中，4sin 是圆的极坐标方程，那么点A到圆心C的距离是_解析将圆的极坐标方程4sin 化为直角坐标方程为x2y24y0，圆心坐标为(0,2)又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为2.答案26在极坐标系中，过圆6cos 2sin 的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为_解析由6cos 2sin 26cos 2sin ，所以圆的直角坐标方程为x2y26x2y0，将其化为标准形式为(x3)2(y)211，故圆心的坐标为(3，)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x3，将其化为极坐标方程为cos 3.答案cos 37(2021华南师大模拟)在极坐标系中，点M到曲线co

13、s2上的点的距离的最小值为_解析依题意知，点M的直角坐标是(2,2)，曲线的直角坐标方程是xy40，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为2.答案28在极坐标系中，曲线C1：2cos ，曲线C2：，假设曲线C1与C2交于A、B两点，那么线段AB_.解析曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB.答案9在极坐标系中，由三条直线0，cos sin 1围成图形的面积是_解析0，cos sin 1三直线对应的直角坐标方程分别为：y0，yx，xy1，作出图形得围成图形为如图OAB，S.答案二、解答题10设过原点O的直线与圆(x

14、1)2y21的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线解圆(x1)2y21的极坐标方程为2cos ，设点P的极坐标为(1，1)，点M的极坐标为(，)，点M为线段OP的中点，12，1，将12，1代入圆的极坐标方程，得cos .点M轨迹的极坐标方程为cos ，它表示圆心在点，半径为的圆11(2021辽宁卷)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：(x2)2y24.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方

15、程解(1)圆C1的极坐标方程为2，圆C2的极坐标方程为4cos .解得2，故圆C1与圆C2交点的坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)法一由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，)故圆C1与C2的公共弦的参数方程为t.法二将x1代入得cos 1，从而.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为.12在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)M是C1上的动点，P点满足2 ，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.解(1)设P(x，y)，那么由条件知M.由

16、于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为(为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为8sin .射线与C1的交点A的极径为14sin ，射线与C2的交点B的极径为28sin .所以AB|21|2.第2讲参数方程最新考纲1了解参数方程，了解参数的意义2能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程3掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.知 识 梳 理1曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么称上式为该曲线的参数方程

17、，其中变量t称为参数2一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)(2)圆的方程(xa)2(yb)2r2的参数方程为(为参数)(3)椭圆方程1(ab0)的参数方程为(为参数)(4)抛物线方程y22px(p0)的参数方程为(t为参数)诊 断 自 测1极坐标方程cos 和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是_直线、直线；直线、圆；圆、圆；圆、直线解析cos x，cos 代入到cos ，得，2x，x2y2x表示圆又相加得xy1，表示直线答案2假设直线(t为实数)与直线4xky1垂直，那么常数k_.解析参数方程所表示的直线方程为3x2y7，由此直线与直

18、线4xky1垂直可得1，解得k6.答案63(2021北京卷)直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为_解析直线方程可化为xy10，曲线方程可化为x2y29，圆心(0,0)到直线xy10的距离d3.直线与圆相交有两个交点答案24直线l：(t为参数)上到点A(1,2)的距离为4的点的坐标为_解析设点Q(x，y)为直线上的点，那么|QA|4，解之得，t2，所以Q(3,6)或Q(5，2)答案(3,6)和(5，2)5(2021广东卷)曲线C的极坐标方程为2cos ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，那么曲线C的参数方程为_解析由2cos 知，22cos 所以x2y22x，即(x1)2y

19、21，故其参数方程为(为参数)答案(为参数)考点一参数方程与普通方程的互化【例1】 把以下参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线；(1)(t为参数)；(2)(t为参数)；(3)(t为参数)解(1)由x1t得t2x2.y2(2x2)xy20，此方程表示直线(2)由y2t得ty2，x1(y2)2.即(y2)2x1，此方程表示抛物线(3)22得x2y24，此方程表示双曲线规律方法 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的根本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围【训练1】 将以下参数方程化为普通方程(1)(为参数)；(2

20、)(t为参数)解(1)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)，得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程为y22x，x0,2(2)由参数方程得etxy，etxy，(xy)(xy)1，即x2y21.考点二直线与圆参数方程的应用【例2】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，假设点P的坐标为(3，)，求|PA|PB|.解(1)由2sin ，得22sin .x2y22y，即x2(y)25

21、.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得225，即t23t40.由于(3)24420，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23.规律方法 (1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t|PP0|时为距离使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，那么|P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1t2)(2)对于形如(t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题

22、【训练2】 直线l的参数方程为(参数tR)，圆 C的参数方程为(参数0,2)，求直线l被 圆C所截得的弦长解由消参数后得普通方程为2xy60，由消参数后得普通方程为(x2)2y24，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2xy60的距离为d，所以所求弦长为2 .考点三极坐标、参数方程的综合应用【例3】 P为半圆C：(为参数，0)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程解(1)由，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.(2)点M的

23、直角坐标为，A(1,0)故直线AM的参数方程为(t为参数)规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程【训练3】 (2021福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为(，)，直线l的极坐标方程为cos()a，且点A在直线l上(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系解(1)由点A(，)在直线cos()a上，可得a.所以直线l的方程可化为cos sin 2，从而直线l的直角坐标方程为xy20.(

24、2)由得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r1，因为圆心C到直线l的距离d0)的一个交点在极轴上，那么a_.解析(cos sin )1，即cos sin 1对应的普通方程为xy10，a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将代入x2y2a2得a.答案二、解答题10(2021新课标全国卷)曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02)解(1)将消去参数t，化为普通方程(x4)2(y5

25、)225，即C1：x2y28x10y160.将代入x2y28x10y160得28cos 10sin 160.所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程为x2y22y0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.11(2021新课标全国卷)动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程

26、为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(02)当时，d0，故M的轨迹通过坐标原点12(2021新课标全国卷)曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围解(1)由可得A，B，C，D，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)设P(2cos ，3sin )，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，那么S16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以S的取值范围是32,52