高一数学期末复习宝典系列2(必修二)

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1、邦德教育新新家园分校高中部田辉老师 TEL: 23977225 高一数学期末复习宝典（必修2）一、知识网络直线、平面、简单几何体三个公理、三个推论平面平行直线异面直线相交直线公理4及等角定理异面直线所成的角异面直线间的距离直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交空间两条直线概念、判定与性质三垂线定理垂直斜交直线与平面所成的角空间直线与平面空间两个平面棱柱棱锥球两个平面平行两个平面相交距离两个平面平行的判定与性质两个平面垂直的判定与性质二面角定义及有关概念性质综合应用多面体面积公式体积公式正多面体外离外切相交内切内含二、考点解析考点一、平面基本性质考点分析：公理1 如果一条直线上的两点在同一个平

2、面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)公理2 如果两个平面有两个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是两平面的交线(证明多点共线的依据)公理3 经过不在同一直线的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面推论2 经过两条平行直线，有且只有一个平面推论3 经过两条相交直线，有且只有一个平面公理4 平行于同一直线的两条直线平行。经典考题：例1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M求证：点C1、O、M共线考点二、异面直线考点分析：1. 异面直线：不同在任

3、何一个平面内，没有公共点2. 异面直线所成角：平移成平面角求，异面直线所成角的范围是D1C1经典考题： 例2.如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、PA1B1M分别为A1B1、BB1、CC1的中点P求异面直线D1P与AM所成角；考点三、直线与平面的位置关系考点分析：1直线和平面的位置关系：平行、相交、在面内2直线和平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行3直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 经典考题：ADBB1C1A1C例3.如图，在直三棱柱ABCA1B

4、1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点求证：AC1平面CDB1；考点四、直线与平面垂直考点分析：1直线和平面垂直的定义如果一条直线和一个平面的所有直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直2直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3直线和平面垂直性质定理：（1）若一条直线垂直一平面，则这条直线垂直于平面内的任一条直线（2）若一条直线垂直一平面，另一直线也垂直于一平面，则这两条直线平行。（3）若一条直线垂直一平面，则它的平行线也垂直于该平面经典考题：例4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D

5、1C，AD的中点求证： (1)MN平面ABCD；(2)MN平面B1BG.考点五、面面平行考点分析：1两个平面的位置关系：平行、相交 2两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行3、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的交线平行经典考题：例5正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为a。证明：平面ACD1 平面A1C1B 。考点六、面面垂直考点分析：1两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为直二面角，则这两个平面互相垂直2两个平面垂直的判定：如果一个平面内有一条直线垂直于 另一个平面，则这两个平面互相垂直3两

6、个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内的垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面经典考题：CBDFPAE例6.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角PCDB为45 求证：AF平面PEC； 求证：平面PEC平面PCD； 设AD2，CD2，求点A到面PEC的距离考点七、空间角考点分析：1两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a平行a，b平行b，把直线a和b所成的角叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是2直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条斜线和平面所成的角3二面角的平面角

7、：以二面角的棱上一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是经典考题：例7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，ADBC,BAD=90,PA底面ABCD，且PAAD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点。()求证：PBDM; ()求CD与平面ADMN所成的角的正弦值。考点八、综合考题例8如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示) (1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)证明：BD平面PEC；(3)若G为BC上的动点，求证：AEPG.考点九、直线的

8、倾斜角与斜率考点分析：直线的倾斜角与斜率k的关系:当时， k与的关系是；时，直线斜率不存在；经过两点P1(x1,y1)P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式是经典考题：例9.已知直线l:y=kx-2和两点P（1，2）、Q（-4，1）,若l与线段PQ相交，求k的取值范围；考点十、直线方程的五种形式考点分析：直线方程的五种形式:点斜式方程是；不能表示的直线为垂直于轴的直线斜截式方程为；不能表示的直线为垂直于轴的直线两点式方程为；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线截距式方程为；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.一般式方程为 .经典考题：例10.已知点A（3，4） （1）经过点

9、A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为： ；（2）经过点A且与两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程为 ：（3）经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为： ；（4）经过点A且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程为： ；考点十一、直线的对称问题考点分析：点关于直线对称（利用斜率关系及中点）、直线关于点对称的直线经典考题：例11.已知直线l:2x-3y+1=0,点A（-1，-2），求：（1）点A关于直线l的对称点的坐标；（2）直线l关于点A(-1，-2)对称的直线的方程；考点十二、两条直线的位置关系考点解析：1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)若两条

10、不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则这两条直线垂直.已知直线, 若,与相交,则 ; 若,则 ;若/,则且; 若与重合,则且经典考题：例12.已知直线 ：3mx+8y+3m-10=0 和 ： x+6my-4=0 问 m为何值时 （1）与相交（2）与平行（3）与垂直;考点十三、距离考点分析：已知两点,则 设点，直线点到直线的距离为设直线则与间的距离经典考题：例13. 与直线的距离为的直线方程为 考点十四、圆的方程考点分析：1.圆的标准方程为，其中圆心为,半径为r；2.圆的一般方程为，圆心坐标，半径为。方程表示圆的充要条件是3.点与圆的位置关

11、系：在圆内在圆上 在圆外经典考题：例14.（1）求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0 上的圆的方程； （2）求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程。例15.一圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.考点十五、直线与圆、圆与圆考点分析：1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法：若直线与圆相离，则；若直线与圆相切，则；若直线与圆相交，则 代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若，则直线与圆相离；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相交2.两圆的的位置关系

12、 (1)设两圆半径分别为，圆心距为d 若两圆相外离，则 ，公切线条数为4 若两圆相外切,则，公切线条数为3 若两圆相交，则，公切线条数为2若两圆内切，则，公切线条数为1若两圆内含，则，公切线条数为0经典考题：例16.求与圆外切于点，且半径为的圆的方程必修2期末复习宝典答案例1.证明：A1ACC1确定平面A1CA1C面A1C O面A1COA1C面BC1D直线A1CO O面BC1DO在面A1C与平面BC1D的交线C1M上C1、O、M共线例2.解： D1P与AM成90的角例3.解： 设CB1与C1B的交点为E，连结DE，D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1DE平面CDB1，AC1平面CDB1

13、，AC1平面CDB1；例4.证明：(1)取CD的中点记为E，连结NE，AE.由N，E分别为CD1与CD的中点可得NED1D且NE=D1D，又AMD1D且AM=D1D， 所以AMEN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形，所以MNAE，又AE平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)由AG=DE，BAG=ADE=90，DA=AB 可得EDAGAB.所以AGB=AED，又DAE+AED=90，所以DAE+AGB=90，所以AEBG，又BB1AE，所以AE平面B1BG，又MNAE，所以MN平面B1BG.例5.证明：如图， A1BCD1 是矩形，A1B D1C 。又D1C 平面D1CA ，A1B

14、平面D1CA ， A1B 平面D1CA。同理A1C1 平面D1CA ，又A1C1 A1B A1 ， 平面D1CA 平面BA1C1 点评：证明面面平行，关键在于证明A1C1 与A1B 两相交直线分别与平面ACD1 平行。例6.证明：(1) 取PC的中点G，易证EGAF，从而AF平面PEC(2) 可证EG平面PCD(3) 点A到平面PEC的距离即F到平面PEC的距离，考虑到平面PEC平面PCD，过F作FHPC于，则FH即为所求，由PFHPCD得FH1例7.解析：（I）因为是的中点，所以。因为平面，所以，从而平面.因为平面，所以.（II）取的中点，连结、，则，所以与平面所成的角和与平面所成的角相等。

15、因为平面，所以是与平面所成的角。在中，。例8解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，且PA4，BE2，ABADCDCB4，VPABCDPASABCD444.(2)证明：连结AC交BD于O点，取PC中点F，连结OF，EBPA，且EBPA，又OFPA，且OFPA，EBOF，且EBOF，四边形EBOF为平行四边形，EFBD.又EF平面PEC，BD平面PEC，所以BD平面PEC.(3)连结BP，EBABAP90，EBABAP，PBABEA，PBABAEBEABAE90，PBAE. 又BC平面APEB，BCAE，AE平面PBG，AEPG.例9.【解题思

16、路】用运动的观点,结合图形得出倾斜角的范围,从而得出斜率取值范围yxOMQP 解析由直线方程y=kx-2可知直线过定点（0，-2）， 要使直线l与线段PQ有交点，则k的取值范围是k4和k-3/4例10. 解析（1）4x3y0或xy70 当直线经过原点时，方程为4x3y0，当直线不经过原点时，设方程为，代入点A的坐标得直线方程xy70（2）2xy20或8x9y120；设直线方程为，由和求得的值（3）xy10或xy70；斜率为1或-1，由点斜式易得 （4）x2y110或4x3y0；当直线经过原点时，方程为4x3y0，当直线不经过原点时，设直线方程为，由和求得的值例11. 解析（1）设点A关于l的对

17、称点是， 解得 （2）设点是直线上任意一点，点关于点A(-1，-2)的对称点为，则，解得因点在直线上，化简得：例12. 解析当时； ， 与垂直当时由 ，而无解综上所述（1）时与相交（2）与平行（3）时与垂直例13. 解析 或例14.【解题思路】根据条件，列方程组求参数解析（1）设圆心,则有，所求圆的方程为（2）采用一般式，设圆的方程为，将三个已知点的坐标代入得，解得： 故所求圆的方程为例15.【解题思路】因题目条件与圆心、半径关系密切，选择圆的标准方程，与弦长有关的问题，一般要利用弦心距、半径、半弦长构成的“特征三角形” 解析：因圆与y轴相切，且圆心在直线x3y=0上，故设圆方程为（x3b）2+（yb）2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=1.故所求圆方程为（x3）2+（y1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.例16.解析：设所求圆的圆心为，则解得：，所求圆的方程为解法2：设所求圆的圆心为，由条件知，所求圆的方程为15