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1、A/t- -yV第二章1、一动点到两定点的距离的乘积等于定值m 2,求此动点的轨迹(卡西尼 卵形线).解:设两定点间距离为2a,两定点为A(-a,0)和B(a,O),设动点M(x, y) 依题意:=m2即：話(x + a)2 + y 2*( x - a)2 + y 2 = m 2平方整理即得：(x 2 + y 2)2 2a 2(x2 y 2) + a 4 m 4 = 0x 二 t sin t, y 二 1 cos t2、求旋轮线(0 t 2兀)的弧与直线y = 2的交点。解：将旋轮线方程代入直线y = 3得 3 = 1 一 cos t,即 cos t = 一 ，由2 2 2(0 t 0)(3)
2、 x3 + y 3 3axy = 0(a 0)解：(1)令x = 12，则y2 = 16，故y = 13。所以参数方程为(一8 t 8)1 x = 12y=t3令x =a cos40，贝U y = a sin40 。 所以参数方程为J x = a cos4 0y = a sin 4 0(0 0 c令b2 = a 2 一 c 22x2 +a2y2 +a2z2 = a2b2：b2x2 +a2y2 +a2z2 = a2b2由于上述过程为同解变形，所以(3)即为所求的轨迹方程。(3) 建立如(2)的坐标系，设动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，则 M(x, y,z) e C o 話(x-c)2 +
3、y2 + z2 + |a|)*)(*)即为所求的轨迹的方程。(4)取定平面为xoy面，并让定点在z轴上，从而定点的坐标为(0,0, c)， 再令距离之比为m。设动点M(x,y,z)，所求的轨迹为C，贝【JM (x, y, z) e C o x2 + y2 + z2 = m|z|将上述方程经同解化简为：x2 + y2 + (1 一m2)z2 一2cz + c2 = 0(*) (*)即为所要求的轨迹方程。6、求下列各球面的方程：(1) 中心(2,-1,3)，半径为；R 二 6(2) 中心在原点，且经过点(6,一2,3)；(3) 一条直径的两端点是(2一3,5)与(4,1,一3)(4) 通过原点与(
4、4,0,0),(1,3,0),(0,0,一4) 解：(1)由本节例 5 知，所求的球面方程为：(x 一 2)2 + (y +1)2 + (z 一 3)2 二 36(2) 由已知，球面半径R =栉2+ (2)2 + 32 = 7 所以类似上题，得球面方程为x 2 + y 2 + z 2 = 49(3) 由已知，球面的球心坐标a = 2 + 4 = 3, b = 一 3 +1 =-1, c = 上3 = 1，球2 2 2的半径R = lv(4-2)2 + (1 + 3)2 + (5 + 3)2 -21，所以球面方程为：(x 一 3)2 + (y +1)2 + (z 一 1)2 二 21(4) 设所
5、求的球面方程为： x 2 + y 2 + z 2 + 2 gx + 2hy + 2kz +1 = 0 因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,一4)，所以7 = 016 + 8 g = 010 + 2 g + 6h = 0、16 - 8k = 01）解（1）有I = 0h = -1Vg =-2k = 2所求的球面方程为x2 + y2 + z2 4x 2y + 4z = 07、试求中心在C(a,b,c)，半径为r的球面的参数方程.解：设球面上的任意一点为P(x,y, z),则有：OP = OC + CP.( CP = r) 乂 CP = (Rsin0 cosQ)i
6、 + (rsin0 cosQ)j + (rcosO)k (0 0 n,0 p 2兀),ai + b j + ck.IB-OP = xi + y j + zk, OC =x = a + r sin 0 cos p所以所求球面参数方程为： y = b + rsin0 sinp (0 0 n,0 p 2兀) z = c + r cos08、平面x = c与x2 + y2 2x = 0的公共点组成怎样的轨迹。解：上述二图形的公共点的坐标满足x 2 + y 2 - 2 x = 0 x=cy2 = c(2-c) x=c从而：（I）当0 c 2或c ，+IrI=(OM sin a cosot )i + (O
7、M sin a sin ot) j + (OM cosa )k -写成坐标式参数方程即有:x = vt sin a cos ot y = vt sin a sin 申t (t为参数， t )z = vtcosa12.有两条互相直交的直线1 与i ,其中1绕i作螺旋动,即一方面1绕11 2 1 2 1 2作等速转动,另一方面又沿着1 作等速直线运动,在运动过程中1永远 21保持与直线1直交,这样由1所画出的曲面叫螺旋面,试建立螺旋面的方21程.解:如图建立空间直角坐标系，使l为z轴，l在运动中的某一时刻21与X轴重合;并设/作等速转动的角速度为O，等速直线运动的速度为V ,1且经过时间t动点M(X, y, z)离轴的距离为卩(t,卩均为参数)又P为M在xOy面 上 的 射 影 ， Q 为 P 在 x 轴 上 的 射 影 ， 则r = OM = OQ + QP + PM = (OP cost)i + (OP sin t) j + (OM )k=(卩 coset)i + (卩 sint) j + (vt)k,X =卩 coset与成坐标式参数方程即: y =卩sin et (-8 y, t +x)z =vt
一动点到两定点的距离的乘积等于定值
