流体力学课件第十三章

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1、流流 体体 力力 学学 退 出中国科学文化出版社目 录流体力学基础第一篇第二篇流体动力学基本原理及流体工程退 出第三篇计算流体动力学 第一篇 流体力学基础w 绪论w 场论与正交曲线坐标w 流体静力学w 流体运动学第一章第二章第三章第四章退 出返 回 第二篇 流体动力学基本原理及流体工程w 流体动力学微分形式基本方程w 流体动力学积分形式基本方程w 伯努利方程及其应用w 量纲分析和相似原理w 流动阻力与管道计算w 边界层理论 w 流体绕过物体的流动 w 气体动力学基础 第五章第六章第七章第八章第九章退 出返 回第十章第十一章第十二章第三篇 计算流体动力学w 计算流体动力学数学物理基础 w 流体动

2、力学问题的有限差分解法 w 流体动力学问题的有限元解法 第十三章第十四章第十五章退 出返 回第十三章计算流体动力学数学物理基础 w 流动问题数值求解的基本步骤 w 流动控制方程 w 离散方程的建立方法 w 差分方程特性分析 第一节第二节第三节第四节退 出返 回第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第1页页第一节 流动问题数值求解的基本步骤计算流体力学（CFD）是流体力学的一个分支，集数学、计算机科学、工程学和物理学等多门学科知识于一体。它通过计算机模拟建立流动模型，求解流体力学问题，即获得某种流体在特定条件下的有关信息。相对于实验研究，CFD计算具有成本低、速度快、资料完备、可以

3、模拟真实或理想条件等优点。随着计算机技术的高速发展，CFD正逐渐成为研究各种流体现象和流动过程的有力工具，在工业领域得到了越来越广泛的应用。本章是全篇的数学与物理基础部分，着重讨论以下四个问题：（1）介绍对流动问题进行数值计算的基本思想与步骤；（2）讨论流动控制方程的类型及其对数值计算的影响；（3）介绍建立有限差分离散方程的方法，重点是控制容积积分法；（4）分析离散方程的数学特性（相容性、收敛性与稳定性）及主要的物理特性（守恒性与对流项的迁移性）。第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第2页页第一节 流动问题数值求解的基本步骤描述流动问题的偏微分方程组只在一些简单的情况下才有精确

4、解。对于大多数工程实际问题，只能采用实验研究或近似解法。与分析解不同，数值解法得出的是求解区域中某些代表性点上未知量的近似值。流动问题的数值求解过程大致包括六个步骤。现以房间中的气流流场计算问题为例说明如下。（一）建立简化物理模型，确定初始条件(a)(b)图13.1 两种气流方式 对于图13.1所示两种气流方式，若欲采用数值方法计算其流动状况，则从简化计算的角度可作如下假设：（1）流动已处于稳定状态；（2）温度恒定，气体的物性为常数；（3）在垂直于纸面方向上速度变化可忽略不计（即简化成二维问题）；（4）进风口的流速较低，流动是层流。通过这些假设，就把这一实际问题简化成为一个二维、稳态、常物性、

5、无内热源的层流流动问题，这就是所研究问题的物理模型。第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第3页页第一节 流动问题数值求解的基本步骤（二）给出控制方程式及其边界条件有关控制方程问题将在下一节中详细讨论。边界条件问题在以后章节也会作专门探讨。（三）流动区域离散化节 点图13.2 图13.1(a)的区域离散区域离散化必须在所需分析的区域中选定需要计算流体速度的点（称为节点）。区域离散化方法在本小节下面还要单独讨论。对图13.1(a)所示情形，可以采用的一种节点布置方式如图13.2所示，其中沿区域横向有L1个节点，竖向有M1个节点。（四）建立离散方程按一定的规则，建立每个节点上未知量与

6、其相邻节点上未知量间的代数关系式（离散方程）。如由气流的Navier-Stokes方程和引入的流函数，可得出每一节点与其相邻节点速度间的关系式。这一过程称为控制方程的离散化。第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第4页页第一节 流动问题数值求解的基本步骤建立控制方程并确定初始条件与边界条件划分子区域、确定节点数（区域离散化）建立离散方程（方程离散化）求解代数方程 解收敛？分析计算结果 修改离散方程系数 线性问题非线性问题是否（五）求解代数方程组图13.3 流动问题数值计算的步骤因四壁流速为已知，图13.2所示的网格系统分别有 个关于速度和 的代数方程需要联立求解。2211MLxw

7、yw第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第5页页第一节 流动问题数值求解的基本步骤（六）分析计算结果对所获得的数值结果进行分析、比较与讨论。上述计算步骤如图13.3所示。在这六个步骤中，第一、第二步是流体力学的基本内容，前面章节已讲述，本章中着重讨论第三、四、五个步骤。目前在流体力学的数值计算中广泛应用的数值方法为有限差分法与有限元法。这两种方法的主要区别也就表现在三、四、五这三个步骤上。本章中主要介绍发展比较成熟、比较容易实施的有限差分法。在这一节中先讨论有限差分法中常用的区域离散化方法。所谓区域离散化是指用一系列与坐标轴平行的曲线簇将计算区域划分成很多个子区域，并从每个子区

8、域中选定节点的过程。每一个节点可以看成是一个相应的微小容积（称为控制容积）的代表。控制容积的边界称为界面。依据节点在子区域中位置的不同，可分为外节点法与内节点法两种。第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第6页页第一节 流动问题数值求解的基本步骤节点界面控制容积图13.4 两种区域离散方法(b)(a)节点位于子区域的顶点。如图13.4(a)所示，用一系列与计算区域边界相平行的直线簇把计算区域分成许多个子区域，将直线簇的交点，即子区域的顶点作为节点。为了确定每一个节点所代表的控制容积，可在相邻节点的中间位置上作界面线（图中用虚线表示），由这些界面线围成各节点的控制容积。这种方法先确

9、定节点位置再确定界面位置，被称为A方法。（一）外节点法第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第7页页第一节 流动问题数值求解的基本步骤(a)A方法PEW(b)B方法P图13.5 两种区域离散方法的边界节点（二）内节点法节点位于子区域的中心。在这种方法中，每个子区域就是一个控制容积，划分子区域的曲线簇就是界面线（图13.4(b)中用虚线表示），将每个控制容积的中心作为节点。这种方法先定界面位置再定节点位置，被称为B方法。第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第8页页第一节 流动问题数值求解的基本步骤两种区域离散化方法的区别在于：（1）在A方法中边界节点代表了半个控制容

10、积（图13.5(a)），而在B方法中内节点应看成是控制容积的代表（图13.5(b)中打阴影线的部分是内节点P的控制容积）。因此如果要将节点作为控制容积的代表，则B方法较为合理。（2）A方法中界面永远位于相邻两节点之间，而B方法中节点总是在控制容积的中心。当求解区域中物体的物性参数发生阶跃式变化时，采用B方法可以较容易地把发生阶跃变化的面作为控制容积的界面，便于进行数值计算，而采用A方法则要复杂得多。本书中以后所讨论的内容除非特别说明，对两种区域离散化方法均适用。第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第9页页第一节 流动问题数值求解的基本步骤为以后讨论的方便，对网格系统的标记方法作

11、如下约定：控制容积的界面线用虚线，而网格线（即沿坐标轴方向联结相邻节点的曲线簇）则用实线；x、y方向的节点标号分别用i、j表示，同时还采用P表示所讨论的节点，用N、E、W、S表示其相邻的四个节点，节点 的控制容积的四个界面的位置分别用 、及 表示，也可用小写字母e、w、n及s来表示，相邻两节点及相邻两界面间的距离分别用 、及 、来表示。按这种标记方法所画成的一维区域如图13.6所示。ji,21i21i21j21jxyxyEi+1weWi-1Piee_+x)x)wx)x)图13.6 网格系统标记方法第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第1页页第二节 流动控制方程 本节中讨论控制方

12、程的类型及其对数值解的影响。由于全部流体力学的问题都是由连续性方程和Navier-Stokes（纳维埃斯托克斯）方程所规定着的。因此对于二维、常物性、不可压缩流体的绝热流动，控制方程为：连续性方程Navier-Stokes方程0ywxwyx22221ywxwxpywwxwwtwxxxyxxx22221ywxwypywwxwwtwyyyyyxy（13.1）（13.2a）（13.2b）式中，、为x、y方向的速度分量，p为压力，、分别为流体的密度和运动粘度。xwyw第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第2页页第二节 流动控制方程 利用连续性方程，改写式（13.2）中的对流项，得：对于

13、稳态问题，式（13.3a）、（13.3b）可简化为：222221ywxwxpywwxwtwxxyxxx222221ywxwypywxwwtwyyyyxy222221ywxwxpywwxwxxyxx222221ywxwypywxwwyyyyx（13.3a）（13.3b）（13.4a）（13.4b）上述方程都是通过对微分容积应用守恒定律而得到的，因而是无限小的容积中物理量守恒的数学描述。若上述控制方程对任意大小的有限容积，例如对数值计算中所采用的最小空间单位控制容积，均能使守恒性得到满足，则被称为守恒型的方程，否则就是非守恒型的方程。第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第3页页第二

14、节 流动控制方程 可以证明，在直角坐标系统中，当对流项写成散度形式时，上述控制方程是守恒型的。据此可知，式（13.4a）、（13.4b）是守恒型的，而（13.2a）、（13.2b）则为非守恒型的。讨论控制方程守恒性的目的在于希望据该方程导出的离散方程也具有守恒性。事实上，凡是从守恒型的控制方程导出的离散方程可以保证具有守恒性，而从非守恒型的控制方程导出的差分方程则得不到这种保证。例如，微分方程0 xwwtw（13.5a）亦可写成：当用时间前差，空间后差的格式进行离散时，式（13.5a）的差分方程为：022wxtw01111xwwwwwtnjnjnjnjnj（13.5b）（13.6a）第十三章

15、计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第4页页第二节 流动控制方程 式（13.5b）成为：0211111xwwwwwwtnjnjnjnjnjnj（13.6b）从数学的角度，可以把偏微分方程区分为抛物型、椭圆型与双曲型三种。对不可压缩流体不会出现双曲型方程。式（13.2）（13.3）均属于抛物型，其特点是方程中含有因变量对时间的一阶导数，它们描述了物理上的非稳态特性。由于在流体力学问题中，只有上一时刻的情况或条件会影响到下一时刻的结果而不会相反，因此在数值求解时，不必将时间坐标上求解范围内各个计算时刻的离散方程都联立求解，而可从已知的（或已求解出的）某一时层上的值出发，根据边界条件，将解一步

16、一步地向前推进。抛物型方程的这一特点可以大大节省所需的计算机内存与计算时间。式（13.4a）及（13.4b）属于描述稳态物理问题的椭圆型方程，在物理现象上，这类方程描述了有回流的流动（如图13.1(a)所示情形中的流动）。第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第5页页第二节 流动控制方程 在对这类问题的数值求解过程中，求解区域内各点之值是互相影响的，因而求解区域内各节点的离散方程必须联立求解，而不能先把其中一个小区域的值解出来再去求其它部分之值。例如图13.2所示的情形，离散得到的 个关于速度 和 的方程必须联立求解。2211MLxwyw采用单向坐标与双向坐标的概念可以形象地说明

17、抛物型与椭圆型方程在物理作用上的区别。如果在一个坐标轴上，影响或扰动仅能向一个方向传递，则称此坐标为单向坐标。这里，“向一个方向传递”指的是：对该坐标轴上任一点而言，该点上因变量之值仅受到该点一侧条件的影响，而该点之值也仅对另一侧上各点之值产生影响，时间就是这样一个单向坐标。“抛物型”恰好表示了这种物理上的单向作用。相反，在双向坐标轴上，扰动可以朝两个方向传递，即该坐标上任一点因变量之值既会受到来自两侧的条件制约，又对其两侧上的点有影响。而椭圆型这一术语就包含了这种“双向作用”的意义。空间坐标一般为双向坐标，但在一定条件下，空间坐标也会变成单向坐标。第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返

18、 回 第第6页页第二节 流动控制方程 在流体力学中相应于抛物型方程所描写的问题还有其专门的名称。如果所研究的问题中有一个空间坐标是单向坐标，称为边界层型的问题；如果所有的空间坐标都是双向的，则称为有回流的问题。对控制方程类型的描述，抛物型与椭圆型是从数学的角度来命名，单向坐标与双向坐标是从扰动或影响的传递方向来分类，而边界层型与回流型则是从物理现象上加以区别。由于对不同类型方程所描述的问题作数值求解的方法是不一样的，因此在进行流动与传热问题的计算之前，首先应查明所研究问题控制方程的类型。在讨论建立离散方程的方法之前，还要先引入一维模型方程。分析式（13.2）（13.4）可见，每个方程都由下列四

19、项组成：非稳态项、对流项、扩散项与源项（Navier-Stokes方程中的压力梯度暂且作为源项看待）。于是在研究建立离散方程的方法时，为避免复杂化，可把同一类型的项都取出一个来研究，从而引入了一维非稳态的对流扩散模型方程：第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第7页页第二节 流动控制方程 非守恒型 守恒型SxxxwtSxxxwt（13.7a）（13.7b）式中，为广义变量，可以代表速度、温度、浓度等；为相应于 的广义扩散系数；为广义的源项，它代表了一切不能归入到其它项中的量，而未必是物理上的真正源。模型方程既代表了抛物型问题（t为单向坐标），又具有椭圆型方程的一些特点（x为双向坐

20、标）。关于控制方程各种离散方法的介绍将针对式（13.7）进行。为简便起见，在下节的讨论中假定 、及 均为已知的常数。Sw第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第1页页第三节 离散方程的建立方法 所谓微分方程（控制方程）的离散，核心问题是如何用节点参数的简单代数式近似替代方程中的导数项，从而将微分方程转化为代数方程。采用差分公式就是其中的一种方法。建立有限差分离散方程的常用方法有四种，其中应用较广的有两种，即Taylor（泰勒）展开法与控制容积积分法。本节中只介绍这两种方法，其它方法参阅相关文献。一、Taylor展开法现以一阶导数的向前差分为例来说明Taylor展开法导出过程。把函

21、数 在时间空间网格中某点 之值记为 ，其中 为时间坐标上的节点编号。假设空间网格步长（即相邻两网格间的距离）是均匀的，记为 ，则 对点 作Taylor展开可得：),(tx),(ni),(ninx),1(ni),(ni 2),(),1(2,22,xxxxnininini第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第2页页第三节 离散方程的建立方法 由此得：或记为：ninixxxninix,22,2),(),1()(),(),1(,xOxninixni（13.8）这里符号 代表了二阶导数及更高阶导数项之和，称为截断误差。它表示随 趋近于零，用 来代替 的误差小于等于 （为与 无关的正实数）

22、。注意，这里 、是函数 在节点 、处的精确值，而在进行数值计算过程中，只能用其近似值来代替，记为 和 。于是，可得到导数 的向前差分的表达形式：)(xO xxnini),(),1(nix,xk kx),1(ni),(ni),(tx),1(ni),(nini 1ninix,)/()(,1,xOxxninini（13.9）类似地，可以导出一阶导数的向后差分、中心差分及高阶导数的差分表达式，如表13.1所示。截差为 的表达式称为一阶截差公式，截差若为 的公式称为二阶截差公式。当 足够小时，二阶截差的公式比一阶截差公式更准确。)(xO)(2xO x第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第

23、3页页第三节 离散方程的建立方法 对于非稳态项 ，也有向前差分、向后差分及中心差分等表达形式。在式（13.9）中采用了“近似等于”的符号“”，指该符号后的项是符号前的导数的一种差分近似表达式。以后为行文方便，凡导数用差分表达式来代替的场合，仍然采用等号。但应注意到，当导数用其相应的差分来代替时，原来严格表示某一物理规律的公式已经变成为一种近似的表达式了。t 例例13.1 利用Taylor展开法将一维、稳态、无源项的模型离散化，设 、及 均为常数。解：解：为了对求解区域中每个节点建立起整个控制方程的差分表达式，须将方程中每一个导数项对同一点作Taylor展开，然后将导得的差分表达式代入控制方程，

24、这样，每个导数项用差分式代替后引起的截差便可相加，得出整个方程的截差。w第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第4页页第三节 离散方程的建立方法 将一维模型方程的精确解在节点 、及 上之值对节点 作Taylor展开，经过运算和归并，可得：),1(ni),1(ni)1,(ni),(ni22,1,21,12,1,1,1,xtOxnininixniniwtnini（13.10）式中 是上述方程的截断误差，系由非稳态项、对流项及扩散项的截断误差归并而成。再以近似解之值 来代替精确解 ，得离散方程：可见，式（13.11）是将式（13.7a）中的各导数项用其相应的差分表示式来替换所得的。),

25、(2xtOnini,2211111,22xtOxxwtninininininini（13.11）第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第5页页第三节 离散方程的建立方法 二、控制容积积分法控制容积积分法（又称有限容积法）在流动问题的数值计算中应用很广，其基本步骤如下：（1）将守恒型的控制方程在任一控制容积及时间间隔内对空间及时间坐标作积分运算；（2）选定所求解的变量及其一阶导数对时间及空间坐标的分布曲线（型线）；（3）对多维问题，假定沿控制容积的界面所求解的变量及其一阶导数均为常数；（4）对控制方程的各项作积分，并将结果整理成节点上未知量的代数方程。在举例说明控制容积积分法的应用

26、之前，先介绍两种常用的型线，即分段线性分布与阶梯式分布。在图13.7(a)中分别画出了采用这两种分布形式时函数 随空间与时间坐标变化的趋势。对于 的阶梯式分布，又有显式与隐式的两种情形（图13.7(b)）。t第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第6页页第三节 离散方程的建立方法 WW(a)wePE xew PEx分段线性t+t(b)阶梯式ttt+tt显式CN格式隐式如果在整个时间步长内均取初始时刻之值而仅在该步长结束时刻取得终了之值就是显式，反之则为隐式。而所谓的Crank-Nicholson（克兰克尼克松）格式（简记为CN格式）则取初始与终了时刻的平均值作为该步长内的值。下面

27、以一维模型方程为例说明控制容积法的实施过程。图13.7 两种线型阶梯式分布分段线性分布第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第7页页第三节 离散方程的建立方法 例例13.2 用控制容积积分法导出式（13.7b）的离散方程（为与上例对比，设源项S为零）。解：解：将式（13.7b）对图13.6所示控制容积P在时间间隔 内作积分，得再对上式各项中的 及 的线型作出选择（正是在这一步中引入了近似处理）。ttxxtwwxtttwetttweewtttdddx(a)（1）非稳态项设 对x呈阶梯形变化，同一控制容积中各处的 均取节点上之值，则有：（2）对流项取若令 对t的变化为阶梯显式，则有：

28、xxtPttPewtttdtwwtwwtwtetttwed（b）（c）第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第8页页第三节 离散方程的建立方法（3）扩散项设 随时间作显式阶梯形变化，有：为了把对流项、扩散项的积分结果最终转化成为节点上未知值间的代数关系式，还须进一步对该两项中的 随空间x的变化型线作出选择。若取为分段线性，则对均分网格有：txxtxxtwtetttwed（d），（e），（f）2PWwwww2EPewww ePEexx wWPwxx222xxwwttWtPtEtWtEtPttP（13.12）将式（b）（f）代入式（a）并整理可得：第十三章 计算流体动力学数学物理基础

29、退 出返 回 第第9页页第三节 离散方程的建立方法 可见，对于本示例，由控制容积积分法导出的离散方程与由Taylor展开导出的结果是一致的。但这不能作为普遍的结论。最后要指出：（1）在控制容积积分法中，选取型线时主要要考虑的是使所形成的离散方程具有较好的数值特性及运算的方便，而不必追求一致性。即同一变量在不同的项中可有不同的型线假设。（2）Taylor展开法与控制容积积分法相比，前者偏重于从数学角度进行推导，所形成的离散方程便于进行数学分析（例如分析其截断误差），弱点是物理概念不明确，对变步长情形离散方程较复杂；而控制容积积分法则物理概念清晰，可以保证得到的离散方程具有守恒性，但不便对所形成的

30、代数方程进行数学特性的分析。在流动与传热的工程数值计算中，控制容积积分法应用较广。第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第1页页第四节 差分方程特性分析 一、数学特性分析无论Taylor展开法还是控制容积积分法，都在推导离散方程时作了近似处理，必然会引入误差。从数学角度而言，这些误差包括差分方程的截断误差，差分方程解的离散误差及在计算过程中的舍入误差。与此相对应，离散方程则存在着相容性、收敛性及稳定性等方面的问题。而从对物理现象的描述来看，希望所得到的数值解应具备该物理现象的一些基本属性，例如守恒性以及纯对流问题中仅仅沿流动方向传递的扰动特性等。本小节中先讨论离散方程的数学特性，

31、其物理特性将在下小节中介绍。当时间与空间步长均趋于零时，若差分方程无限逼近于相应的微分方程，即差分方程的截断误差趋近于零，则称此差分方程与微分方程相容。显然，当差分方程的截差具有 的形式时（其中m,n0），该差分方程必然具有相容性。而当截差表达式中含有 项时，相容性仅在一定条件下才具备。),(nmtxOxt 第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第2页页第四节 差分方程特性分析 在网格的任一节点上微分方程的解与差分方程精确解（即在代数方程的求解过程中不引入任何舍入误差的解）的差值称为差分方程解的离散误差。离散误差的大小同差分方程的截差有关。在一定的截差下，当时间与空间步长均趋于零

32、时，差分网格将随之缩小，如果此时各节点上的离散误差也都趋向于零，则称该差分方程的解是收敛的，或者说该差分方程具有收敛性。在任一节点上差分方程的精确解与实际得到的解的差称为该点的舍入误差。舍入误差的大小取决于计算机的字长及所采用的算法（计算机数据的字长总是有限的，在离散过程中对各类数值不可避免地要作四舍五入）。将差分方程的精确解记为 ，实际得到的解记为 ，则在任节点 上，微分方程精确解与差分方程实际解之间的差为：nini),(ni 舍入误差离散误差nininininini,（13.13）第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第3页页第四节 差分方程特性分析 该式表明，有限差分法所得

33、到的数值解与精确解之间的误差由离散误差和舍入误差组成。计算实践表明，误差的主要部分是离散误差。一般而言，在相同的网格划分下，截断误差格式中包含变量的阶数越高，数值解的准确度也越高，一阶截差的格式具有一阶精度，余类推；对同一格式，解的准确度随网格密度的提高而提高。对于工程流体力学与传热学问题的计算，采用二阶精度的格式是比较合适的。至于采用何种疏密度的网格，既取决于对解的准确性的要求，也受到经济性的制约，这一点在例13.3中还要作进一步的讨论。现在讨论初值问题差分方程的稳定性。对于初值问题，差分方程的求解是从给定的初值出发，步步向前推进的。在给出初值时或在以后各个时层的计算中都有可能引入误差。对于

34、一个差分方程（或一种差分格式），如果在任何一个时层计算中所引入的误差都不会在以后时层的计算中不断地被放大，则可认为此差分方程是稳定的。稳定性是差分方程自身的一种特性，对于一个稳定的格式，任一时层计算过程中的扰动或误差在以后的计算过程中都不会被放大。第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第4页页第四节 差分方程特性分析 这里简单介绍如何用von Neumann（冯诺曼）方法来判断差分格式的稳定性。von Neumann方法的基本思想如下：假设所计算问题的边界值是准确的，但在差分运算的某一时层引入了误差，即在计算过程中加入了一个扰动，如果这一扰动的振幅随时间的推移在计算过程中不断增长

35、，则可认为所采用的差分格式是不稳定的；反之，若振幅保持不变或衰减，格式就是稳定的。利用Fourier（傅立叶）展开的思想，对上述问题只需从误差矢量的分量中取出一个来研究即可。这一分量可表示成为复数形式 ，其中 为振幅，。可以证明，在所研究的情形下，误差传递的规律与原差分方程所表示的规律完全一样。亦即只要把 代入差分方程找出相邻两时刻振幅之比 ，并令此量的绝对值小于等于l，即可得出差分格式稳定的条件。Iet)()(t1I()It e)(ttt下面举例说明网格疏密度对数值解的影响及von Neumann分析法的实施过程。第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第5页页第四节 差分方程特

36、性分析 例例13.3 设有常微分方程 ，边界条件为 ，试用区域离散A方法，分别将求解区域四等分、八等分、十六等分、三十二等分及六十四等分，计算在x=1、2、3三点上的 值并与精确解进行比较。02dddd22xx1)4(,0)0(解解：设网格步长为h，将表13.1中一、二阶导数中心差分的格式代入微分方程，整理可得：其中，i=2,M2；M2=4，8，16，32及6402142121iiihhh对每个选定的等分区间数，上式给出了关于内节点上 值的一个方程组。该差分方程组的特点是每一个方程中仅有三个未知量的系数不为零，其它未知量的系数都是零。对应这一类方程有一种很有效的求解方法，将在以后介绍。这里可以

37、采用Gauss-Seidel（高斯赛德尔）迭代法求解。求解结果如表13.2所示。可见随着网格的加密，数值解逐渐逼近精确解，当求解区域六十四等分时，在四位有效数字内，表中所示三点上的数值解已与精确解完全一致。i第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第6页页第四节 差分方程特性分析 在进行物理问题的数值求解时，一般应通过逐渐加密网格，观察同一地点上被求解量的数值（或整个区域内的某种平均特性）是否随网格的加密而发生明显的变化，以判断网格的疏密度是否合适。只有当随着网格的加密，同一地点上被求解量的数值（或整个区域的某种平均特性）不再发生变化（或变化在允许的范围内）的时候，所得到的与网格无

38、关的解才能作为所计算问题的数值解。对于二维的流动与换热问题，要想获得与网格无关的解所需要的网格密度一般在2020以上。xxx节点数=1=2=350.05820.15520.394490.05020.14040.3752170.04800.13640.3697330.04750.13530.3683650.04730.13500.3679精确解0.04730.13500.3679表13.1 例13.3的计算结果第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第7页页第四节 差分方程特性分析 差分方程解的收敛性的证明比较困难，但对线性初值问题，相容格式的稳定是其收敛的充要条件。二、物理特性分析

39、对于流动问题差分方程的数值解，最重要的物理特性有三个：守恒性、迁移性及人工粘性（假扩散）。其中人工粘性涉及到较多理论问题，可参阅有关文献。这里仅对守恒性与迁移性展开讨论。所有这些特性实际上取决于对流项的离散格式。为简便起见，本小节的讨论中将不涉及扩散项及源项。在此条件下，一维模型方程可简化为：0 xwt（13.14）（一）守恒性对于计算区域内任意大小的有限空间，将差分方程做求和运算，如果所得到的结果满足该空间内物理量守恒的关系，则称该差分方程（差分格式）是守恒的。式（13.14）可以写成为如下格式：第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第8页页第四节 差分方程特性分析 I-12I

40、 I 211I xwwtiiiinini211111（13.15）图13.8 分析守恒性的网格系统上式中关于空间变量一阶导数的离散采用线性插值方式，因而求和的结果满足守恒性的要求，即差分方程(13.15)具有守恒性。为书写方便，上式对流项中的时间角标已删去，速度 带有下标，被作为变量。将上式两端对如图13.8所示的网格从i=I1到i=I2求和，得：wtwwxIIiiiIIinini212111121（13.16）第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第9页页第四节 差分方程特性分析 1121331212221111222222111111)()()()()()()()()()(1

41、22)(1)(IIIIIIIIIIIIwwwwwwwwwwIIIIwIwIi1112211212121IIIIIIininiwwwwx图13.9 方程式（13.16）右端的相消情形分析上式右端的求和项，发现除首尾两项外，中间各项均可互相抵消，其相消情形如图13.9所示，有：值得注意的是，在流动问题的数值计算中，一般希望所采用的差分格式具有守恒性。采用控制容积积分法导出差分方程时，为确保所导出的差分方程具有守恒性，应满足下列两个条件：（1）控制方程是守恒型的；（2）从界面两侧的节点来写出的该界面上的物理量及其一阶导数的离散形式是相同的。当采用分段线性的型线时就可满足这一要求（参阅图13.7）。第

42、十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第10页页第四节 差分方程特性分析（二）迁移特性。从物理过程本身来看，扩散作用与对流作用在传递扰动方面的特性有很大差别。扩散是由分子不规则的热运动所致，对空间任一方向的扩散几率都是一样的，因而扩散作用可以把发生在某一地点上的扰动向各个方向传递出去。对流则是流体团的宏观定向运动，带有强烈的方向性。在对流作用下，扰动只能向下游传递而不会逆向传播。对流与扩散作用在物理过程上的这种区别能在其差分格式的特性中反映出来。与对流作用的特性相对应，如果对流项的某种差分格式能使扰动沿流动方向（向下游）传递，则称此格式具有迁移特性。可采用离散扰动分析法证明对流项的

43、中心差分不具有迁移特性。离散扰动分析法的基本思想如下：将一维非稳态对流方程按显式格式离散，其中对流项按所研究的格式离散。假设开始时 场业已均匀，但从某一时刻开始（设第n时层）在i点上有了一个扰动 ，而其余各点上的扰动为零。采用所建立起来的差分方程来分析下一时层在 点处受影响的情况。1i第十三章 计算流体动力学数学物理基础退 出返 回 第第11页页第四节 差分方程特性分析 若扰动仅向下游传递，则该格式就具有迁移特性。若扰动也会向上游传递，则该格式就不具有迁移性。对流项采用中心差分格式时，式（13.14）可写为：在 时刻，对 点有：1112nnnniiiiwtx 1n1i111212,02nnnnnniiiiiiwtx 故而对 点有：112niw tx1i0,2212111ninininininixwt211xtwni故可见对流项采用中心差分时，扰动同时向上、下游传递了，所以对流项的中心差分格式不具有迁移特性。而下一章所要介绍的迎风差分格式就具有迁移特性。