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1、首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 由导数公式vuvuuv)(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1)v 容易求得;xvuxvudd)2比容易计算.:)d(的原则或及选取vvu3-2 分部积分法首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页补例补例.求.dcosxxx解解:令,xu,cosxdxdv 则,dxdu xvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考思考:如何求?dsin2xxx提示提示:令,2xu,sin xdxdv 则原式xx cos2xxxdcos2.vduuvvdu,dvu说明：关键合理地选择,sinux此
2、题如果选取,2dxxdv?结果将如何首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例1 求.d2xexx解解xexxd2xdex2)()()()()()(xduxvxvxuxdvxudv uxex22dxexdu=v uvxex2xxexd2xxde2xex2xex2)(2dxexexxxex2Cexexx22.)22(2Cexxx首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例2 求求.dln3xxxxxxdln3解解4dln41xxxdxxxln41ln4144dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx)()()()()()(xduxvxvxuxdvxu注：当被积函数为幂函数与对数函数
3、的乘积时，选择对数函数为u(x)首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例3 求求.darctanxx解解xxdarctanu dvxxxxxd1arctan2221)1(21arctanxxdxx.)1ln(21arctan2Cxxx解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三反对幂指三”的顺序,前者为 后者为u.v反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例4 求求解解.d22xxaxxad2222xaxxxaxd22222xaxxxaaxad2222222xax.arcsin2axaxxad
4、2222xaxxxad22xxaad1222移项，两端除以2最后再加上C，得xxad22222xaxaxaarcsin22.C首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例 5 求求.)0,0(dcosbaxbxeax其中常数解解xbxeaxdcosaxebxadcos1axebxacos1cosbxdeaxaxebxacos1sindxbxebaxaxebxacos1sinaxdebxabaxebxacos1)cos(sinbxebebxabaxaxaxebxacos1axebxabsin2bxeabaxcos22axaxebxbbxababxe)sincos(1cos22.C首首 页页下下
5、页页尾尾 页页上上 页页例例6.求.)(d22nnaxxI解解:令,)(122naxu,dxdv 则,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(22首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页说明说明:递推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa
6、22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页补例补例.求.dxex解解:令,tx则,2tx ttxd2d 原式tettd2tet(2Cxex)1(2,tu tev)teC令（换元和分布积分法结合使用）（换元和分布积分法结合使用）首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 在 结束本节前我们要指出，并非所有初等函数的不定积分都是可以“积出来”的；更确切地说，并非所有初等函数的原函数都是初等函数，比如人们已证明dxxdxedxxxx2sin,sin2,ln1,cos,cos2dxxdxxdxxx).10(sin1,sin12222kxdxkdxxkdx等等都不能用初等函数表示.(积不出来的积分积不出来的积分)
高等数学北大第二版32分部积分法
