5.4 复数解法

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1、2005.5北京大学物理学院王稼军编5交流电路的交流电路的复数解法复数解法p396 5-50、51、53 )sin()cos()(tjAtAtjAAe)()cos()(111111 tjAAtAtae)()cos()(222222 tjAAtAtae)()cos()()()(2121 tjAAtAAAAtatatae2005.5北京大学物理学院王稼军编 AjtjAjtjAdtddtAddttdaee)()()(=AjtjAjdttjAdtAdttaee1)(1)()(2005.5北京大学物理学院王稼军编n复电压复电压 n复电流复电流)()cos()(00utjUUtUtueu )()cos()

2、(iiiiitjIItItie n复阻抗复阻抗jZiujIUtjItjUIUZeeeeiu)()()(000000IUiujYjZZYee 11n复导纳复导纳幅角幅角差一差一个负个负号号 2005.5北京大学物理学院王稼军编好处好处 n元件元件 阻抗阻抗 相位差相位差 复阻抗复阻抗 复导纳复导纳jZeIUZ复数形式的欧姆定律；复数形式的欧姆定律；将将Z Z、用一个复阻抗来代用一个复阻抗来代替替 cjcjffccC121211LjLjffLLL122RRfRR10无关与2005.5北京大学物理学院王稼军编交流串、并联电路的复数解法交流串、并联电路的复数解法 n用复数法计算简单电路时，电路的电压、

3、电用复数法计算简单电路时，电路的电压、电流关系与直流电路一样流关系与直流电路一样 n串联电路串联电路 21212121,ZZZZIZIZIUUUIII21212121,YYYZUZUZUIIIUUUn并联电路并联电路 2005.5北京大学物理学院王稼军编LjRCRjLCCjLjRYYYCLR 211例题：求例题：求R、L、C串并联串并联电路的总阻抗和相位差电路的总阻抗和相位差n先算先算L L、R R 串联串联电路的复阻抗电路的复阻抗ZLR LjRZZZRLLRn再算总电路复再算总电路复导纳导纳Y CRjLCLjRZ21n复阻抗复阻抗 2005.5北京大学物理学院王稼军编RLRCLtgLCCRR

4、LLCCRRLtg)(111221221求阻抗和幅角求阻抗和幅角n用三角恒等式用三角恒等式)(212212122111 jjjeZZeZeZZZCRjLCLjRZ利用复数运算规则利用复数运算规则222222)()1()(1CRLCLRCRjLCLjRZZ模模LCCRtgRLtg211211 幅幅角角xyyxtgytgxtg11112005.5北京大学物理学院王稼军编串、并联电路的应用串、并联电路的应用n交流元件的这种特性交流元件的这种特性“频率响应频率响应”n有许多重要的应用有许多重要的应用 CjZLjZCL1,都与频率有关都与频率有关 有确定值一定时CjZLjZCL1,随着变化改变时CjZL

5、jZCL1,2005.5北京大学物理学院王稼军编滤波电路滤波电路 n能使某些频率的交流讯号顺利通过，而将能使某些频率的交流讯号顺利通过，而将另外一些频率的交流讯号阻挡住的电路另外一些频率的交流讯号阻挡住的电路n低通滤波电路：将高频流讯号阻挡住低通滤波电路：将高频流讯号阻挡住n高通滤波电路：能使高频讯号顺利通过，高通滤波电路：能使高频讯号顺利通过，而将低频流讯号阻挡住的电路而将低频流讯号阻挡住的电路n在无线电、多路载波通讯等技术领域中广在无线电、多路载波通讯等技术领域中广泛地使用着各种类型的滤波电路泛地使用着各种类型的滤波电路 2005.5北京大学物理学院王稼军编单级的单级的RC低通滤波电路低通

6、滤波电路 n利用电容具有隔直流、通交流，高频短路，直流开利用电容具有隔直流、通交流，高频短路，直流开路的频率特性，由电容和电阻组合而成路的频率特性，由电容和电阻组合而成n实际上是一个分压电路。以电容两端作为输出端，实际上是一个分压电路。以电容两端作为输出端，则该电路的则该电路的输出复电压输出复电压与与输入复电压输入复电压之比为之比为 RCjCjRCjUU1111输入输出2)(11RCUU输入输出)(tan)(1RC模模幅幅角角都是都是 的函数的函数2005.5北京大学物理学院王稼军编n对于一定的输入电压，输出端分压与频率成对于一定的输入电压，输出端分压与频率成反比，反比，频率越高，输出电压占输

7、入电压的份频率越高，输出电压占输入电压的份额就越少额就越少 n当输入电压中包含有当输入电压中包含有各种频率各种频率的交流成分和的交流成分和直流成分时，直流成分大小不变，而直流成分时，直流成分大小不变，而交流成交流成分减少分减少，起到了滤波作用，起到了滤波作用 n因为输出的交流成分中，因为输出的交流成分中，低频成分比高频成低频成分比高频成分占的比例多一些分占的比例多一些，低通滤波电路低通滤波电路2)(11RCUU输入输出)(tan)(1RC2005.5北京大学物理学院王稼军编例题：已知电压中包含直流成分例题：已知电压中包含直流成分240伏和伏和100Hz的交流纹波的交流纹波100伏，将此电压输入

8、低伏，将此电压输入低通滤波电路，其中通滤波电路，其中R200，C=50f求：输出电压中的交、直流成分各占多少求：输出电压中的交、直流成分各占多少?n直流成分全部集中在电容上直流成分全部集中在电容上n电容上的交流成分？电容上的交流成分？157.0)(112RCUUUUCCVVVUjTUC167.15157.0100)(n输出讯号交流成分由输出讯号交流成分由100100V V降到降到1616伏，输出伏，输出电压比原来平稳多了电压比原来平稳多了 2005.5北京大学物理学院王稼军编高通滤波电路高通滤波电路 n由于高频讯号的电压在电阻上分配得比较由于高频讯号的电压在电阻上分配得比较多，因此输出端将得到

9、较多的高频讯号多，因此输出端将得到较多的高频讯号n利用电感具有阻高频、通低频的频率特征，利用电感具有阻高频、通低频的频率特征，可以将电感和电阻组合成高通滤波电路可以将电感和电阻组合成高通滤波电路 2005.5北京大学物理学院王稼军编旁路旁路作用作用 n无线电路设计中，要求某一部位无线电路设计中，要求某一部位有一定直有一定直流压降流压降，但，但同时必须让交流畅通、交流压同时必须让交流畅通、交流压降很小，使压降保持稳定降很小，使压降保持稳定 n通常在这种部位中安置适当搭配的通常在这种部位中安置适当搭配的RC并联并联电路，此时由于电容电路，此时由于电容隔值流、通交流隔值流、通交流，因，因此起到交流旁

10、路作用此起到交流旁路作用 2005.5北京大学物理学院王稼军编例题：如图所示，电源提供例题：如图所示，电源提供500周周3毫安电流，毫安电流，未接通电容时，电阻未接通电容时，电阻R500，两端交流电压，两端交流电压为多少？当并联一个为多少？当并联一个30f的电容后又如何的电容后又如何？n没有电容时，电源提供的电流全部通过电阻，没有电容时，电源提供的电流全部通过电阻，电阻两端的交流压降为电阻两端的交流压降为 VVIRUR5.15001033n并联并联30f30f电容，电容，其容其容抗抗1021fCZCn电流电流向电容支路向电容支路分流，分流，其其电流电流有效值有效值之比为之比为 5010500C

11、RRcZZII2005.5北京大学物理学院王稼军编旁路旁路作用作用n绝大部分电流从电容支路旁路流过，通绝大部分电流从电容支路旁路流过，通过电阻的电流还不到总电流的过电阻的电流还不到总电流的1/501/50，近近似认为似认为mAIIC3mVZIUCC30n减少到没有电容的减少到没有电容的电压的电压的1/501/50 2005.5北京大学物理学院王稼军编相移作用相移作用 nR R、C C滤波电路，不仅滤波电路，不仅有低通滤波作用，而有低通滤波作用，而且也改变了输出电压且也改变了输出电压和输入电压的相位差，和输入电压的相位差，因此它可构成相移电因此它可构成相移电路（相移器）路（相移器）)(tan)(

12、1RCUC与与U相位差相位差n显然输出电压显然输出电压相位相位落后落后于输入电压。当输于输入电压。当输入讯号的频率一定时，入讯号的频率一定时，改变电容或电阻改变电容或电阻，即可改变输出电压与电流之间的即可改变输出电压与电流之间的相位差相位差 2005.5北京大学物理学院王稼军编交流电路的基尔霍夫定律交流电路的基尔霍夫定律 n自学要求自学要求 n复习直流基尔霍夫定律；复习直流基尔霍夫定律；n找出与直流相同之处和不同之处；找出与直流相同之处和不同之处；n会运用会运用n复数形式的基尔霍夫定律复数形式的基尔霍夫定律n适用于处理适用于处理只有一个电源或有若干个同步电源只有一个电源或有若干个同步电源的复杂

13、交流电路的复杂交流电路 （如电路中包含互感，就会（如电路中包含互感，就会出现不同步电源）。出现不同步电源）。2005.5北京大学物理学院王稼军编交流电路的基尔霍夫方程组交流电路的基尔霍夫方程组 n对于电路的任意一个节点对于电路的任意一个节点n瞬时电流代数和为瞬时电流代数和为0 n节点方程节点方程 i(t)=0n沿任意一个闭合回路沿任意一个闭合回路n瞬时电压降的代数和为瞬时电压降的代数和为0n电压回路方程电压回路方程 u(t)=0ni(t)、u(t)对应成复电压、复电流对应成复电压、复电流 复数形式基尔霍夫定律复数形式基尔霍夫定律2005.5北京大学物理学院王稼军编复数形式基尔霍夫定律复数形式基

14、尔霍夫定律 n汇于节点的各支路复电流的代汇于节点的各支路复电流的代数和为零数和为零 0)(In沿回路环绕一周回到出发点，电势数值不变沿回路环绕一周回到出发点，电势数值不变 0()()ZIU2005.5北京大学物理学院王稼军编与直流电路比较与直流电路比较n在每段支路上标定电流方向（在每段支路上标定电流方向（同同），），n i(t)0，与标定方向一致，与标定方向一致n i(t)0，电势降落为正，电势降落为正n u(t)0，电源极性与标定的一致，电源极性与标定的一致n e(t)0，电源极性与标定的相反，电源极性与标定的相反2005.5北京大学物理学院王稼军编符号法则符号法则n第一方程（第一方程（同同

15、）n对于节点，流入为负，流出为正对于节点，流入为负，流出为正 n第二方程第二方程n元件（含电源内阻）（元件（含电源内阻）（同同）：）：电流方向与绕行方向一致，认为电势降落取正，电流方向与绕行方向一致，认为电势降落取正，相反取负。相反取负。n电源（电源（同同）绕行方向与某个（理想）电源所标定的方向一致绕行方向与某个（理想）电源所标定的方向一致（即从负极穿过电源内部到正极）取正，相反取（即从负极穿过电源内部到正极）取正，相反取负。负。2005.5北京大学物理学院王稼军编关于复数基尔霍夫定律的几点说明关于复数基尔霍夫定律的几点说明 n电流及电势降落的正负的规定带有人为的因素，电流及电势降落的正负的规

16、定带有人为的因素，不同书规定的方法可能不一样，但反映的物理规不同书规定的方法可能不一样，但反映的物理规律完全相同（律完全相同（同同）n复数形式的基尔霍夫定律中确定电压回路的独立复数形式的基尔霍夫定律中确定电压回路的独立回路个数的方法与直流电路中所述相同（见直流回路个数的方法与直流电路中所述相同（见直流基尔霍夫定律）（基尔霍夫定律）（同同）n用复数形式的基尔霍夫定律解复杂交流电路比较用复数形式的基尔霍夫定律解复杂交流电路比较方便，基本上与直流电路做法相似，但这里有方便，基本上与直流电路做法相似，但这里有一一个重要的区别，即在得到复数结果之后还要计算个重要的区别，即在得到复数结果之后还要计算它们的

17、模和幅角它们的模和幅角，以便得到有物理意义的实际结，以便得到有物理意义的实际结论论 2005.5北京大学物理学院王稼军编适用范围和意义适用范围和意义n适合处理只有一个电源或有若干个适合处理只有一个电源或有若干个同频、同步同频、同步电源的复电源的复杂交流电路杂交流电路 n用于含多个同频但非同步电源的交流电路时（如电路中用于含多个同频但非同步电源的交流电路时（如电路中包含互感，就会出现非同步电源），则应当已知包含互感，就会出现非同步电源），则应当已知各电源各电源之间的相位差之间的相位差（不同不同）n无论是直流电路的基尔霍夫定律还是交流电路的基尔霍无论是直流电路的基尔霍夫定律还是交流电路的基尔霍夫定

18、律，它们实际上就是夫定律，它们实际上就是电流连续性方程电流连续性方程和和环路定理环路定理在在电路中的具体实现，电路中的具体实现，从纯理论的角度看，并没有给出什从纯理论的角度看，并没有给出什么新东西么新东西n基尔霍夫定律的建立基尔霍夫定律的建立使纯理论研究转化为应用理论使纯理论研究转化为应用理论，使，使之给出关于电路中电压、电流、电动势之间的完备方程之给出关于电路中电压、电流、电动势之间的完备方程组，解决了电压、电流和元件阻抗之间的关系问题，而组，解决了电压、电流和元件阻抗之间的关系问题，而这种关系本身是应用的前题，它这种关系本身是应用的前题，它为电路的测量提供了依为电路的测量提供了依据据，这正

19、是基尔霍夫的重大贡献。，这正是基尔霍夫的重大贡献。2005.5北京大学物理学院王稼军编三级三级RC低通滤波电路低通滤波电路（三级（三级RC相移电路相移电路）n试用基尔霍夫定律计算该滤波电路输出和输入复电试用基尔霍夫定律计算该滤波电路输出和输入复电压之比压之比n设复电流的方向如图设复电流的方向如图n由节点方程决定由节点方程决定n流经各电容流经各电容C的电流的电流 n选择图示三个回路选择图示三个回路、n规定了回路的绕行方向规定了回路的绕行方向 UCjIIRII211：0II21322CjIICjIIRI：0III3233CjIICjIRI：2005.5北京大学物理学院王稼军编0)2(101)2(1

20、1)1(3232121CjRICjICjICjRICjIUCjICjRI三三元元一一次次方方程程组组 CRCRjCRCjUI)(6)(51223CRCRjCRUCjIZIUC)(6)(512233CRCRjCRUU)(6)(51122输出输出和输和输入复入复电压电压之比之比 越大输出电压越大输出电压占输入电压的占输入电压的份额越少份额越少 2005.5北京大学物理学院王稼军编交流电桥交流电桥 n交流电桥原理与直流电桥相似交流电桥原理与直流电桥相似n不同的是四臂上的元件不一定不同的是四臂上的元件不一定是电阻，可以是是电阻，可以是R、L、C元件元件n图中已规定了电流方向和回路图中已规定了电流方向和

21、回路绕行方向以及电源的极性绕行方向以及电源的极性 301IIIB：402IIID：0220011ZIZIZIABDA：0004433ZIZIZIBCDB：00I电桥平衡时电桥平衡时4213,IIII44332211,ZIZIZIZI23414231;ZZZZZZZZ平衡条件平衡条件 2005.5北京大学物理学院王稼军编电桥平衡条件电桥平衡条件 n交流电桥平衡条件交流电桥平衡条件n要求电桥两对边元件的阻抗之积相等要求电桥两对边元件的阻抗之积相等n且要求两对边的相位之和相等且要求两对边的相位之和相等n说明交流电桥四臂上的元件不能任意选择说明交流电桥四臂上的元件不能任意选择 如如2、4 臂选了纯电阻

22、，则臂选了纯电阻，则1、3臂必须选用同为电感或臂必须选用同为电感或同为电容的元件，不能选一个电感一个电容。（思考同为电容的元件，不能选一个电感一个电容。（思考p387 5-35）2341ZZZZ)()(32324141jZZjZZee32413241ZZZZ2005.5北京大学物理学院王稼军编各种实用的电桥各种实用的电桥n实用中，各臂采用不同性质的阻抗，可以组实用中，各臂采用不同性质的阻抗，可以组成多种形式的电桥（成多种形式的电桥（实际应用实际应用）n可以自行写出各电桥的平衡条件可以自行写出各电桥的平衡条件 a 电容桥 b 麦克斯韦LC电桥 c 频率电桥 2005.5北京大学物理学院王稼军编有

23、互感的电路计算有互感的电路计算 n计算有互感的电路时，情况相对复杂一些，在按计算有互感的电路时，情况相对复杂一些，在按照基尔霍夫定律列方程时，还应考虑互感引起的照基尔霍夫定律列方程时，还应考虑互感引起的感应电动势对电路中电压、电流的影响感应电动势对电路中电压、电流的影响n同名端和异名端同名端和异名端n当两个线圈中当两个线圈中流入的电流流入的电流使得它们使得它们 各自所产生的各自所产生的磁通量方向相同时磁通量方向相同时，两个线圈的电流流入端两个线圈的电流流入端（或流出端）（或流出端）叫做叫做同名端同名端或极性相同，用小圆点或极性相同，用小圆点 标记；反之则称为标记；反之则称为异名端异名端n（a）

24、是两个串联顺接的线圈，故两线）是两个串联顺接的线圈，故两线 圈末端为同名端圈末端为同名端n（b）为两串联反接线圈，故同名端为）为两串联反接线圈，故同名端为 一头一尾一头一尾 2005.5北京大学物理学院王稼军编符号法则符号法则 n当两线圈中电流由当两线圈中电流由同名端流入同名端流入，并且电流有，并且电流有相同的变化（同为增加或同为减少），则在相同的变化（同为增加或同为减少），则在每一个线圈内的互感电动势与自感电动势方每一个线圈内的互感电动势与自感电动势方向相同，向相同，互感电压和自感电压的方向也相同互感电压和自感电压的方向也相同n当两个线圈中电流由当两个线圈中电流由异名端流入异名端流入，且电流

25、有，且电流有相同变化时，互感电动势与自感电动势方向相同变化时，互感电动势与自感电动势方向相反，相反，互感电压和自感电压的方向也相反互感电压和自感电压的方向也相反，相差一个负号相差一个负号 2005.5北京大学物理学院王稼军编互感电动势引起的电势降落的正负号法则互感电动势引起的电势降落的正负号法则 n由自感由自感L1 引起的电势降落为引起的电势降落为 负负与与回回路路绕绕行行方方向向相相反反取取正正与与回回路路绕绕行行方方向向一一致致取取11111IIILjULn线圈线圈2在线圈在线圈1中的互感引起的电势降落为中的互感引起的电势降落为 相相反反名名端端流流入入，与与的的标标定定方方向向自自两两线线圈圈异异名名端端流流入入，同同的的标标定定方方向向自自两两线线圈圈同同12112122121LUIILUIIIMjU、2005.5北京大学物理学院王稼军编例题：列出图示例题：列出图示电路方程电路方程 p3500)()(1223221113331333111IMjIMjIMjIMjILjZILjZ回回路路1 1 0)()(2223332113121333222IMjIMjIMjIMjILjZILjZ回回路路 2213III