概率32边缘分布

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1、)(xXPxFX ,YxXP),(xF)(yYPyFY ,yYXP ),(yF 随机向量随机向量(X,Y)的中的中,X,Y 的分布分别称为的分布分别称为X,Y 的的边缘分布边缘分布.X,Y 的分布函数的分布函数FX(x),FY(y)称为称为.ixXP 1jijp ip ),2,1(i,2,1,jipyYxXPijji离散型随机变量离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布的联合概率分布jyYP 1iijpjp ),2,1(j),()(xFxFX xxjijip111p12pjp121p22pjp2.1ip2ipijp.1p 2p ip1 p2 pjp ipjp XYixxx211y2yjy5352

2、5352 ipjp 1XP0153522XP0153521X2X010131154154152(1)不放回抽样不放回抽样例例1 10件产品中有件产品中有4件次品件次品,6件合格品件合格品,每次任取一件每次任取一件,连取两次连取两次.用用X i 表示第表示第i 次取到的次品数次取到的次品数(i=1,2),分别分别就不放回和有放回两种抽样方式就不放回和有放回两种抽样方式,求求X1与与X2 的边缘分的边缘分布布.2592562562541X2X010153525352 ipjp 1XP0153522XP015352(2)有放回抽样有放回抽样53525352 ipjp 1X2X010131154154

3、1522592562562541X2X010153525352 ipjp 1.(1)(2)中的边缘分布相同中的边缘分布相同,但联合分布不同但联合分布不同;2.联合分布可以确定边缘分布联合分布可以确定边缘分布,边缘分布不能确定联合边缘分布不能确定联合 分布分布;二维随机向量的性质不能由它的两个分量的个别二维随机向量的性质不能由它的两个分量的个别性质来确定性质来确定,必须考虑它们之间的联系必须考虑它们之间的联系.),(),(yxfYX)(xXPxFX xdxdyyxf),(xXdxxf)(dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(连续型随机变量连续型随机变量(X,Y),YxXPX 的边缘

4、分布函数的边缘分布函数FX(x)10,20|),()1(yxyxD0 xy21D ),(yxf210其它其它10,20 yx1|),()2(22 yxyxD0 xy1 11 1D ),(yxf 10其它其它122 yx例例2 求下列两个二维均匀分布关于求下列两个二维均匀分布关于X 和和Y 的边缘密度的边缘密度.10,20|),()1(yxyxDD0 xy21 dyyxfxfX),()(时，时，或或20 xx0)(xfX时，时，20 x 1021)(dyxfX21 )(xfX210其它其它20 x ),(yxf210其它其它10,20 yx解解:)(yfY10其它其它10 y,2,0 UX1,0

5、 UY )(xfX210其它其它20 x同理同理,Y 的边缘密度为的边缘密度为0 xy1 11 1D dyyxfxfX),()(时，时，或或11 xx0)(xfX时，时，11 x 22111)(xxXdyxf 212x x ),(yxf 10其它其它122 yx1|),()2(22 yxyxDX 的边缘密度的边缘密度 212y 0其它其它11 y )(yfY 212x 0其它其它11 x )(xfX同理同理,Y 的边缘密度为的边缘密度为(1)中的中的X 和和Y 都服从一维均匀分布都服从一维均匀分布,(2)中则不然中则不然.例例3 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度

6、其他，其他，,0,6),(2xyxyxf求边缘概率密度求边缘概率密度)(),(yfxfYX dyyxfxfX),()(0 xy11 其它其它010)(6622xxxdyxx dxyxfyfY),()(其它其它010)(66yyydyyy),(yxf221121 exp211 x 222 y )1(212.1|0,021 ，22112 yx yx,),(),(222121 NYX设设(X,Y)二维随机向量二维随机向量,其概率密度为其概率密度为其中其中1,2,1,2,均为常数均为常数,且且则称则称(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,记作记作),(yxf221121 exp211 x 222

7、 y )1(212 22112 yx21122 xy222 y22112 yx21212)(x221121 21212)(xe exp )1(212 dyxy21122 dyyxfxfX),()(.证明证明:211 t 1122 xy121 21212)(xe dtet22令令:221121)(xfX21212)(xe exp )1(212 dyxy21122 21212)(121 xe),(211 NX).,(222 NY同理，同理，二维随机向量的联合分布与边缘分布有什么关系？二维随机向量的联合分布与边缘分布有什么关系？二维随机向量的联合分布可以确定边缘分布二维随机向量的联合分布可以确定边缘

8、分布,边缘边缘分布一般不能确定联合分布分布一般不能确定联合分布.2.将三个球随机地放入四个盒子将三个球随机地放入四个盒子,X、Y 分别表示第分别表示第一、二个盒子中球的个数一、二个盒子中球的个数,求求 X 与与 Y 的联合概率分布，的联合概率分布，及关于及关于Y 的边缘分布的边缘分布.1.设随机变量设随机变量(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为F(X,Y),其边缘其边缘分布函数分布函数FX(x)=(),(lim)4(yxFx ),(lim)3(yxFx ),(lim)2(yxFy ),(lim)1(yxFy 3.盒子里装有盒子里装有3只黑球只黑球,2只红球和只红球和2只白球只白球,从中任

9、取从中任取4只球只球,以以X表示取到黑球只数表示取到黑球只数,以以Y表示取到红球只数，表示取到红球只数，求求(X,Y)的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律.4.设二维随机变量设二维随机变量(,)的联合密度函数为的联合密度函数为其他其他10,1006),(2 yxyxyxf求求(,)的边缘分布的边缘分布.5.设二元随机变量设二元随机变量(X,Y)的联合概率密度是的联合概率密度是其他其他0,0025001),()(501 yxeyxfyx50,50)2(YXP求求:(1)关于关于X 的边缘密度函数的边缘密度函数 f X(x)；6.设随机变量设随机变量(X,Y)的联合密度函数的联合密度函

10、数其其他他ayxeayxfx 0,00),(1 其中其中a 0,求求Y 的边缘密度函数的边缘密度函数.7.设随机变量设随机变量(X,Y)的联合密度函数的联合密度函数其他其他0,00),()1(yxexyxfyx求求 X,Y 的边缘密度函数的边缘密度函数.00064100643646064364126412641646641264832103210XY64164964276427jp 1.(1);2.035235233533512353235635601351000210YX3.354335183512213510pX727421710pY )(xfX0其它其它10 x23x )(xfY0其它其它10 yy24.其他其他00501)()1.(550 xexfxX 其他其他00501)(50yeyfyY2)2(e其其他他ayayfY 00)(.61其他其他00)(.7 xexfxX其他其他00)1(1)(2 yyyfY