二胡物理参数的计算与测量

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1、二胡物理参数的计算与测量袁振才(华润集团，广东深圳 518026)【摘要】：本文简要地论述了弦的振动理论；重点讨论并给出了如何利用音律学和有关理 论来确定它的物理参数的方法。特征函数【关键词】线质量密度；张力；基频；泛频；Calculation and measurement ofthe physical parameter of ErhuYuanZhencai(Huarun Group,Shenzhen Guangdong 518026,China)【Abstract】The paper briefly discusses the Vibration theory of string .It

2、 discusses and gives a method of how to use the temperament and the related theory to determine its physical parameters【Key Words】 line quality density;tension;Base frequency;Harmonic Frequency;characteristic function1引言二胡的发声，简单点说，是通过弓毛的摩擦力拉动琴弦，使琴弦产生振动，再通过琴码 的传递，使蟒皮产生类似的振动，由于蟒皮的面积较大，推动了大面积的空气和空气柱的振

3、动，这种振动传到我们的耳朵里，就可听到二胡发出的声音。可见，这里涉及到有限长弦和 圆形薄膜的振动理论。根据这些理论结合音律学相关知识，我们就能确定二胡的物理参数, 如弦长、弦的张力、琴筒长度等。下面我们就分别讨论这几个问题。2弦线的横向振动2.1两端固定均匀弦线的横向自由振动二胡弦的振动是一种两端固定的均匀弦线的自由振动。这种振动可能存在横振动、纵振 动、扭转振动、阻尼振动等多种类型。我们关心的是对二胡音色、音量起主导作用的横振动。 其振型是驻波。由文献1-2 可知，采用分离变量法，其解可写成如下形式：F(t)只与t有关。其振动方程为y(x, t)- Y(x)FC)其中Y(x)只与x有关，下面

4、两个二阶常微分方程:(1)(2)d2 F(t)+ 2 Ft) 0 dt 2竺3 +B 2Y(x)- 0 dx其中T弦线的张力，对于均匀弦线为常数(N/M)P 弦线的线质量密度，对于均匀弦线为常数(kg/M) 则方程(2)的解Y （x）= A sin 卩=A sin 厂兀r=l,2,3,.（3）rr LrL式中A为未定的幅值，这就意味着振型可唯一确定，是正弦波。r由（2）（3）式可得r兀：TI L Pr = 1,2,3 、/, f 二丄 1工 亠、 f f f 斤 、一、当r=l得基频12L飞p ，而较咼频率2J3J4等则称之为泛频或谐频。方程（1）的解(t)=C cos t + D sin t

5、r = 1,2,3(5)rrrrr则对应于各阶固有频率 r的主振动为y (x,t)= Y (t)F (t)= A sin rX (C cos t + D sin t) rrrrL rrrr=A sinr竺cos( t-申)L r r其中C = cos申,D = sin申rr rr而弦的自由振动可表示为各阶主振动的叠加，即y(x, t)=Y A sinrr=1rKX(cos t-p )Lr r（7）3二胡的物理参数3.1音乐声学有关知识音名、唱名、音程与音高：用字母c,d,e,f,g,a,b表示七个不同音高的音。则称其为 七个音的音名。若1=C，其唱名依次为“do,re,mi,fa,sol,la

6、,si”。用来表示两个音高距离 的量叫音程，音程的单位是“度”。如c为基音，则称e为大三度，称g为大五度等。钢琴 音域较宽，则用字母的大小写及角码表示音高不同而音名相同的各组音，如：“CDEFGAB”、 “cdefgab”、“cidieifigiab”,分别称作大字组、小字组、小字一组等。且右侧一组比左 侧一组同音名的音都高八度。若采用标准定弦，二胡音域约3.5个八度，即“dieifigiaibcdz”、 “d2e2f2g2a2b2C3d3”、“d3e3f3g3a3b3C4d4”、“d4e4f4g4”。一个音的绝对音高是频率，钢琴每个音 （名）都有固定频率，但唱名不固定，随调而变。C1的频率为

7、261.5Hz。二胡的音高都以钢 琴为准。二胡定弦法：一般采用标准五度定弦法（也有非标），即外弦比里弦高五度，外弦频率为 440Hz,里弦则为293.7Hz。记作di-ai。故它的频响为293.7s2350Hz。由文献4、5已知，按三分损益二比律（黄钟），若以c为基音，不论哪一组音各音 之间音程都一样，据公式（4），二胡的频率与弦长成反比，故可列出下表1：音名cdefgab弦长18/964/81131072/1771472/316/27128/243频率19/881/64177147/1310723/227/16243/128注：表中音名未标角码是为了通用性，可适用任何一组音。若选定某一组，则

8、表中的“”就是该组C 音的频率，可以是261.5Hz、523.2、1046.5Hz等，或是弦的任意长度。还有，表中仅列出基本音名。3.2二胡物理参数的计算与测量3.2.1给定二胡的弦的张力与线质量密度的简易测量二胡弦的张力可以用仪器间接测量出来。步骤是：1）先用一硬木千金（和原千金等高）在原线千金位置固定好，将线千金上移。2）用440Hz校音器校准好外弦，在按五度定弦法调好内弦。4）将二胡横放于桌面，使蟒皮垂直桌面，并固定好。用推拉力计稍微用力水平顶压外弦 的1/2处，记下弦的位移量h=0.011（M）和推力计显示数Q=5（N）.5）已知弦长L=0.398M,则有：h + AhL/20.5QT

9、 =八=4 心0賈 0.0OOO3)= 45.1043(N / M)其中Ah为测具的修正值。同样，我们也可以测出里弦的张力T2 =后=4(003)= 55.09血 / M )已知张力和频率，代入（4）式可得:P = T =45.1043= 0.3673 x 10-3 (kg / M)14L f 24 x 0.3982 x 4402P 2 =击=5 = 1.008 x 10-3 (kg / M )3.2.2给定二胡里外弦理论张力的计算取下里外弦，截取同样长度 L=0.6M，再用天平称其重量分别为 M0.2 X 10-3kg、M =0.55x10-3kg，即可得到它们的线密度为p =0.333x1

10、0-3kg/M. p =0.917x10-3kg/Mof =丄叵3）代入公式f1 = 2L P，得T 二 4f 2L2p = 4 x 4402 x 0.3982 x 0.333 x 10-3 二 40.8485（N /M）T 二 4x 293.72 x 0.3982 x 0.917 x 10-3 二 50.1191（N/M）2可见与前面的测量结果偏差较大，主要原因是基频公式是在对实际振动作了很多简化 设定而得出的理论公式，比如张力、线密度都设定为常数；忽略了其他类型振动对主振动（横 振动）的影响等，这都导致与实际产生偏差。其次，在简易测量中一是校音器440Hz本身频 率不准；二是凭耳朵听感校音

11、也会产生误差；三是所用推拉力计精度较差；四是用视力读数也会产生误差，数字显示就好些。而后一组数据可以说是弦的线密度、弦长和频率确定后, 里外弦的理论张力。3.2.3二胡有效弦长（千金至琴码）的计算与确定二胡有效弦长本不是个精确绝对的数值，须由诸多因素决定。如音量、音色、均衡度、 手指长短、演奏方便等。本文主要是考虑后两个因素，通过计算给出弦长的范围，供习琴者 参考。一是第一把位各音位的间距不可太大，太大演奏起来就有难度。二是最下把位的各音 位间距不可太小，不然演奏起来也较困难。下面我们具体计算一下。1）按一般成人手指弯曲按弦时指尖部的最大间距为0.041M,则第一把位第二和第三音位 （即食指与

12、中指）之间的距离就只能小于等于这个数。据表1有：8 64I 丁 81 丿 L 0.041L 0.01141 9丿L 0.396（M ）这是按三分损益二比律计算的结果。也可按十二均律、纯律来计算。结果分别为0.3666M L 0.4218M，0.396M L 0.4613M。这些数据只是根据一般正常人的手指情况和演奏方便而得出的弦长范围,究竟取何值为 好，还要看各人的具体情况和习惯而定。根据（4）式，若弦长取的较短，则张力变小，声 音变弱，按弦力度不好把握，易变音。若弦长取得较长，则张力变大，声音宏亮，但手指按 弦力度加大，时间长了手会痛，揉弦也很困难。根据长期实践摸索，目前成人一般取L为 0.

13、40M左右。这样张力也较适中，演奏起来也较容易，音色音量也都基本满意。少儿练琴者 可适当取短些。3.2.4琴筒尺寸的理论计算1）琴筒口的计算由文献7已知，琴筒的直径决定了琴筒内声波传播的上限频率。其计算公式为（11）这里d琴筒内侧直径（M）C空气中的声速=340M/sf上限频率，即琴弦最下把位最高的一个音的频率，这里取作2350Hz。代入 上式可得：d=0.0847（M）,则圆琴筒的截面积为nd%4,其等面积的正六角形内侧边长q则可由下 式计算/ q x q X： 3 d26 x=“ ，所以2 x 24q 仁d 二0.5498 x 0.0847 二0.0皿）目前大多数二胡制作厂商基本上都参考了

14、这一尺寸。2）琴筒长度的计算琴筒类似一个敞开式音箱（蟒皮可看作平板扬声器），其作用就是防止低音短路，使低音得到改善。所以其尺寸可参考敞开式音箱来确定。由文献6已知，敞开式音箱低频重放下限频率f=85/L（10）2这里的L为蟒皮前后至无限远处的路程差。f可设为里弦的最低音293.7Hz。另外，蟒皮中2心部位振幅最大，边部为零，所以只计算中心部位前后面至无限远处的路径差即可。而且蟒皮振动相对无限远处来说可以看作点声源，故琴膜前面各点至无限远均可视为等距。故其路程差为L二 u + P + 弋其中d为琴筒口圆直径=0.0847M, u为琴筒长,P （琴筒口板厚）=0.007M,代入公式f =85/L,

15、 解得 u=0.138 （M）。若以等面积的边长为q的正六角形的内切圆和外切圆为端口的两种圆筒计算，其结果分 别为u=0.1383M和u=0.1374M。三种算法差别不大，目前二胡制作厂家大都采用u=0.135M 左右。作者简介：副研究员，从事电子电声工作近三十年，在国家级核心刊物上发表译文、论文多篇。参考文献1陈宇东结构振动分析M.长春：吉林大学出版社，2008.2方同，薛璞.振动理论及应用M.西安：西北大学出版社，1998.3杜功焕，朱哲民，龚秀芬声学基础M.南京：南京大学出版社，2012.54程贞一.黄钟大吕M.上海：上海科技出版社，2001.5武际可.音乐中的科学M.北京：高等教育出版社，2012.66（日）山本武夫编著；王以真，吴光威，张绍高译校扬声器系统M.北京：国防工业出版社，2010.17任健一二胡声学（共鸣）特征的研究演艺科技.2008.S1