14方向导数与梯度

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1、第六节方向导数与梯度在实际问题中，经常需要研究函数在某点沿某一固定方向的变化率问dz题，例如我们所学习的函数z=f(x,y)的偏导数实际上就是点oxP(x,y)沿x轴方向变化时函数的变化率，由此引入方向导数的概念。一、方向导数我们以二元函数为例介绍方向导数。不难看出函数沿PQ方向的变化率可以用如下极限表示limf(Q)一f(卩)IPQIt0IPQI设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域U(P0)内有定义，l为一fclP!向量，其单位向量为e=ai+bj=(a,b)，自点P引射线L，方向与e相F同，由于L是xOy面上通过点P(x0,y0)且以e为方向向量的直线，由解析几何知射线L的参

2、数方程为x=x+ta00t+8y=y+tb0在L上任意取一点Q(x,y)，则x=x+ta0y=y+tb0由于PQ=(x-x0,y-y0)=t(a,b)=te，所以P到q两点间的距离为IPQ1=11(a,b)1=111=t则函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)处沿方向e的变化率我们可以用函数增量f(Q)-f(P)与点Q到点P的距离t的比值f(Q)-f(P)f(x0+ta,y0+tb)f(x0,y0)tt当Q点沿直线l趋于P(即tT0+)时的极限来表示，该极限为函数z=f(x,y)在点P处沿方向e的变化率，称为方向导数。定义设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)的某个邻域内有定义，l是一非

3、零向量，其单位向量为勺=(a,b)，如果极限limf(%+tayo+仿)f(x0，y0)tT0+t存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点P(xo,y0)处沿方向l的方向导数，记作1()dl(xo,yo)0f(x+ta,y+tb)-f(x,y)I=limooo亡odl(xo,yo)tTo+tdf由方向导数的定义可知，方向导数厶I()就是函数z=f(x,y)dl(xo,yo)在点P(xo,yo)处沿方向l的变化率。df特别地，如果取e=i=(l,o)，且丄I()存在，则ldx(xo,yo)fI=dl(xo,yo)fIdx(xo,y)如果取e)=j=(o,i)，且fi()存在，则ldx(xo,y

4、o)注意，反之未然。fiidl(xo,y)dy(xo,y)方向导数的计算本质上仍然是一元函数导数的计算，因为若令w(t)=f(xo+ta,yo+tb)，则limf(xo+上yo+tb)-f(xo,yo)=limW(t)-()因而，轨xo,y厂()。例1求f(X,y)=sin(x+y)在点(0,0)处沿方向(cos0,sin0)的方向导数。解这里(x,yo)=(0,0)，故设申(t)=f(tcos0,tsin0)=sint(cos0+sin0)0(t)=(cos0+sin0)cost(cos0+sin0)所以葺h0)=coS+sin0当函数在点P0(x0,y0)处可微时，方向导数可以由偏导数表示

5、出来。f(Q)-f(P)=f(x+ta,y+tb)-f(x,y)0000=f(x0,y0)ta+f(x0，y0)tb+o(t)x00y00df(P)ai所以有(xy)=fx(X0,y0)a+fy(X0,y0)b(x0,y0)于是有如下定理Hr定理设函数f(x,y)在P(x0,y0)点可微，向量l的方向上的单位向量为el=(a,b)，则有C(p)=/(x0，y0)a+/(x0，y0)b。机x00y00兀设6,申二-6为别为x轴、y轴到方向l的转角，向量l上的单位向量为(cos6,sin6)，贝gf(P)=/(x0，y0)cos6+/(x0,y0)sin6x00y00例2求函数z=xe2y在点P(

6、1,0)处沿从P(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数。.1f1-1，T2,-T2丿dzQx(1,0)=e2y|=1(1,0)=2xe2y|=2(1,0)dzQx(1,0)(1,0)=1丄+2J2(1解1=PQ=(1，-1)，勺二立-1)=二元函数方向导数的定义及计算方法可以推广到三元函数u=f(x,y,z)的情形，若u=f(x,y,z)可微，则它在空间一点P(x,y,z)沿方向1(设三个方向角为Q、卩、Y)的方向导数为dfcosa+dxdfcos卩+dzcosY。例3设f(x,y,z)=xy+yz+zx,求它在点P(-1,1,7)沿方向l=(3,4,12)的方向导数。113(3412)

7、f13dxP13dyP0P013dzPq4813方向导数的几何意义：过直线L:a(x-x0)+b(y-y)=0作平行于z轴的平面沢，它与曲面z=f(x,y)所交的曲线记作r。容易看出，Lf(x+ta,y+tb)-f(x,y)-00-00表示割线PQ相应于与向量l的斜率，当t-0+时，割线相应于l斜率即为r/在点P处切线相应于l斜率1Pdxcosa+cosP+fcosy二、梯度1、梯度一般说来，一个函数在不同方向上的方向导数是不一样的，这说明函数值沿不同的方向变化速度不同，在许多实际问题中经常需要讨论函数沿什么方向的变化率最大。设函数z=f(x,y,z)在P0(x0,y0,z)可微，l的单位向量

8、为e_二(co氏,cosP,coy)，由方向导数的计算公式.fixdydy丿8f乔=1GIcos9,cosP,cosy)值。为此我们介绍在物理上一个非常有用的概念梯度。这里我们首先介绍二元函数的情形。定义设二元函数u=f(x,y,z)在P(x0,y0,z)可偏导，称向量(fx(x0,y0,z0),fy(x0,y0,z0),fz(x0,y0,z0)x000y000z000为函数u=f(x,y,z)在点P(x0,y0,z)的梯度(gradient)，记为gradf(%，y0，z0)或Vf(%,y0,z0)，即gradf(%,%zo)二(f(%y0,SV(%fz(%,y0,zo)梯度的方向是使方向导

9、数取到最大值的方向，即为函数增加最快的方向，最大值为|Vf(xo,yo)|。例4设z=f(x,y)=xey。(1)(1)求出f在点P(2,0)处从p到Q,2方向的变化率。V2丿(3)f在点p处沿什么方向具有最大增长率，最大增长率是多少？.(34、解(1)设el是与PQ同方向的单位向量，则=1V55丿又Vf(x,y)=(ey,xey)，Vf(2,0)=(1,2)df(34所以a!=Vf(2,0)-e=(1,2)5,5丿=1。(2,0)(2)f(x,y)在点P(2,0)处沿Vf(2,0)=(1,2)方向具有最大增长率，为IVf(2,0)1.5。上面介绍的梯度概念可以推广到三元函数的情形。请大家自己

10、写出定义，并归纳出相应的结论。2、有势场与梯度场场论是物理学即其他学科中常用的一个概念，所谓场是指某种物理量在平面或者空间区域中的一种分布，在数学上实际上是一个映射。数量场如果对于空间区域上定义了一个数量值函数f(M)，则称f(M)定义了一个数量场，记为(f,)，或称f(M)为一个数量场。向量场如果对于空间区域上定义了一个向量值函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k则称F(M)在上定义了一个向量场，记为(F,)，或称F(M)为一个向量场。简单地说，场就是函数。数量场是数值函数；向量场就是向量值函数。场通常是空间坐标及时间的函数即为X,y,z,t的函数如果时间的影响可以忽略不计，则称场

11、为静场或恒稳场。一个数量值函数f(M)可以生成一个向量值函数Vf(M)称为f(M)的梯度场。反之，如果某个向量场F(M)是某数量场f(M)的梯度场，即F(M)=Vf(M)，则称该向量场F(M)为有势场，而称f(M)为F(M)的势函数。m例6求数量场一的梯度场，其中m是一正常数，rr=ix2+y2+z2为原点到M(x,y,z)的距离。myr2mxr2m)因而Vlr丿(_mx_my?lr3r3-(xyz)如果记e；为与OM同方向的单位向量，即er_，则/lrrr丿物理上，上式右端可以解释为位于原点O、质量为m的质点对位于坐标mm原点，质量为1的质点的引力。所以匸7是有势场，其势函数为匚称为引力势。小结：方向向量梯度数量场与向量场势函数