黄冈名师版高考数学大一轮复习9.5空间直角坐标系空间向量及其运算课件理新人教A版

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1、第五节空间直角坐标系、空间向量及其运算(全国卷5年8考)【知识梳理知识梳理】1.1.空间直角坐标系及有关概念空间直角坐标系及有关概念(1)(1)空间直角坐标系空间直角坐标系:定定义义以空间一点以空间一点O O为原为原点点,给定正方向给定正方向,单单位长度位长度,建立两两建立两两垂直的数轴垂直的数轴:x:x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴,建立了建立了一个空间直角坐标一个空间直角坐标系系_坐标原点坐标原点点点O O坐标轴坐标轴_坐标平面坐标平面通过每两个通过每两个坐标轴的平面坐标轴的平面OxyzOxyzx x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴(2)(2)空间一点空间一点M M的坐标的坐标:空间一点

2、空间一点M M的坐标可以用有序实数组的坐标可以用有序实数组(x,y,z)(x,y,z)来表示来表示,记作记作M(x,y,z),M(x,y,z),其中其中x x叫做点叫做点M M的的_,y_,y叫做点叫做点M M的的_,z_,z叫做点叫做点M M的的_;_;建立了空间直角坐标系建立了空间直角坐标系,空间中的点空间中的点M M与有序实数组与有序实数组(x,y,z)(x,y,z)可建立可建立_的关系的关系.横坐标横坐标纵坐标纵坐标竖坐标竖坐标一一对应一一对应2.2.空间两点间的距离公式、中点公式空间两点间的距离公式、中点公式(1)(1)距离公式距离公式:设点设点A(xA(x1 1,y,y1 1,z,

3、z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则|AB|=|AB|=_；设点设点P(x,y,z),P(x,y,z),则与坐标原点则与坐标原点O O之间的距离为之间的距离为|OP|=_.|OP|=_.222121212xxyyzz222x+y+z(2)(2)中点公式中点公式:设点设点P(x,y,z)P(x,y,z)为为P P1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2)的中点的中点,则则_121212x+xx=,2y+yy=,2z+zz=.23.3.空间向量的有关概念空间向量的有关概念名称名称定义定义空间向

4、量空间向量在空间中在空间中,具有具有_和和_的量的量相等向量相等向量方向方向_且模且模_的向量的向量相反向量相反向量方向方向_且模且模_的向量的向量共线向量共线向量(或平行向或平行向量量)表示空间向量的有向线段所在的直表示空间向量的有向线段所在的直线互相线互相_的向量的向量共面向量共面向量平行于平行于_的向量的向量大小大小方向方向相同相同相等相等相反相反相等相等平行或重合平行或重合同一个平面同一个平面4.4.空间向量的有关定理空间向量的有关定理(1)(1)共线向量定理共线向量定理:对空间任意两个向量对空间任意两个向量a,b(b0),),ab的充要条件是存在实数的充要条件是存在实数,使得使得_.

5、(2)(2)共面向量定理共面向量定理:如果两个向量如果两个向量a,b_,_,那么向量那么向量p与向量与向量a,b共面的充要条件是存在共面的充要条件是存在_的有序实数对的有序实数对(x,y),(x,y),使使_.a=b不共线不共线唯一唯一p=x=xa+y+yb(3)(3)空间向量基本定理空间向量基本定理:如果三个向量如果三个向量a,b,c_,_,那么对空间任一向量那么对空间任一向量p,存在有序实数组存在有序实数组x,y,z,x,y,z,使得使得_.其中其中,_,_叫做空间的一个基底叫做空间的一个基底.不共面不共面p=x=xa+y+yb+z+zc a,b,c【常用结论常用结论】1.1.零向量不可以

6、作为基向量零向量不可以作为基向量.2.2.基底选定后基底选定后,空间的所有向量都可由基底唯一表示空间的所有向量都可由基底唯一表示.3.3.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量的线性运算和数量积运算的线性运算和数量积运算.4.4.空间向量的坐标运算和坐标原点的选取无关空间向量的坐标运算和坐标原点的选取无关.5.5.实数实数0 0和任意向量相乘都为零向量和任意向量相乘都为零向量.6.6.实数与空间向量可以进行数乘运算实数与空间向量可以进行数乘运算,但不能进行加减但不能进行加减运算运算.【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断

7、正误判断正误(在括号后面打在括号后面打“、”)”)空间中任意三个向量都可以作为基底空间中任意三个向量都可以作为基底.()零向量与任一向量共面零向量与任一向量共面.()设设a=(0,1,1),=(0,1,1),b=(1,0,1),=(1,0,1),c=(1,1,0),=(1,1,0),则则a,b,c三个向三个向量共面量共面.()空间中模相等的两个向量方向相同空间中模相等的两个向量方向相同.()设设a=(3,4,5),=(3,4,5),则则|a|的值为的值为5.5.()【解析解析】.只有不共面的三个向量才能作为基底只有不共面的三个向量才能作为基底,所以错误所以错误.零向量与任一向量共线零向量与任一

8、向量共线,共面共面,所以正确所以正确.假设假设a,b,c共面共面,则则c=x=xa+y+yb,所以所以 矛盾矛盾,所以所以a,b,c不共面不共面.所以错误所以错误.1y,1x,0 xy,.若若|a|=|=|b|,|,则则a,b方向可能相同方向可能相同,也可能相反也可能相反,或或其他情况其他情况,错误错误.|.|a|=|=错误错误.2223455 2,2.2.已知空间三点已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若若|a|=,|=,且且a分别与分别与 垂直垂直,则向量则向量a的坐标的坐标为为()A.(1,1,1

9、)A.(1,1,1)B.(-1,-1,-1)B.(-1,-1,-1)C.(1,1,1)C.(1,1,1)或或(-1,-1,-1)(-1,-1,-1)D.(1,-1,1)D.(1,-1,1)或或(-1,1,-1)(-1,1,-1)3AB,AC 【解析解析】选选C.C.因为空间三点因为空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),C(1,-1,5),所以所以 =(-2,-1,3),=(1,-3,2),=(-2,-1,3),=(1,-3,2),设设a=(x,y,z),=(x,y,z),因为因为a分别与分别与 垂直垂直,且且 所以所以 解得解得

10、x=y=z=x=y=z=1.1.所以所以a=(1,1,1)=(1,1,1)或或a=(-1,-1,-1).=(-1,-1,-1).AB AC AB,AC|3，a2222xy3z0,x3y2z0,xyz3,3.3.点点P P是棱长为是棱长为1 1的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面的底面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1上一点上一点,则则 的取值范围是的取值范围是()A.A.B.B.C.-1,0C.-1,0D.D.1PA PC 11,4 11,241,02【解析解析】选选D.D.如图以如图以D D1 1为原点为原点,以以D D1 1

11、C C1 1,D,D1 1A A1 1,D,D1 1D D方向为方向为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,则则A(0,1,1),A(0,1,1),C C1 1(1,0,0),P(x,y,0),=(-x,1-y,1),=(1-x,(1,0,0),P(x,y,0),=(-x,1-y,1),=(1-x,-y,0),-y,0),(其中其中0 x1,0y1),0 x1,0y1),所以所以 的取值范围是的取值范围是 PA 1PC221111PA PC(x)(y)222 ，1PA PC 1,02题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(选修选修2-1P98T112-1P

12、98T11改编改编)已知已知 a,b,c 是空间的一个基是空间的一个基底底,a+b,a-b,c 是空间的另一个基底是空间的另一个基底,一向量一向量p在基底在基底 a,b,c 下的坐标为下的坐标为(4,2,3),(4,2,3),则向量则向量p在基底在基底 a+b,a-b,c 下的坐标是下的坐标是()A.(4,0,3)A.(4,0,3)B.(3,1,3)B.(3,1,3)C.(1,2,3)C.(1,2,3)D.(2,1,3)D.(2,1,3)【解析解析】选选B.B.设设p在基底在基底 a+b,a-b,c 下的坐标为下的坐标为(x,y,z).(x,y,z).则则p=x(=x(a+b)+y()+y(a

13、-b)+z)+zc=(x+y)=(x+y)a+(x-y)+(x-y)b+z+zc,因为因为p在在 a,b,c 下的坐标为下的坐标为(4,2,3),(4,2,3),所以所以p=4=4a+2+2b+3+3c,由得由得 即即p在在 a+b,a-b,c 下的坐标为下的坐标为(3,1,3).(3,1,3).xy4,x3,xy2,y1,z3,z3,所以2.(2.(选修选修2-1P111T12-1P111T1改编改编)在正三棱柱在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,若若AB=BBAB=BB1 1,D,D是是CCCC1 1的中点的中点,则则CACA1 1与与BDBD所成角的大小是所

14、成角的大小是_._.【解析解析】设设CACA1 1与与BDBD所成角为所成角为,cos=,cos=11111CACBBABCBBBA,BDBCBB,2 11CA BD|,|CA|BD|1112211111CA BD(BCBBBA)(BCBB)2111BCBC BBBB BCBBBA BCBA BB222 2211BBBCBA BC02 ，所以所以cos=0,cos=0,所以所以CACA1 1与与BDBD所成角的大小是所成角的大小是9090.答案答案:90903.(3.(选修选修2-1P118T132-1P118T13改编改编)已知已知ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,P,P点点是平行四

15、边形是平行四边形ABCDABCD所在平面外的一点所在平面外的一点,连接连接PA,PB,PA,PB,PC,PD.PC,PD.设点设点E,F,G,HE,F,G,H分别为分别为PAB,PAB,PBC,PBC,PCD,PCD,PDAPDA的重心的重心.(1)(1)试用向量方法证明试用向量方法证明E,F,G,HE,F,G,H四点共面四点共面.(2)(2)试判断平面试判断平面EFGHEFGH与平面与平面ABCDABCD的位置关系的位置关系,并用向量并用向量方法证明你的判断方法证明你的判断.【解析解析】(1)(1)分别延长分别延长PE,PF,PG,PHPE,PF,PG,PH交对边于交对边于M,N,Q,RM,

16、N,Q,R点点,因为因为E,F,G,HE,F,G,H分别是所在三角形的重心分别是所在三角形的重心,所以所以M,N,Q,RM,N,Q,R为为所在边的中点所在边的中点,顺次连接顺次连接M,N,Q,RM,N,Q,R得到的四边形为平行得到的四边形为平行四边形四边形,且有且有 2PEPM3，222PFPN PGPQ PHPR,333 ，所以所以 又因为又因为 所以所以 所以所以 由共面向量定理知由共面向量定理知:E,F,G,H:E,F,G,H四点共面四点共面.MQMNMR 333PFPEPHPEEFEH222 （）（）（）3MQPQPMEG2 ，33EGEFEH22 （），EGEFEH ，(2)(2)由

17、由(1)(1)得得 故故MQEG.MQEG.又因为又因为MQMQ平面平面ABC,EGABC,EG 平面平面ABC.ABC.所以所以EGEG平面平面ABC.ABC.又因为又因为 所以所以MNEF,MNEF,又因为又因为MNMN平面平面ABC,EFABC,EF 平面平面ABC,ABC,3MQPQPMEG2 ，3MNPNPMEF,2 所以所以EFEF平面平面ABC.ABC.因为因为EGEG与与EFEF交于交于E E点点,所以平面所以平面EFGHEFGH平面平面ABCD.ABCD.考点一空间向量的线性运算考点一空间向量的线性运算【题组练透题组练透】1.1.如图所示如图所示,在空间四边形在空间四边形OA

18、BCOABC中中,=,=a,=,=b,=c,点点M M在在OAOA上上,且且OM=2MA,NOM=2MA,N为为BCBC中点中点,则则 等于等于()OAOB OC MN A.A.a-b+cB.-B.-a+b+cC.C.a+b-cD.-D.-a+b-c121212121212121223232323【解析解析】选选B.B.由向量加法法则可知由向量加法法则可知 MNMOON 21211.32322 abcabc21OAOBOC32 （）2.2.在平行六面体在平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,M为为ACAC与与BDBD的交点的交点,若若 则下列向量

19、中与则下列向量中与 相等的向量相等的向量是是()A.-A.-a+b+cB.B.a+b+cC.C.a-b+cD.-D.-a-b+c1AB,AD,AA,abc1MB1212121212121212【解析解析】选选C.C.由向量的线性运算得由向量的线性运算得 11MBMBBB 111().222abcabc3.G3.G为正四面体为正四面体ABCDABCD外接球的球心外接球的球心,则则 x,y,z x,y,z分别是分别是()AGxAByAC zAD,1 1 11 1 1A.,B.,4 4 43 3 31 1 11 1 1C.,D.,2 2 23 3 6【解析解析】选选A.A.取取BCBC的中点的中点M

20、,M,BCDBCD的中心为的中心为O,O,则则 31211AGAO,AOADAM,AMABAC,433221111AGABACAD,xyz.4444 即4.4.在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中,若若 =(-3,5,2),=(-7,=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),-1,-4),点点E,FE,F分别为线段分别为线段BC,ADBC,AD的中点的中点,则则 的坐标的坐标为为()A.(2,3,3)A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)B.(-2,-3,-3)C.(5,-2,1)C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)D.(-5,2,-1)AB CD EF【解析解析】选选B.

21、B.因为点因为点E,FE,F分别为线段分别为线段BC,ADBC,AD的中点的中点,设设O O为坐标原点为坐标原点,1EFOFOE OFOAOD21OEOBOC.211EFOAODOBOC221BACD2 所以，所以=(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)=(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)=(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3).=(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3).12125.5.在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,已知点已知点A A的坐标是的坐标是(1,-2,11),(1,-2,11),点点B B的坐标是的坐标是(4,2,3),(4,2,3),点点C C的坐标是的坐标

22、是(6,-1,4),(6,-1,4),则三角形则三角形ABCABC的面积是的面积是 _._.【解析解析】因为因为A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),所以所以|AB|=|AB|=|BC|=|BC|=|AC|=|AC|=由此可得由此可得:|BC|:|BC|2 2+|AC|+|AC|2 2=89=|AB|=89=|AB|2 22221 42211 389,（）（）（）222462 13414（）（）（），2221 62 111 4755 3（）（）（）所以所以ACB=90ACB=90,得得ABCABC是以是以C C为

23、直角顶点的直角为直角顶点的直角三角形三角形所以所以S SABCABC=|BC|=|BC|AC|=|AC|=5 5 =答案答案:1212314542.25422【规律方法规律方法】用已知向量表示某一向量的方法用已知向量表示某一向量的方法(1)(1)用已知向量来表示未知向量用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形一定要结合图形,以图以图形为指导是解题的关键形为指导是解题的关键.(2)(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量末尾向量

24、的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则法的多边形法则.(3)(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立平行四边形法则在空间中仍然成立.考点二共线向量定理、共面向量定理及其应用考点二共线向量定理、共面向量定理及其应用【典例典例】(1)(1)设平面设平面的一个法向量为的一个法向量为n1 1=(1,2,-2),=(1,2,-2),平面平面的一个法向量为的一个法向量为n2 2=(-2,-4,k),=(-2,-4,k),若若,则则k k=()A.2A.2B.4B.4C.-2 C.-2

25、 D.-4D.-4【解析解析】选选B.B.因为因为,所以两个平面的法向量也平所以两个平面的法向量也平行行,所以所以 ,即即k=4k=4k221(2)(2)已知已知a=(2,-1,3),=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),=(-1,4,-2),c=(7,5,),=(7,5,),若向量若向量a,b,c共面共面,则实数则实数等于等于()62636465A.B.C.D.7777【解析解析】选选D.D.因为向量因为向量a,b,c共面共面,所以由共面向量基所以由共面向量基本定理本定理,存在唯一实数存在唯一实数x,y,x,y,使得使得x xa+y+yb=c,所以所以 解方程组得解方程组得=.=.2x

26、y7,x4y5,3x2y,657(3)(3)已知已知E,F,G,HE,F,G,H分别是空间四边形分别是空间四边形ABCDABCD的边的边AB,BC,AB,BC,CD,DA CD,DA的中点的中点,求证求证:E,F,G,H:E,F,G,H四点共面四点共面;求证求证:BD:BD平面平面EFGH;EFGH;设设M M是是EGEG和和FHFH的交点的交点,求证求证:对空间任一点对空间任一点O,O,有有 1OAOBOCOD.4 OM【解析解析】如图如图,连接连接BG,BG,则则 由共面向量定理的推论知由共面向量定理的推论知:E,F,G,HE,F,G,H四点共面四点共面.EG EB BG 1EB(BC B

27、D)2EB BF EH EF EH ，因为因为 所以所以EHBD.EHBD.又因为又因为EHEH平面平面EFGH,BDEFGH,BD 平面平面EFGH,EFGH,所以所以BDBD平面平面EFGH.EFGH.EH AHAE 1111ADABADABBD2222 ，找一点找一点O,O,并连接并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,如图所示如图所示.由知由知 同理同理 所以所以 即即EH FG,EH FG,所以四边形所以四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形.所以所以EG,FHEG,FH交于一点交于一点M M且被且被M M平分平分.1EHBD

28、2 ，1FGBD2 ，EH FG 故故 【误区警示误区警示】注意向量共线与两直线平行与重合的区注意向量共线与两直线平行与重合的区别别.111OM(OE OG)OEOG222 1 11 1OAOB(OCOD)2 22 21(OA OB OC OD).4 （）【规律方法规律方法】1.1.证明点共线的方法证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题,如如证明证明A,B,CA,B,C三点共线三点共线,即证明即证明 共线共线,亦即证明亦即证明 (0);(0);A,B,CA,B,C三点共线三点共线,对空间内任意一对空间内任意一点点O,O,有有 ABA

29、C ，ABAC OA1t OBtOC.（）2.2.证明点共面的方法证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明如要证明P,A,B,CP,A,B,C四点共面四点共面,只要能证明只要能证明 或对空间或对空间任一点任一点O,O,有有 或或 (x+y+z=1)(x+y+z=1)即可即可.PAxPByPC OAOPxPByPC OPxOA yOBzOC 【对点训练对点训练】1.1.设设O O为空间任意一点为空间任意一点,则则A,B,A,B,C,PC,P四点四点()A.A.一定不共面一定不共面B.B.一定共面一定共面C.C.不一定共面不一定共面D.

30、D.无法判断无法判断311OPOAOBOC488 ，【解析解析】选选B.B.因为因为 所以所以 所以所以 所以由共面向量所以由共面向量基本定理得基本定理得 是共面向量是共面向量,所以四个点所以四个点P,A,B,P,A,B,C C共面共面.311OPOAOBOC488 ，6(OPOA)OBOPOCOP ，116PAPBPC,PAPBPC66 即，PA,PB,PC 2.2.已知已知a=(-2,1,3),=(-2,1,3),b=(-1,2,1),=(-1,2,1),若若a(a-b),),则实则实数数的值为的值为()A.-2A.-2B.-B.-C.C.D.2D.2【解析解析】选选D.D.因为因为a-b

31、=(-2,1-2,3-),=(-2,1-2,3-),由由a(a-b)得得-2(-2)+1-2+9-3=0-2(-2)+1-2+9-3=0=2.=2.143145考点三空间向量的数量积及其应用考点三空间向量的数量积及其应用【明考点明考点知考法知考法】高考中重点考查空间向量的数量积在立体几何中高考中重点考查空间向量的数量积在立体几何中的应用的应用,用来证明线线垂直、线面垂直、面面垂直用来证明线线垂直、线面垂直、面面垂直,或或线面平行、面面平行线面平行、面面平行,求空间的角求空间的角(线线角、线面角、线线角、线面角、面面角面面角),),属于中档题属于中档题.命题角度命题角度1 1 空间向量的数量积的

32、运算空间向量的数量积的运算【典例典例】(1)(1)已知向量已知向量a=(1,0,-1),=(1,0,-1),则下列向量中与则下列向量中与a成成6060夹角的是夹角的是 ()A.(-1,1,0)A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)D.(-1,0,1)【解析解析】选选B.B.经检验经检验,选项选项B B中向量中向量(1,-1,0)(1,-1,0)与向量与向量a=(1,0,-1)(1,0,-1)的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为 ,即它们的夹角为即它们的夹角为6060.12(2)(2)在棱长为在棱长为1 1的正四面体的

33、正四面体ABCDABCD中中,E,E是是BCBC的中点的中点,则则 =()A.0A.0B.B.C.-C.-D.-D.-AE CD 121214【解析解析】选选D.D.11AE CD(ABAC)(ADAC)(AB AD22 1 1111AC ADAB ACAC AC)(1).2 2224 【状元笔记状元笔记】1.1.空间向量数量积计算的两种方法空间向量数量积计算的两种方法(1)(1)基向量法基向量法:ab=|=|a|b|cos|cos.(2)(2)坐标法坐标法:设设a=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则ab=x=x1

34、1x x2 2+y+y1 1y y2 2+z+z1 1z z2 2.2.2.利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题(1)(1)a0,b0,ab ab=0.=0.(2)|(2)|a|=.|=.(3)cos(3)cos=.=.2aa ba b【拓展拓展】求线线角、线面角、二面角都转化为刻画直求线线角、线面角、二面角都转化为刻画直线或平面的角线或平面的角.直线可由方向向量刻画直线可由方向向量刻画,平面可由其法平面可由其法向量刻画向量刻画.命题角度命题角度2 2数量积的应用数量积的应用【典例典例】如图所示如图所示,在四棱柱在四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B

35、B1 1C C1 1D D1 1中中,底面为底面为平行四边形平行四边形,以顶点以顶点A A为端点的三条棱长都为为端点的三条棱长都为1,1,且两两且两两夹角为夹角为6060.(1)(1)求求ACAC1 1的长的长.(2)(2)求证求证:AC:AC1 1BD.BD.(3)(3)求求BDBD1 1与与ACAC夹角的余弦值夹角的余弦值.【解析解析】(1)(1)记记 则则|a|=|=|b|=|=|c|=1,|=1,=60=60,所以所以ab=bc=ca=.=.|2 2=(=(a+b+c)2 2=a2 2+b2 2+c2 2+2(+2(ab+bc+ca)=1+1+1+2=1+1+1+2 =6,=6,所以所

36、以 即即ACAC1 1的长为的长为 .1ABADAA ，abc121AC 111()2221AC6，6(2)(2)因为因为 =a+b+c,=,=b-a,所以所以 =(=(a+b+c)(b-a)=ab+|+|b|2 2+bc-|-|a|2 2-ab-ac=bc-ac=|=|b|c|cos 60|cos 60-|-|a|c|cos 60|cos 60=0.=0.所以所以 ,所以所以ACAC1 1BD.BD.1AC BD 1AC BD 1ACBD (3)=(3)=b+c-a,=,=a+b,所以所以|=,|=,|=,|=,=(=(b+c-a)(a+b)=b2 2-a2 2+ac+bc=1.=1.所以所

37、以cos=cos=所以所以ACAC与与BDBD1 1夹角的余弦值为夹角的余弦值为 .1BD AC 1BD 2AC 31BD AC 1BD AC 11BD AC6.6BD AC 66【状元笔记状元笔记】空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用(1)(1)求棱长或两点间的距离等问题求棱长或两点间的距离等问题,可以转化为求向量可以转化为求向量的模的模,或者建立空间直角坐标系用两点间的距离公式求或者建立空间直角坐标系用两点间的距离公式求解解.(2)(2)求夹角求夹角(如线线角如线线角)问题问题,可以转化为求两个向量的可以转化为求两个向量的夹角夹角,用向量的数量积解决用向量的数量积解决【对点

38、练对点练找规律找规律】1.1.如图所示如图所示,已知空间四边形已知空间四边形ABCDABCD的每条边和对角线长的每条边和对角线长都等于都等于1,1,点点E,F,GE,F,G分别是分别是AB,AD,CDAB,AD,CD的中点的中点,计算计算:(1)(1)(2)(2)EF BA.EG BD.【解析解析】设设 =a,=,=b,=,=c,则则|a|=|=|b|=|=|c|=1,|=1,=60=60.AB AC AD(1)=(1)=c-a,=-=-a,所以所以 EF1BD2 1212BA 11EF BA()22 caa211111.22424 a ca所以所以 112 EG EB BC CGABACAB

39、ADAC 22111ABACAD222111,222BDADAB abcca111EG BD()222 abcca2211112222111111.244222aa bb cca c2.2.在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,BA=BC=5,AC=8,D,BA=BC=5,AC=8,D为线段为线段ACAC的中点的中点.(1)(1)求证求证:BDA:BDA1 1D.D.(2)(2)若直线若直线A A1 1D D与与BCBC成的角的余弦为成的角的余弦为 ,求侧棱求侧棱A A1 1A A 的的长长.413【解析解析】(1)(1)因为因为 所以所以 所以所以 ,所

40、以所以BDABDA1 1D.D.11111(BABC)(BABB)BABCBB,222 111BD(BABC),A DBDBA2 11111BD A D(BABC)(BABCBB)222 221111111(BABA BCBA BBBA BCBCBC BB)0,22222 1BDA D (2)=16,(2)=16,设设A A1 1A=x,A=x,则则 又因为又因为 =5,=5,直线直线A A1 1D D与与BCBC成的角的余弦为成的角的余弦为 ,所以所以 =,=,解得解得x=.x=.即即A A1 1A A的长为的长为 .21111725BC A DBA BCBCBB BC2222 21|A D

41、|x16，|BC|4134132165 x16485485数学能力系列数学能力系列2121用向量解决立体几何问题用向量解决立体几何问题【能力诠释能力诠释】以学习过的空间向量为基础以学习过的空间向量为基础,通过将几通过将几何向量化何向量化,以向量作为刻画空间中点线面位置关系的连以向量作为刻画空间中点线面位置关系的连接点接点,解决空间几何中难解决的问题解决空间几何中难解决的问题.【典例典例】已知已知:m,n:m,n是平面是平面内的两条相交直线内的两条相交直线,直线直线l与与的交点为的交点为B,B,且且lm,m,ln.n.求证求证:l.【解析解析】设直线设直线m m的方向向量为的方向向量为m,直线直

42、线n n的方向向量为的方向向量为n,直线直线l的方向向量为的方向向量为l,因为因为m,n,n是平面是平面内的两条相交直线内的两条相交直线,所以所以m与与n是平面是平面内的两个不共线向量内的两个不共线向量,设平面设平面内的任一向量为内的任一向量为a,由平面向量基本定理由平面向量基本定理,存在存在唯一实数对唯一实数对,使使a=m+n,又因为又因为lm,m,ln,n,所以所以lm=0,=0,ln=0,=0,所以所以la=l(m+n)=)=lm+ln=0,=0,所以所以la,所以直线所以直线l垂直于平面垂直于平面内的任意直线内的任意直线,由线面垂直的由线面垂直的定义得定义得:l.【技法点拨技法点拨】向

43、量法证明几何问题向量法证明几何问题利用空间向量证明空间中的垂直或平行时利用空间向量证明空间中的垂直或平行时,可以利用空可以利用空间向量基本定理恰当地选取不共面的三个向量作为基间向量基本定理恰当地选取不共面的三个向量作为基底底,通过空间向量的线性运算或数量积的运算来求解通过空间向量的线性运算或数量积的运算来求解.【即时训练即时训练】如图所示如图所示,已知空间四边形已知空间四边形ABCDABCD的各边和对角线的长都的各边和对角线的长都等于等于a,a,点点M,NM,N分别是分别是AB,CDAB,CD的中点的中点.(1)(1)求证求证:MNAB,MNCD.:MNAB,MNCD.(2)(2)求求MNMN

44、的长的长.(3)(3)求异面直线求异面直线ANAN与与CMCM所成角的余所成角的余弦值弦值.【解析解析】(1)(1)设设 =p,=,=q,=,=r.由题意可知由题意可知,|,|p|=|=|q|=|=|r|=|=a,且且p,q,r三向量两两夹角三向量两两夹角均为均为6060.=(=(q+r-p),),所以所以 =(=(q+r-p)pAB AC AD 11MNANAMACADAB22 12MN AB 12=(=(qp+rp-p2 2)=(a=(a2 2cos 60cos 60+a+a2 2cos 60cos 60-a-a2 2)=0.)=0.所以所以 .即即MNAB.MNAB.同理可证同理可证MN

45、CD.MNCD.1212MNAB (2)(2)由由(1)(1)可知可知 所以所以 所以所以 所以所以MNMN的长为的长为 1MN2 ，qrp2222211MN2()44 qrpqrpq rp qr p222222221aaa1aaaa2()2a.4222422MNa.2 2a.2(3)(3)设向量设向量 的夹角为的夹角为.因为因为 所以所以 ANMC与11ANACAD22 ，qr1MCACAM2，qp211AN MC(22111222 qrqp)(qq pr qr p)又因为又因为 所以所以 所以所以cos=cos=222222222111(aa cos60a cos60a cos60)2221aaaa(a).242423ANMCa2，233aAN MCAN MC cosaacos.222 2.3所以向量所以向量 的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为 ,从而异面直线从而异面直线ANAN与与CMCM所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .【误区警示误区警示】直线所成角的范围是直线所成角的范围是 ANMC与2323(0,.2