物理习题集萃1

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1、 例：质点在平面运动，分别指出下列情况中做例：质点在平面运动，分别指出下列情况中做何种特征运动？何种特征运动？d0drtd0drtd0d tvd0d tv静止、转动静止、转动静止静止匀速率运动（直线、曲线）匀速率运动（直线、曲线）匀速直线运动匀速直线运动例：如图所示，在水平面上三个彼此距离为例：如图所示，在水平面上三个彼此距离为L的质点的质点A、B和和C以以大小为大小为v的速度互相追逐，质点运动方向始终指向它追逐的对象，的速度互相追逐，质点运动方向始终指向它追逐的对象，求：质点需要多长时间才能追上其目标？求：质点需要多长时间才能追上其目标？ABCLv启发：两个质点相对运动问题启发：两个质点相对

2、运动问题（1）待选择答案：）待选择答案：A.L/v B.L/2vC.D.2L/3v E.永远无法追上，永远无法追上，F.此题无解此题无解.33Lv解：解：三个质点彼此之间作相对运动，运三个质点彼此之间作相对运动，运动轨迹对三角形动轨迹对三角形ABC的中心的中心O具有具有旋转对称性。旋转对称性。BvrCBvvv考虑考虑C质点相对质点相对B的运动，有的运动，有rv将将 在在BC连线方向的投影连线方向的投影vr/为为/3cos32rvvvv 追逐过程中，追逐过程中，BC连线连线长度从长度从L匀速（匀速（vr/）缩缩短到短到0，所以，所以/23/23rLLLTvvvCvvr/rvABCLvZ例例1 求

3、圆柱形容器以求圆柱形容器以 作匀速旋转，液体自由表面形状？作匀速旋转，液体自由表面形状？设质元的质量为设质元的质量为m，根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律有有amgmNxa2tgmgxm2ddzx2ddxzxg200ddzxxzxg222xgzxZNgmmgNz02ddzxxg020d dzxzzx xgxZNgm解得：解得：2202zxzgzxOdxxzRz02 R h22200()2 d2RxzxxR hg2204Rzhg可以解得：可以解得：若已知桶不旋转时水深为若已知桶不旋转时水深为h，桶半径为桶半径为R,有：水的总体积为有：水的总体积为讨论讨论结果：结果：2202zxzg查量纲：查量纲：

4、=1/s2，x=m，g=m/s22 正确。正确。mh 过渡到特殊情形：过渡到特殊情形：=0，有，有 z=z0=h，正确。正确。看变化趋势：看变化趋势：x 一定时，一定时，(z-zo),),合理。合理。222224xRhgg222xg422Rg 222m/sm)/s1(z，法向：法向：2NmRv切向：切向：rfN两式联立，分离变量，得：两式联立，分离变量，得：020ddttRvvvv解得解得00(),RtRtvvv沿切线方向沿切线方向.tvv0小滑块运动路程：由小滑块运动路程：由dd,st v等式两边积分：等式两边积分：0000ddstRstRtvv得得0()ln(1)Rs ttRvtsddmt

5、v0vmsNrf最后由摩擦力公式最后由摩擦力公式2/,rfNmRv将将 v 代入，得代入，得200(),rfmRRtvv沿切线方向。沿切线方向。写成矢量式：写成矢量式：200(),rfmRRt vv例例3 3：212dfCAv已知：已知：流体阻力流体阻力求：求：质量为质量为m m的物体在流体中下落的速率的物体在流体中下落的速率和终极速率和终极速率解：解：dfmg令令12kCA2dfkvy y建立坐标系建立坐标系ddvmgfmdt2dvmgkvmdt2mdvdtmgkv1()211dvdvgdtkkvvmgmg21dvgdtkvmgln(1)ln(1)2mgkmgkvvgtckmgkmgt=0t

6、=0 时时0v0c 1ln()21kvm gk gtmkvm g 211kgtmkvm gekvm g1l n()21kvm gk gtmkvm g终极速率终极速率?tv 时m gvk12kC A由2m gvCA2211kgtmkgtmm gevke212mgCAvdf例例4.如图所示如图所示,质量为质量为 m 的直杆可以在竖直的直杆可以在竖直 方向上运动方向上运动 求质量为求质量为 m 的斜劈的加速度的斜劈的加速度 和作用力（地面和接触面光滑）。和作用力（地面和接触面光滑）。0cosgmFFnNynmamgFcos解解:首先将两物体受力画在图中首先将两物体受力画在图中,则有则有(1)(2)d

7、dyxtgxnamFsin(3)NFnFynFm mmmgmgmx(4)dydxtgaaxyyaxasinxnamF22sincoscosmmgmm代入代入(2)式式gmFFnNcosgmmtgmmtgmm22gmmmgmm222sincoscos0cosgmFFnN(2)xnamFsin(3)gmtgctgmmaxtgammgctgamxx将将(3)(4)式代入式代入(1)式得式得:13求：求：当小物体当小物体 m 滑到底时，滑到底时，大物体大物体 M 在水平面上在水平面上 移动的距离。移动的距离。例例 如图，一个有四分之一圆弧滑槽的大物体质量为如图，一个有四分之一圆弧滑槽的大物体质量为M，

8、置于光，置于光滑的水平面上。另一质量为滑的水平面上。另一质量为m的小物体自圆弧顶点由静止下滑。的小物体自圆弧顶点由静止下滑。RmxvvVyxSs0()xmMVv解解:xmMVv00ddttxmtMV tvsSMSms SRsRMmmSM143.6 质心质心 质心运动定理质心运动定理 质心定义质心定义1iiicm rrm()iimm质质心心的的坐坐标标iiicm xxmiiicm yymiiicm zzm12cxab()2cmam abxm0 xyzm1m2micrc2r1riroabmmcxx质量连续分布的质量连续分布的物体物体dcr mrmdcx mxmdcy mymdcz mzm一、质心一

9、、质心分量式分量式例已知：例已知：mNM个个人人、车车每个人以相对车水平每个人以相对车水平速度速度 跳车跳车r,开始时静止开始时静止求求:(1)一齐跳后车速一齐跳后车速？车车(2)一个一个跳后车速一个一个跳后车速？车车 解：解：相对同一惯性参考系相对同一惯性参考系“地面地面”列动量守恒式列动量守恒式N个人个人 mM车车无摩擦无摩擦mm（1）0人人对对地地车车对对地地 NmM车车对对地地人人对对地地 r0(）车车车车 rNmM0)(rNmNmM 车车rNmMNm 车车（2）同理，第一人跳车同理，第一人跳车0)()1(11 rmmNMrNmMm 1同理，第二人跳车同理，第二人跳车122)1()()

10、2(mNMmmNMrrmNMm )1(12N个人个人 mM车车无摩擦无摩擦mmrmNMmNmMm )1(217rmMmmNMmNmMm 1)1(车车rNnnmMm 1车车rNmMNm 车车（一齐跳车）（一齐跳车）（一个一个跳车）（一个一个跳车）对比对比rNmMmNmMmNmMm 车车显然显然（齐齐跳跳）（个个跳跳）车车车车 N项项t t 时刻时刻:火箭火箭+燃料燃料=M M它们对地的速度为它们对地的速度为v(1)(1)经经 dtdt 时间后时间后 ,质量为质量为 dm dm 的燃料喷出的燃料喷出,Mdm 剩下质量为剩下质量为vdv对地速度为对地速度为(2)(2)0MdvudMu称为喷气速度称为

11、喷气速度Mdm选地面作参照系选地面作参照系,忽略外力忽略外力M选正向选正向（喷出燃料相对火箭速度）（喷出燃料相对火箭速度）动量守恒动量守恒dmdM MvdvvdmMudvvdm)()(MvdvvdMMudvvdM)()(MvdMdvMdvdMvMvdMudMdvdMv火箭的原理火箭的原理(选地面作参照系选地面作参照系)dMdvuM 火箭点火质量为火箭点火质量为 M M0 0 初速度初速度末速度为末速度为末质量为末质量为 M M，则有则有 ()dpdmv uvdtdtdmudt dm:dm:dmFudt火箭推力火箭推力0vvMMvvMdMudv00MMuvv00lnMMuvv00ln0Mdvud

12、M0lnMvuM初速为初速为0 0时时根据牛顿第三定律根据牛顿第三定律2.2.0ln,MvM这对燃料的携带来说不合适这对燃料的携带来说不合适,用多级火箭避免这一困难用多级火箭避免这一困难0MvM大，大，sm/5000uv 1.1.化学燃料最大化学燃料最大 u u 值为值为实际上只是这个理论值的实际上只是这个理论值的50%.50%.这个这个 u u 值比带电粒子在电场作用下获得的速度值比带电粒子在电场作用下获得的速度 3 3 10108 8 m/s m/s 小得多小得多 ,由此引起人们对离子火箭由此引起人们对离子火箭 ,光子火箭的光子火箭的遐想遐想.可惜它们喷出的物质太少可惜它们喷出的物质太少,

13、从而推动力太小从而推动力太小 即即所需加速过程太长所需加速过程太长 .例题例题 如图所示，如图所示，长为长为 l 的轻杆，两端各固定一质量分别为的轻杆，两端各固定一质量分别为 m 和和 2m 的小球，的小球，杆可绕水平光滑轴杆可绕水平光滑轴 O 在竖直面内转动，转轴在竖直面内转动，转轴 O 距两端分别为距两端分别为 l/3 和和 2l/3。原原来杆静止在竖直位置。今有一质量为来杆静止在竖直位置。今有一质量为 m 的小球，以水平速度的小球，以水平速度 v0 与杆下端小球与杆下端小球作对心碰撞，碰后以作对心碰撞，碰后以 v0/2 返回，试求碰撞后轻杆获得的角速度返回，试求碰撞后轻杆获得的角速度。O

14、l/32l/3v0v0/2m2m例：如图，求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率例：如图，求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率t t=0=0，v=0=0M M，L Lb bx xo o解：解：利用动能定理利用动能定理LbxAM gdxLxmMLdAmgdx由动能定理得：由动能定理得：22gvLbL建立作坐标系，重力所作元功为：2221022Mg LbMvL2212LbM gLl已知：已知：匀质杆匀质杆M子弹子弹m水平速度水平速度0v求：求：射入不复出射入不复出解：解：对对M m系统系统0M轴外系统角动量守恒系统角动量守恒2201()3mlmlMlv033mmMlv匀质杆的质心速度匀质杆的质心速度?cv2

15、clv032(3)mmMv设杆长为设杆长为l系统动量守恒系统动量守恒OMm0v?cvc是否动量一定不守恒？是否动量一定不守恒？有没有特例？有没有特例？?方法二方法二：用动量定理角动量定理：用动量定理角动量定理oxl假设无水平轴力，只有子弹的力假设无水平轴力，只有子弹的力 f对象：杆对象：杆lx32联立三式，可解得联立三式，可解得动量定理（水平）：动量定理（水平）：cftmv-（1）231mltxf 角动量定理：角动量定理：-（2）2clv运动学：运动学：-（3）例例:转台绕中心竖直轴以角速度转台绕中心竖直轴以角速度 0匀速转动匀速转动,转台对轴的转动惯量转台对轴的转动惯量 J0=3.25 10

16、-3kg.m2,今有砂粒以今有砂粒以dm/dt=10-3kg.s-1的质量变化的质量变化 率落至转台率落至转台,砂粒粘附在转台砂粒粘附在转台,并形成一圆环并形成一圆环,环的内半径环的内半径 r1=0.10m,环的外半径为环的外半径为r2=0.15m.求落砂使转台角速度减至求落砂使转台角速度减至 0/2时所需要的时间时所需要的时间.0r1r2解解:系统的角动量守恒系统的角动量守恒.2)(0000JJJJ)(212221rrmJst200 0dtmtt均匀圆盘绕直径的转动惯量均匀圆盘绕直径的转动惯量214JmR均匀圆环绕垂直于圆面通过圆心的轴均匀圆环绕垂直于圆面通过圆心的轴2JmR均匀球绕直径的转

17、动惯量均匀球绕直径的转动惯量225JmR均匀薄球壳绕直径的转动惯量均匀薄球壳绕直径的转动惯量223JmR均匀圆盘绕垂直于盘面且通过中心的轴均匀圆盘绕垂直于盘面且通过中心的轴212JmR逆变换：逆变换：)(122t cxcutuxxyy zz)(1222cxtcuxcutt正变换：正变换：令令，cu2211cu21.1)(122ctxcuutxxyyzz)(1222cxtcuxcutt讨论：讨论：1）速度的变换公式，保证了光速速度的变换公式，保证了光速 c 不变性不变性。如：。如：xxxvcuuvv21ccuuc21,c.0zyvv若在若在 S系中系中,cvx.0zyvv?xv?zyvv、则则S

18、系中系中21cuvuvvxxx2211yyxvvuvc2211zzxvvuvc 例例1 一艘宇宙飞船的船身固有长度为一艘宇宙飞船的船身固有长度为 L0=90m,相对地面相对地面以以 u=0.8c 的匀速度在一观测站的上空飞过。的匀速度在一观测站的上空飞过。（1）观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？（2）宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？解：解：1）观测站测得船身的长度观测站测得船身的长度2201LLu c通过观测站的时间间隔为通过观测站的时间间隔为Ltu 2）宇航员测得飞船船身通过观测

19、站的时间间隔为宇航员测得飞船船身通过观测站的时间间隔为0Ltu或或221ttuc 290 1 0.854(m)540.8c72.25 10(s)900.8c73.7510(s)22/1L uu c2202211Lucuuc0Lu例例2 2 有一固有长度为有一固有长度为 L0 的棒，在的棒，在S系中沿系中沿 x 轴放置。另存在一轴放置。另存在一S 系，以系，以 u 相对相对S 系沿系沿 x 轴正方向运动。求：当棒在轴正方向运动。求：当棒在S系中沿轴以系中沿轴以v 运动时，从运动时，从S 系中测得该棒的长度为多少？系中测得该棒的长度为多少？x(x )SS uo解：当棒在解：当棒在 S 系中以系中以

20、v 运动时，在运动时，在 S 系看其速度为系看其速度为21/xxxuuc vvv因因L0是相对棒静止的参照系中测得的长度是相对棒静止的参照系中测得的长度2201/xLLc vx SSvxo相当于：相当于：21/uucvv20222()1(1)Lccvuvu例如：例如：两个静止质量为两个静止质量为0m的全同粒子，的全同粒子，它们各自以速率它们各自以速率v相向而行，相向而行，所以它们相对论质量均为所以它们相对论质量均为,m v设两粒子作完全非设两粒子作完全非弹性碰撞后，变成一个静止的复合粒子，其静止质量为弹性碰撞后，变成一个静止的复合粒子，其静止质量为M0。求碰撞过程中转化的内能。求碰撞过程中转化

21、的内能。由于粒子在碰前后能量守恒，由于粒子在碰前后能量守恒，因此有：因此有：220 2mcM c20cM20 2KEmc22Emc0 2mM 能量守恒能量守恒 质量守恒质量守恒两粒子在碰撞过程中，两粒子在碰撞过程中，静止质量并不守恒。静止质量并不守恒。静止质量的增量静止质量的增量002mMm022mm 称为质量过剩。称为质量过剩。实际上碰前两粒子动能转化为碰后静止实际上碰前两粒子动能转化为碰后静止复合粒子的内能，复合粒子的内能，即：即：1112220cmKE内E2 mc解：解：x (cm)0.25-0.50 t(s)2求：振动方程求：振动方程（振动表达式）（振动表达式）解解：由图可知由图可知0

22、.5 cmA 2sT 12(s)T初始条件：初始条件：0cos0.5cos0.25(cm)xAcos0.530.5cos()3xt初始条件初始条件v0 00sin0A vsin03 0.5cos()3xt练习题练习题(cm)0 xAA/2/3/3A 例例 一质点沿一质点沿 x 轴作简谐振动，振动方程为轴作简谐振动，振动方程为21410cos(2)(SI)3xt 从从 t=0 时刻起，到质点位置在时刻起，到质点位置在 x=-2cm 处，且向处，且向 x 轴正向轴正向运动的最短时间间隔为运动的最短时间间隔为1111()s()s()s()s8426ABCD解：解：将将 x=-2cm 代入振动方程得代

23、入振动方程得221210410cos(2),3t 据题意可知据题意可知14233t 1s.2t 答案：答案：Cx(cm)O11cos(2)32t 2t=0-2例例.一质点在一质点在x轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过C 点时作为计时起点（点时作为计时起点（t=0），经过秒后质点第一次经），经过秒后质点第一次经 过过D点，再经过秒后质点第二次经过点，再经过秒后质点第二次经过D点，若已知点，若已知 该质点在该质点在C，D两点具有相同的速率，且两点具有相同的速率，且CD10cm 求：（求：（1）质点的振动方程；（）质点的振动方程；（2）质点在）质点在C点处的速率

24、。点处的速率。xCDOVCVD2st 4st 0 t 解：以解：以CD的中点为坐标原点。的中点为坐标原点。4 s24CDTVV05costxA 时，2 s 5cos(2)txA 时，151 44tg 或 25 2 10cos(/45/4)xt0t 1d/d3.93 cm sCVxt时，时，50 4CV10.4 10.4 波的能量波的能量 能流密度能流密度dm x 处处,质元质元动能动能:ddmV21dd2kEmv2221sind2xAtVu21dd2pEky势能势能：21d2yVt21d2yEVxddPkEEdddPkEEE222sindxAtVu动能和势能同相且相等动能和势能同相且相等一、一

25、、波的能量波的能量2221sind2xAtVu总能和动能、势能同相总能和动能、势能同相222sinxAtu01dTww tT能量密度能量密度SPIPw S u平均能流平均能流平均能流密度平均能流密度-波的强度波的强度uw2212IA u222dsindxEAtVu能流能流（单位时间垂直通过某一面积的能量）（单位时间垂直通过某一面积的能量）平均能量密度平均能量密度ddw S u tPtw S uddEwV能量随空间时间的分布能量随空间时间的分布2212A波的能量与振幅的平方成正比波的能量与振幅的平方成正比 二、能流密度二、能流密度平面简谐波的强度平面简谐波的强度 uAI2221uZ媒质的特性阻抗

26、媒质的特性阻抗 波疏介质，波密介质波疏介质，波密介质波的强度波的强度 I A2，2，Z 球面谐波球面谐波222111()42PuA rr 222221()42uA rr 2211)()(rrArrA02(,)cos()Arr ttr振幅与半径成反比振幅与半径成反比例例 两个同频率波源两个同频率波源S S1 1和和S S2 2相距相距 /4，其振动的初相差，其振动的初相差 1-2=/2，振幅都等于振幅都等于A0 0。在通过。在通过S S1 1和和S S2 2的直线上，的直线上，S S2 2外侧各点外侧各点合振动合振动的合振幅的合振幅为多大？为多大？S S1 1外侧各点的合振幅又为多大？外侧各点的

27、合振幅又为多大？S1S2P4/r2r1S2S1Q4/r1r2解：解：2121212()()rr任一点任一点P2240两列波在两列波在S S2 2外侧任一点引起的振动都是同相位的，合外侧任一点引起的振动都是同相位的，合振动振动的的振幅为振幅为A=2A0 0，在，在S S2 2外侧传播的是一列加强了的波外侧传播的是一列加强了的波S S1 1外侧任一点外侧任一点Q2121212()()rr两列波在两列波在S1外侧任一点引起的振动都是外侧任一点引起的振动都是反相的，合振动的振幅零，在两波源的反相的，合振动的振幅零，在两波源的连线上没有向连线上没有向S1外侧传播的波外侧传播的波例例.一枚两级火箭的总质量

28、是一枚两级火箭的总质量是 1.300104 kg,第一级的总质量为第一级的总质量为 1.2104kg,其其中燃料中燃料 9.0103 kg;第二级的总质量第二级的总质量 1.0103 kg,其中燃料为其中燃料为7.5102kg.发射发射时第一级火箭携带第二级火箭一起上升，喷出物质相对于火箭的速度仍为时第一级火箭携带第二级火箭一起上升，喷出物质相对于火箭的速度仍为u.若若重力和空气阻力均忽略不计重力和空气阻力均忽略不计.试问第一级火箭的燃料燃尽时的速度是多少？在第试问第一级火箭的燃料燃尽时的速度是多少？在第一级火箭燃料燃尽后，第一级火箭的剩余物质自动被抛弃掉，第二级火箭自动一级火箭燃料燃尽后，第

29、一级火箭的剩余物质自动被抛弃掉，第二级火箭自动点火，试求第二级火箭燃料燃尽时火箭的速度。点火，试求第二级火箭燃料燃尽时火箭的速度。00lnmmvvum第一级火箭燃料燃尽时的速度第一级火箭燃料燃尽时的速度11ln1.18mvuNu第二级火箭燃料燃尽时的速第二级火箭燃料燃尽时的速度度212lnln2.57mvuNuNu mvmdmvdvdmvdvumvmdvudm 0mdvudm为燃料燃烧完后火箭的质量为燃料燃烧完后火箭的质量m如果把所有的燃料用一级火如果把所有的燃料用一级火箭发射，最终速度是多少？箭发射，最终速度是多少？3ln1.39mvuNu选竖直向上为正方向选竖直向上为正方向例：一质量例：一

30、质量M的水桶，开始时静止，桶中装水的水桶，开始时静止，桶中装水m，以恒定作用力以恒定作用力 P将桶从井中提出，桶中水以不变速率从桶中漏出，以相对将桶从井中提出，桶中水以不变速率从桶中漏出，以相对 速度为零和桶分离，经速度为零和桶分离，经T时间时间 后桶变空。求：变成空桶瞬时，后桶变空。求：变成空桶瞬时，桶速度等于多少？桶速度等于多少？PMm解：根据动量定理，可得解：根据动量定理，可得()()mmPMmt g dtMmtdm dvdm uTT 000TTvPdtgdtdvmMmtTlnPTMmvgTmM又因为又因为0u 忽略二阶无穷小忽略二阶无穷小dmdv()mmPMmt g dtMmt dvT

31、T所以上式变为所以上式变为 例例.从一个半径为从一个半径为 R 的均匀薄圆板上挖去一个半径为的均匀薄圆板上挖去一个半径为 R/2 的圆板，所形的圆板，所形成的圆洞的中心在距圆薄板中心成的圆洞的中心在距圆薄板中心 R/2 处，所剩薄板的质量为处，所剩薄板的质量为 m。求此时薄求此时薄板对通过圆中心与板面垂直的轴的转动惯量。板对通过圆中心与板面垂直的轴的转动惯量。ORR/2O半径为半径为 R 的圆盘对的圆盘对 O 点的转动惯量为点的转动惯量为211(1)2IM R1(2)3Mmm式中整个圆盘的质量式中整个圆盘的质量由平行轴定理，半径为由平行轴定理，半径为 R/2 的小圆盘对的小圆盘对 O 点的转动

32、惯量为点的转动惯量为222221()()(3)222RRImm式中小圆盘的质量式中小圆盘的质量21(4)3mm总转动惯量总转动惯量2121324IIImR 例例.如图所示，两物体的质量分别为如图所示，两物体的质量分别为 m1 和和 m2 ，滑轮质量为滑轮质量为 m，半径为半径为r,已知已知 m2 与桌面之间的滑动摩擦系数为与桌面之间的滑动摩擦系数为，不计轴承摩擦，且绳子与滑轮不计轴承摩擦，且绳子与滑轮间无滑动，求间无滑动，求 m1 下落的加速度和两段绳中的张力。下落的加速度和两段绳中的张力。arm2m1mT2T2T1T1对对 m1：111(1)m gTm a对对 m2：222(2)Tm gm

33、a对滑轮：对滑轮：2121(3)2aTrT rImrr1211112(),1()2mmgTm gmmmm1222212().1()2mmgTm gmmmm1212()12mm gammm 例例.有一半径为有一半径为 R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌面的摩擦的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌面的摩擦系数为系数为，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度 0 开始旋开始旋转，它将在旋转几圈后停止？转，它将在旋转几圈后停止？解答提示解答提示r drOr1）求圆盘的摩擦力矩。）求圆盘的摩擦力矩。2,2Rmrdrdm该圆环所受摩擦力矩该圆环所受摩

34、擦力矩rgdmdMdrrRmgdM222圆盘受摩擦力矩圆盘受摩擦力矩)1(32mgRdMM在圆形平板上取一细圆环在圆形平板上取一细圆环2）求角加速度：由转动定律）求角加速度：由转动定律)2(,IMIM3）由运动学定律求转过圈数：）由运动学定律求转过圈数：)4(2)3(220NgRN16320例例.匀质细杆长为匀质细杆长为2L，质量，质量m，以与棒长方向垂直的速度，以与棒长方向垂直的速度v0在光滑水平面内平动时，与前方固定光滑支点在光滑水平面内平动时，与前方固定光滑支点O发生完发生完全非弹性碰撞，如图所示。全非弹性碰撞，如图所示。求棒在碰撞后瞬时绕求棒在碰撞后瞬时绕O点转动点转动的角速度。（角动

35、量守恒问题）的角速度。（角动量守恒问题）v0v0L/2L/2LO解：解：碰橦前瞬间碰橦前瞬间,杆对杆对O点的角动量为点的角动量为3220000LLV xdxV xdx式中式中 为杆的线密度为杆的线密度,碰橦后瞬间碰橦后瞬间,杆对杆对O点的角动量为点的角动量为J碰橦前后角动量守恒碰橦前后角动量守恒LmVmL0221127LV76020LVLmV021222141234331LmLm2127mL例例.由一根长为由一根长为 l，质量为质量为 M 的静止的细长棒，可绕其一端在竖直面内转动。的静止的细长棒，可绕其一端在竖直面内转动。若以质量为若以质量为 m，速率为速率为 的子弹沿与棒垂直的方向射向棒的另

36、一端。的子弹沿与棒垂直的方向射向棒的另一端。OvlmM碰撞时刻，角动量守恒碰撞时刻，角动量守恒2013mlvJmlvMlmlv03()m vvMl（1）若子弹穿棒而过，速度为）若子弹穿棒而过，速度为 ，求棒的旋转角速度，求棒的旋转角速度0以以 m,M 为系统，以为系统，以 O 为参考点。为参考点。（2）若子弹嵌入棒中，求棒的最大旋转角）若子弹嵌入棒中，求棒的最大旋转角碰撞时刻，角动量守恒碰撞时刻，角动量守恒22013mlvJm lMml棒旋转过程，机械能守恒棒旋转过程，机械能守恒221111 cos1 cos222JmvMglmgl033mvMm l2203cos132m vMmMm gl 例

37、例.k 惯性系中观测者纪录两事件的空间间隔和时间间隔分别是惯性系中观测者纪录两事件的空间间隔和时间间隔分别是 x2-x1=600m 和和 t2-t1=810-7 s ，为了使两事件对为了使两事件对 k 系来说是同时发生的，系来说是同时发生的，k 系必须以多大速度相对于系必须以多大速度相对于 k 系沿系沿 x 轴方向运动？轴方向运动？已知已知 k 系中：系中：721218 10,600tttsxxxm 由洛伦兹变换可知由洛伦兹变换可知2()uttxc 为了使在为了使在 k 系中看来是同时发生的，需使系中看来是同时发生的，需使0t 即即20()utxc 281.2 10/tucum sx例例.在惯

38、性系在惯性系 k 中，有两个事件同时发生在中，有两个事件同时发生在 x 轴上相距轴上相距 1000m 的两点，的两点，而在另一惯性系而在另一惯性系 k（沿沿 x 轴方向相对于轴方向相对于 k 运动）中测得这两个事件发生运动）中测得这两个事件发生的地点相距的地点相距2000m，求在求在 k 系中测得这两个事件的时间间隔。系中测得这两个事件的时间间隔。解答提示解答提示在在 k 系中：系中：0,1000txm 在在 k 系中：系中：2000 xm由由222(1)1utxctuc 由（由（2）式可得）式可得32uc代入（代入（1），得），得 k 系中两事件的时间间隔系中两事件的时间间隔65.77 10

39、()ts 22(2)1xu txuc 例例.设有一宇宙飞船设有一宇宙飞船 A 以速率以速率0.9c 匀速向东飞行，另一宇宙飞船匀速向东飞行，另一宇宙飞船 B 以速率以速率 0.8c 匀速向西飞行。试问，乘坐在宇宙飞船匀速向西飞行。试问，乘坐在宇宙飞船 B 上的宇航员所测上的宇航员所测得的宇宙飞船得的宇宙飞船 A 的速率是多少？的速率是多少？设向东为设向东为 x 轴正方向，对地面参照系轴正方向，对地面参照系 s,A 的速度为的速度为0.9xvc对以对以 B 为参照系的为参照系的 s ，A 的速度为的速度为2,0.81xxxvuvucuvc 0.988xvvc例例.在折射率为在折射率为 n 的静止

40、连续介质中，光速的静止连续介质中，光速 v0=c/n.已知水的折射率已知水的折射率 n，试问当水管中的水以速率试问当水管中的水以速率 u 流动时，通过运动着的水的光速流动时，通过运动着的水的光速 v 多多大？大？设地面参照系为设地面参照系为 s 系，系，流水参照系为流水参照系为 s 系。系。s系相对系相对 s 系的速度，即水流系的速度，即水流速度为速度为 u，速度方向为速度方向为 x 轴正方向。光对轴正方向。光对 s 系，即对静水的速度系，即对静水的速度 v0=c/n.依据相对论速度变换公式，流水中传播的光相对依据相对论速度变换公式，流水中传播的光相对 s 系及地面的速度系及地面的速度 v 为

41、为21cunvu cc n结果表明，光好像是被运动介质所拖动。但又不是完全的拖动，结果表明，光好像是被运动介质所拖动。但又不是完全的拖动，只是运动介质速度的一部分，只是运动介质速度的一部分，f=1-1/n2 加到了光速加到了光速 v0=c/n 中。中。1851年，菲佐从实验室中观测到了这个效应。然而，直到相对论年，菲佐从实验室中观测到了这个效应。然而，直到相对论出现后，该效应才得到了满意的解释。出现后，该效应才得到了满意的解释。2()c ncn unncu2(1)cn uunncu2(1)cn uunnc21(1)cunn1()1cnu cnu nc例例.一根米尺静止放在一根米尺静止放在 S

42、系中，与系中，与 OX 轴成轴成 30o 角，如果在角，如果在 S 系中系中测得该米尺与测得该米尺与 OX 轴成轴成 45o 角，那末角，那末 S系相对于系相对于 S 系的速度系的速度 u 为多大？为多大？S 系中测的得米尺的长度是多少？系中测的得米尺的长度是多少？解答提示解答提示在在 s 系中米尺为原长，有系中米尺为原长，有yzOyZOxlylu031 cos302xl 在在 s 系中：系中：022223cos4511(1)2xxlllucuc011 sin302yl 01cos45(2)2yylll由（由（2），在），在 s 系测得米尺长度系测得米尺长度20.707()2lm代入代入(1)

43、，2211,3uc s 系相对于系相对于 s 系的速度系的速度20.816.3ucc例：一山洞长例：一山洞长1km，一列火车静止时长度也是一列火车静止时长度也是1km。这列火车以这列火车以0.6c的速度穿过山洞时，在地面上测量，的速度穿过山洞时，在地面上测量，(1)列车从前端进入列车从前端进入山洞到尾端驶出山洞需要多长时间？山洞到尾端驶出山洞需要多长时间？(2)整个列车全在山洞内整个列车全在山洞内的时间有多长？的时间有多长？(3)如果在列车上测量呢？如果在列车上测量呢？解：解：(1)S系：系：201All列车长列车长山洞长山洞长1.0 kmBl 510s0.6ABlltcSSyxxyu0.8k

44、m 系：系：S列车长列车长01.0kmAll 201Bll 山洞长山洞长510 sABlltu0.8km(2)S系：系：61.11 10 sBAlltu 系：系：SBAll列车的长度比山洞长，整个列车不可列车的长度比山洞长，整个列车不可能有全在山洞内的时刻能有全在山洞内的时刻u(3)u例例.静止的静止的 子的寿命约为子的寿命约为=2 10-6s。今在今在8km的高空，由于的高空，由于 介子的衰变产生一个速度为介子的衰变产生一个速度为 u=0.998c 的的 子，试论证此子，试论证此 子有无子有无可能到达地面。可能到达地面。解：设地球参考系为惯性系解：设地球参考系为惯性系S，子参考系为子参考系为

45、S。已知已知S 系相对于系相对于S系的运动速率为系的运动速率为u=0.998c，子在子在 S 系的固有寿命为系的固有寿命为=2 10-6s。根据相对论时间延缓效应，根据相对论时间延缓效应，子在子在 S系的寿命为：系的寿命为：226031.6 101ucs60.99831.6 109.4618Luckmkm此此 子有可能到达地面。子有可能到达地面。子在时间子在时间 内运动的距离为：内运动的距离为：060.9982 10598.88Lucmkm 解法二解法二：对于对于S 系来说，系来说，子不动，地球以速率子不动，地球以速率 u=0.998c朝向朝向 子运动。子运动。在在 子寿命子寿命 =2 10-

46、6s时间内，地球运动的距离为时间内，地球运动的距离为600.9982 10598.8Lucm 对对S 系来说，地面与系来说，地面与 子之间的距离存在相对论长度收缩效应；子之间的距离存在相对论长度收缩效应；也就是说，也就是说，S 系中的观测者所测得的地面与系中的观测者所测得的地面与 子之间的距离为：子之间的距离为：22201/8000 1 0.998505.7llucm由此可见，由此可见，子在衰变之前，地面已经碰上了子在衰变之前，地面已经碰上了 子。子。一个电子从静止加速到一个电子从静止加速到 0.1c 的速度需要做多少功的速度需要做多少功?速速度从度从 0.9c 加速到加速到 0.99c 又要

47、做多少功又要做多少功?解解:根据功能原理根据功能原理,要作的功要作的功AE 根据相对论质能关系式根据相对论质能关系式2221Em cm c根据相对论质量公式根据相对论质量公式0221mmvc10,mm022221mmvc(1)当当 10,v20.1vc时时22160022234.12 1012.58 10m cAm cJvcMeV319.1093897 10emkg1216.241506 10JMeV式中式中01221,1mmvc022221mmvc(2)当当 10.9,vc20.99vc时时220022222111m cm cAvcvc133.93102.46JMeV例例.设一物体沿设一物体

48、沿 x 轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为 12 cm，周期为周期为2.0 s；在在 t=0 式的位移为式的位移为 6.0cm,且这时物体向且这时物体向 x 轴正方向运动。试问：轴正方向运动。试问：（1）初相位；初相位；（2）t=0.5s 时物体的位置，速度和加速度；时物体的位置，速度和加速度；（3）在在 x=-6.0cm 处，且向处，且向 x 轴负方向运动时，物体的速度和加速轴负方向运动时，物体的速度和加速度，以及它从这个位置到达平衡位置所需要的时间。度，以及它从这个位置到达平衡位置所需要的时间。（1）t=0 时时 0000cos612cos3xA 由于由于00sin0vA 因此有因此

49、有03（2）振动方程为）振动方程为12cos()()3xtcm速度速度12sin()(/)3vtcm s 加速度加速度2212cos()(/)3atcm s 当当 t=0.5 s 时时210.4(),18.8(/),103(/)xcmvcm sacm s12cos()()3xtcm2T（3）由旋转矢量图示，）由旋转矢量图示，当当 x=-6 即即 -A/2，且且 v 0,场是面对称的场是面对称的,做柱形做柱形高斯面高斯面.侧面垂直于带电面侧面垂直于带电面.由高由高斯定理得斯定理得:02eE eEE若带等量异号电荷的一对无限若带等量异号电荷的一对无限大平行平面薄板之间的场强大平行平面薄板之间的场强

50、 E0eE 02SSEeS例例 求半径为求半径为R的均匀球面电荷的均匀球面电荷q的电场强度和电势分布？的电场强度和电势分布？外S内SqRrrE0204qr(0 r R)dRrEr内04qRdrVEr外外drVEr内dREr外20d4Rqrr20d4rqrr04qrrVOR例例 “无限长无限长”带电直导线的电势带电直导线的电势解解 dPBPBUElUorBBrPr令令0BU dBPrUErrBrrrrerd20rrBln20能否选能否选？0U例例.电荷分布如图所示，设电荷分布如图所示，设 q 0,0，求求P点电势点电势a Pa/2 q无限大均匀带电板无限大均匀带电板200/2/2d()d42aa

51、aaqxxx0044qaa 可统一选大平板处可统一选大平板处 P0 点电势为零，点电势为零，0p0011()4/222qaaaPpqpVVV板 能否选无限远处为电势零点？能否选无限远处为电势零点？例例 用静电场的环路定理证明电力线如图分布的用静电场的环路定理证明电力线如图分布的电场不可能是静电场电场不可能是静电场。证明证明 在电场中作扇形环路在电场中作扇形环路 ABCDA，ABCD电场沿环路电场沿环路ABCDA 的积分为：的积分为：1dABCDAElCD E)(21EEDC按静电场环路定理，应有按静电场环路定理，应有d0LEl故该电场不是静电场。故该电场不是静电场。2EBA0例例0d4qVr0

52、1d4qr04QrQRPxdqr122204()QVxR3222014()xVQxExxR 0yVEy 0zVEz E求：求：导体球接地后导体球接地后球上感应电荷的电量球上感应电荷的电量qx 是多少？是多少？U球心处qRaO044100aqdqR感应电荷04400aqRqxxRqqa 例例04dqR感应电荷04qa0dq感应电荷Q1Q2q1q4121Qqq243Qqqq2q3P1P2 0P1:102P2:02222040302011414qq221QQ 221QQ 23qq 23 例例 题题Sq11Sq2233qS44qS202302402012342 QS021QQQ12342Qqqqq Q

53、+-0E0V原不带电原不带电?E?V02EE200E02VV00VE d+-+EV接地后接地后:41230,QS1414qq221QQ 221QQ 23qq 23 例例 一半径为一半径为 R 的导体球带有电荷的导体球带有电荷 Q，球外有一层同心球壳的均匀电球外有一层同心球壳的均匀电介质，其内外半径分别为介质，其内外半径分别为 a 和和 b，电容率为电容率为。试球电介质内外的电场强度试球电介质内外的电场强度 E 和电位移和电位移 D，以及电介质内的极化强度以及电介质内的极化强度 P 和表面上的极化面电荷密度和表面上的极化面电荷密度。abR（2）电介质中的电场强度）电介质中的电场强度34DQrEr

54、电介质外的电场强度电介质外的电场强度3004DQrEr（1）电介质内外的电位移矢量）电介质内外的电位移矢量34QrDr（3）电介质内的极化强度）电介质内的极化强度0034QrpDEr（4）电介质表面极化电荷面密度）电介质表面极化电荷面密度npnp电介质球壳内表面电荷面密度电介质球壳内表面电荷面密度204)(aQa电介质球壳外表面电荷面密度电介质球壳外表面电荷面密度02()4bQb 如图球形电容器，导体球如图球形电容器，导体球R1，同心导体球壳内外半径：，同心导体球壳内外半径：R3、R4，两介质层的介界面半径为两介质层的介界面半径为R2，己知内球带电为，己知内球带电为Q，外球不带电，外球不带电，

55、求：求：(1)各区域电场强度；各区域电场强度；(2)两导体球之间的电位差；两导体球之间的电位差；(3)球形电容器的电容。球形电容器的电容。解：解：(1)：01E：222114DQEr:332224DQEr:04E:552004DQErR4R1R2R312(3)UQC 231223ddRRRRUE rE r(2)2321113212123()()4QRRRR RRR R R 12123232111324()()R R RR RRR RR 思考题：一立方体导体壳，六个面之间彼此绝缘，其中一个面的电势思考题：一立方体导体壳，六个面之间彼此绝缘，其中一个面的电势 为为U，其余五个面接地，试问：立方体中

56、心的电势为多少？，其余五个面接地，试问：立方体中心的电势为多少？u=U/6立方体中不可能有电力线通过，为什么？立方体中不可能有电力线通过，为什么？反证法：假如立方体中有电力线通过，根据静电场是有源场，反证法：假如立方体中有电力线通过，根据静电场是有源场，电力线只能从正电荷开始，负电荷结束，而立方体中无电荷电力线只能从正电荷开始，负电荷结束，而立方体中无电荷分布，电荷只能分布在面上，如果立方体中有电力线通过，必分布，电荷只能分布在面上，如果立方体中有电力线通过，必然从一个面开始，到达另一个面。根据电场性质，电势沿电力然从一个面开始，到达另一个面。根据电场性质，电势沿电力线方向降低，和已知条件矛盾

57、，因此立方体中无电力线，整个线方向降低，和已知条件矛盾，因此立方体中无电力线，整个立方体为等势体，电势为立方体为等势体，电势为U。以上的情况相当于六个本题给出情况的叠加，又根据电势满足以上的情况相当于六个本题给出情况的叠加，又根据电势满足标量叠加，因此最终的结果为标量叠加，因此最终的结果为解：首先假定六个面的电势均为解：首先假定六个面的电势均为U 1.电量电量 Q(Q0)均匀分布在长为均匀分布在长为 L 的细棒上，在细棒的延长线上的细棒上，在细棒的延长线上距细棒中心距细棒中心 O 距离为距离为 a 的点的点 p 处放一带电量处放一带电量 q(q0)的点电荷，求带电的点电荷，求带电细棒对该点电荷

58、的静电力。细棒对该点电荷的静电力。解答提示解答提示+aOL+QpqX以棒中心以棒中心 O 为坐标原点取为坐标原点取 X 轴。轴。在棒上距原点在棒上距原点 x 取微元取微元 dx,dx 所带电量为所带电量为 dq=Q/L dx,该微元对点电荷该微元对点电荷 q 的电场力为的电场力为20)(41xadxLQqdF细棒对电荷细棒对电荷 q 的电场力为的电场力为2202220)1(4)(41LLLLxaLQqxadxLQqdFF)4(220LaQqF2.一平行板电容器，极板面积为一平行板电容器，极板面积为S,相距为相距为d。若。若B板接地，且保持板接地，且保持A板的电势板的电势 UA=U0不变。如图，

59、把一面积相同的带有电荷为不变。如图，把一面积相同的带有电荷为Q的导体薄板的导体薄板C平行地插入平行地插入 两板中间，求导体薄板两板中间，求导体薄板C的电势。的电势。解答提示解答提示设设C板的上下两个面分别带电板的上下两个面分别带电12,q q则则12qqQ根据电势差定义根据电势差定义220022cqddUES101022cqddUUES三式联立，解得三式联立，解得0024cUQdUS02cUU 如果不是从中间插入，结果又如何？如果不是从中间插入，结果又如何？3.如图所示，三块平行金属板如图所示，三块平行金属板 A,B,和和 C，面积都是面积都是 20cm2 ，A 和和 B相距相距 4.0mm,

60、A 和和 C 相距相距 2.0mm,B 和和 C 两板都接地。如果使两板都接地。如果使 A 板带正电，板带正电，电量为电量为 3.010-7 C,忽略边缘效应，试求：忽略边缘效应，试求：（1）金属板）金属板 B 和和 C 上的感应电量；上的感应电量；（2）A 板相对地的电势。板相对地的电势。解答提示解答提示ACBqq1-q1q2-q2d2d1E2E1SdqdEUSdqdEUACAB0222201111,)1(由由)1(21,12212211ddqqdqdqUUACAB得电量守恒电量守恒)2(100.3721qqq解（解（1），（），（2）得得)(100.2),(100.17271CqCq（2）

61、A 板对地的电势为板对地的电势为)(103.2402222VSdqdEUUACAB如图球形电容器，导体球如图球形电容器，导体球R1，同心导体球壳内外半径：，同心导体球壳内外半径：R3、R4，两介质层的介界面半径为两介质层的介界面半径为R2，己知内球带电为，己知内球带电为Q，外球不带电，外球不带电，求：求：(1)各区域电场强度；各区域电场强度；(2)两导体球之间的电位差；两导体球之间的电位差；(3)球形电容器的电容。球形电容器的电容。解：解：(1)：01E：222114DQEr:332224DQEr:04E:552004DQErR4R1R2R312(3)UQC 231223ddRRRRUE rE

62、 r(2)2321113212123()()4QRRRR RRR R R 12123232111324()()R R RR RRR RR 5.如图所示，一平行板电容器的极板面积为如图所示，一平行板电容器的极板面积为 S，间距为间距为 d，两极板两极板间有厚度各为间有厚度各为 d1 与与 d2 的电介质，其电容率分别为的电介质，其电容率分别为 1=0r1 ,2=0r2 .试求：当两个金属极板上的面电荷密度分别为试求：当两个金属极板上的面电荷密度分别为 时，两层介质中的电位移时，两层介质中的电位移 D 和两层介质间分界面上的束缚面电荷密度和两层介质间分界面上的束缚面电荷密度,以及该电容器的电容以及

63、该电容器的电容 C。解答提示解答提示12d1d2d1122（1）电位移）电位移D（2）介质）介质1中的电场强度中的电场强度)11(,1101101rrE介质介质2中的电场强度中的电场强度22202021,(1)rrE 介质分界面处的束缚电荷密度为介质分界面处的束缚电荷密度为1212121211(1)(1)rrrrrr（3）由）由UQC 2201102211dddEdEUrr代入上式，得代入上式，得0121221120102rrrrrrSSCdddd 6.两块靠近的平行金属板间原为真空。使两板分别带上面电荷密度为两块靠近的平行金属板间原为真空。使两板分别带上面电荷密度为0 的等量异号电荷，这时两

64、板间电压的等量异号电荷，这时两板间电压 U0=300V。保持两板上电量不变，将保持两板上电量不变，将板间一半空间充以相对电容率板间一半空间充以相对电容率 r=5 的电介质，求：的电介质，求：（1）金属板间有电介质部分和无电介质部分的）金属板间有电介质部分和无电介质部分的 E,D 和板上自由电荷密度和板上自由电荷密度；（2）金属板间电压变为多少？电介质上下表面束缚电荷密度多大？金属板间电压变为多少？电介质上下表面束缚电荷密度多大？解答提示解答提示0-0S3000Udr1212E1D1E2D2U(1)有介质部分的场强有介质部分的场强E1，与无介质部分的场强与无介质部分的场强E2 相等：相等：dUE

65、dUEr022011,)1(5,5,2121rr由电量守恒由电量守恒)2(2,22021021SSS解（解（1），（），（2），得），得020131,35电位移电位移;3,35022011DD电场强度电场强度0002213 EE（2）插入电介质前电压）插入电介质前电压)(3000000VddEU插入电介质后电压插入电介质后电压)(1003002VddEU电介质中电场强度电介质中电场强度01011rE电介质表面极化电荷面密度为电介质表面极化电荷面密度为00134)511(35)11(r 7.带电量带电量 q、半径为半径为 R1 的导体球的导体球 A 外有一内、外半径各为外有一内、外半径各为 R2

66、 和和 R3 的同心导体球壳的同心导体球壳 B，求：求：（1）外球壳的电荷分布及电势；）外球壳的电荷分布及电势；（2）将外球壳接地又重新绝缘，再求外球壳的电荷分布及电势；）将外球壳接地又重新绝缘，再求外球壳的电荷分布及电势；（3）然后将内球）然后将内球 A 接地，接地，B 球带电荷，球带电荷，B 球电势将如何变化？球电势将如何变化？解答提示解答提示AR1+qR2R3-q+qB（1）B 球壳：内表面电荷球壳：内表面电荷-q,外表面电荷外表面电荷+q。外球壳电势：（球外球壳电势：（球 B 的电势）的电势）32003d44Rq rqUrR（2）外壳接地再重新绝缘，（撤掉地线）：）外壳接地再重新绝缘，（撤掉地线）：球壳内表面电荷仍为球壳内表面电荷仍为-q,外表面电荷为零。外表面电荷为零。球壳外面电场处处为零，故外球壳电势为零，即球壳外面电场处处为零，故外球壳电势为零，即0BU（3）内球接地后，其电势为零，设其带电）内球接地后，其电势为零，设其带电 e，则球壳内表面带电则球壳内表面带电(-e),外表面带电（外表面带电（-q+e）。）。依据均匀带电球面电势公式，电势叠加原理，以及内球电势为零，依据