《理论力学》一

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1、理论力学一理论力学一填空题1.限制质点运动的物体（如曲线、曲面等 ）称为（ 约束 ）。 2惯性力（ 约束 ）对应的反作用力，（ 称作 ）牛顿第三定律。 3.如果力只是位置的函数，并且它的旋度等于零，即满足则这种力叫做（惯性力iQVx F(r)=Qx）。QyFyQzFz4真实力与参考系的选取（ 无关），而惯性力却与参与系的选取（相关）。5质点系的动能等于质心的动能与各质点相对（速度矢量和）的动能之和。6.限制质点运动的物体（如曲线、曲面等 ）称为（约束 ）。7同一质点系中各质点之间的相互作用力称为（约束反力） 二选择题1. a =（舟+ 2用）e称为质点的（c ）。eea.法向加速度b.切向加速

2、度c.横向加速度d.径向加速度2 F = m-xxr）称为Aena.平动惯性力b.离心惯性力c.科氏惯性力3dv= TT dt称为质点的（ C）。c. 不一定等于零c. 不一定等于零a.法向加速度 b.横向加速度c.切向加速度d.径加速度4 质点系中所有内力对任一力矩的矢量和 A a. 等于零 b. 不等于零5. a = （r- re 2）e 称为质点的（A ）。rra.径向加速度b.横向加速度c.切向加速度d.法向加速度6质点系内力所作的功Aa. 等于零 b. 不等于零 7. a =上n称为质点的（B ）。n pa.横向加速度b.法向加速度c.径向加速度d.切向加速度8如果作用在质点上的力都

3、是保守力，或虽是非保守力作用但非保守力不作功或所作功之和等于零。则质点系机械能 A9 F 二 m(-2 xv )称为 Acra.科氏惯性力b.离心惯性力 c.平动惯性力三简答题1在曲线坐标系中，单位矢量和基矢有无区别？若有，区别何在？ 答：有区别，主要是角度变化。2瞬时速度中心；瞬时速度中心可以有加速度吗？答：可以有3写出质点系的动能定理，说明内力作功之和不为零的原因。答：质点系动能定理：dT=F*vdt=F*dr.如果所有的力都是保守力就为零了。4写出柯尼格定理的表达式并说明式中各项的意义。答 ： 柯 尼 格 定 理 的 表 达 式 为 ：其中：第一段字母表达式是质心运动的动能，第二个表达式

4、是质心相对质心的 动能之和。这个式子说明质点系的动能等于质心的动能与各质点相对质心的动 能之和5写出柯尼格定理的表达式并说明式中各项的意义。答：同上6科氏力。f c=m(-2 3Xv r)7曲线坐标系中基矢与单位矢的区别。 答：他们之间相对于拉莫系数，因为此系数不等于 1所以基矢和单位矢不相同。 四计算题1两根等长的细杆AC和BC在C点用铰链连接，放在光滑的水平面上，如图 所示。设两杆由图示位置无初速度的开始运动，求铰链C着地时的速度(见 图)。解 因圆锥与地面接触，所以接触线上任 意瞬时的各点速度为0,因此，0D为瞬时轴。丨 锥自纸面向里转动，瞬时角速度沿瞬时轴，方向如图所示，P点的速率为咼

5、I = (DXTA点的转动加速度为又心，且由与下垂直，a的方向与r垂直1A点的向轴加速度a2 =( g r )a_2 =|= AE - a2 = 2PC a2 = 2h3 ginh = 2he：匚 =2a, cos2 otsin cla?的方向沿AE方向。2高为h、顶角为2a的园锥在一平面上 滚动而不滑动。如已知此锥以匀角速 度切绕og轴转动，试求园锥底面上A 点的转动加速度a和向轴加速度a12 的量值。 1 2解设P为人(或平台)的重量，r为平台的半径，。为平台的角速度，3为人相对于平台 的角速度，于是人的绝对角速度为 o = e十口(1)不受外力矩作用时，该系统的动量矩守恒，于是10+ 1

6、人巩=0式中，【台和1人分别为平台和人的转动惯量，其 值为 存沛(3)将(1)式和(3)式代入(2)式，(4)于是人的绝对角速度(5)z 人走过一周的绝对角位移为砸3.10图*3.质量分别为m和m的两个质点，用一固有长度为a的弹性绳相连，绳的弹 性系数k= (2m m3 2)/(m+m),将此系统放在水平管内，管子绕管上某点以 角速度3转动，试求任意瞬时两质点间的距离。设开始时质点相对管子是相 对静止的。解在管子上建立动坐标以0为极点，管子为极轴，由质点的相对运动方程im = F 2忆呦藍b+灿7岸对皿有 mr = T-bmrcfl3对 m有mr=-T+m?cfl3 其中T为弹性力将式xm減式

7、xm= -k(s - a)(m + mm 3心聽代入，并化简得4- 2s =这方程的解为S= 2a 十A Gosrat+B sin cotu= = if-t： = Bwcosrat-Arasin rat当 t=0 时,u=0.B=0,则 S=2a +Acosot ,当 t=0 时,S=a .A=-1 ,S=a(2-cosst)4小球重w,穿在y=f(x)曲线的光滑钢丝上，此曲线通过坐标原点并绕竖直轴 Oy以角速度3转动。如欲使小环在曲线上任何位置处均处于相对平衡状态, 求此曲线的形状及曲线对小环的约束反力。解用极坐标系列出质点A及B的运动微分方程：A点：(1)= mhB点:rri1 - mg

8、= mr由(1)及(3) 得(4)又由题给条件知：九=吒询吨屏，故利用，把中的$消去，7-g(6)积分1 1?(7)因当把C的值代入(5)得令f=o，得由此得理论力学二一填空题1凡约束方程中不含有时间t的约束称为（稳定约束）,否则就是（不稳定约 束）。2在有心力作用下，质点运动的角动量（ 守恒）。稳定 ）的，而绕转动惯量）的。3刚体绕最大或最小惯量主轴的转动都是（是中间值的惯量主轴的转动是（ 不稳定4.,Xs QL . h = X q dqjj=1j-L称为（广乂能量）。5第一宇宙速度就是人造地球卫星围绕地球表面作（ 圆周运动 ）所需 的初速度。6物体在力偶矩的作用下，只能产生（ 转动 ），而

9、在力矩的作用下， 不仅能产生（ 转动 ），也能产生（ 平动 ）。7满足条件xn R & = 0iii=1的约束叫作（ 理想约束 ）。8第二宇宙速度u2是指在地面发射人造星体脱离（地球 ）引力作用所 需要的最小（ 初速度 ）。9刚体定点转动的角动量L 一般（不与 ）角速度3共线。10当正则变量q、p变换为Q、P时，如果正则方程保持形式不变，那么这种 变换称为（ 正则变换 ）。11 有心运动一定是（ 平面 ）运动。12在任一瞬时，系统的状态可用（2S）维相空间中的一个点表示，这个点叫做相点。13 我们把完全描述一个力学体的运动所需要的（独立坐标数）叫做该本系的自由度。14刚体在空间的任一位置可由三

10、个（刚体内不在同一直线上的三个质点的位置）唯一确定。二选择题 1质点在平方反比引力场中运动时，若E0,则轨道为（a ）。a椭圆 b抛物线 c双曲线 d圆 2.刚体作定轴转动时的自由度数为（ c ）。a6b3c1）阶长微分方程组。a ）3.哈密顿正则方程是含有2S个方程的（b a二b.c. 高4拉格朗日函数L为力学体系的动能与势能（ a之差 b之和5哈密顿函数H是指系统的（c ）。a广义动量b广义速度c广义能量6v =、Rg沁7.9 Km/s是人造卫星的（ a）宇宙速度。1Mt a.第一b第二c.第二7刚体的惯性张量（ c ）个分量组成。a1b,3c9d68哈密顿函数H中有无循环坐标与（c）的选

11、取有关。a.广义动量b.广义速度c.广义坐标9约束方程为f （r, t）二0和f （r, r, t）二o的约束为a.稳定约束b.不稳定约束10质点作椭圆轨道运动时，总能量只与（ a ）有关。a.半长轴 b.半短轴 c.椭圆具体形状 11哈密顿正则方程给出了（ c ）的运动速度。a质点 b物体c相点12虚位移是（b ）a.真实的 b.想象的13.对作用在刚体上力的简化，主矢与简化中心选取（ c ），主矩与简 化中心选取（ c ）。a.有，有b有，无 c无，有 d无，无 三简答题1力矩和力偶矩有何区别？答: 要注意力矩和力偶矩是有区别的。一物体 在力偶矩的作用下，只能产生纯转动，而在力 矩的作用下

12、，不仅能产生转动，也能产生平动。l=JI2.惯量矩阵为什么可以对角化？答: 惯量张量（或叫惯性张量 ），由九个分量组成，它描述了刚体的质量分布，是刚体对定点O 的转动惯性的量度。惯量张量对应一个三阶方阵I,叫惯量矩阵。在惯量矩阵I中，对角元素为转动惯量，非对角元素为惯量积。所以惯量矩阵可以对角化 3 哈密顿函数的物理意义。答:密顿函数H。这个函数的变量是、刃、和t,它的物理意义是代表广义能量，在稳定约束情况下它就是总机械能。叫斗2-（nrj2，其中惯量张量I=工（Eri2-啓），n为3方向n I n=4刚体定点转动时，定义绕轴的转动惯量为I=nIn,试计算I=in-1 = n工m (Er2 -

13、rr)i i i i=工m (r2n-n rr)i i i ii的单位矢量（3 =3 n）。(1)答:n 1 n = Y m (r2n n-n rr n)i i i ii即:(2)上式右端第二项可写为n rr n = (n r )(n r) = (n r )2i i i i i代入式（1）中，得Vn 1 n =厶m r2 -(n r )2i i iiI = n 1 n =工m r2 -(n r )2i i ii5 什么叫正则变换？答：当正则变量q、p变换为Q、P时，如果正则方程保持形式不变，那么这 种变换称为正则变换。6 惯量张量是否具有厄米性？答: 有 .7 自由度。答: 我们把完全描述一个

14、力学体的运动所需要的 独立坐标数 叫做该本系的自由度8有心运动的性质。答: 1角动量L守恒(1) 有心运动一定是平面运动。(2)速度矩h或面积速度守恒。2.对于F(r)的有心力，因是保守力，因而 机械能守恒。9. 惯量矩阵为什么可以对角化？答: 惯量张量(或叫惯性张量)，由九个分量组 成，它描述了刚体的质量分布，是刚体对定点 O 的转动惯性的量度。惯量张量对应一个三阶 方阵I,叫惯量矩阵。在惯量矩阵I中，对角 元素为转动惯量，非对角元素为惯量积。所以 惯量矩阵可以对角化10. 相空间。答.我们把s个广义坐标qj和广义动量Pj所确定的 2s 维空间叫作相空间或相宇11. 拉格朗日方程给出能量积分

15、的条件是什么？答: 对于完整、有势的力学体系来说，拉格朗 日函数不显含时间t，仅说明体系存在广义能量 积分，但不一定存在能量积分(即机械能守恒)。只有拉格朗日函数不显含时间，且r也不显含时 间这样两个条件同时存在，体系才有能量积分。12. 广义动量。答;在拉格朗日方程d STQT小=Qdt SqQqjjj(j=1，2，3)由于j的取值关系，自由质点有三个自由度，实际上它是三个二阶常微分方程。其中Q.为广义力而ST称为广义动量。j广乂力玮j13. 若矢量 A=AJ+AJ+Azk, B=Bxi+Byj+Bzk，求并矢 AB 的表达式。答: AB=AxBxii+ AxByij+ AxBzik+AyB

16、xji+ AyByjj 答:x x x y x z y x y y+AyBzjk+AzBxki+ AzBykj+ AzBzkky z z x z y z z14循环坐标。答: 如果拉氏函数中不显含某个广义坐标 qj,则称qj为循环坐杯或可遗坐标。|四计算题1.质量为M的滑块被约束在水平OX轴上无摩擦地滑动。滑块上有一质量为 m的平面单摆，摆长为1。用拉氏方程求解系统的运动微分方程。解 体系由滑块M和单摆m构成,需三个 坐标x，x2，y2，但因存在摆长l的约束，所以 s=3-1=2，取 q1=x1=x， q2=0，则因所以x = xx = x1.1.x = x +1 sin 0h2（h=r2o）

17、，求质点的轨道方程。r设当r=r0时，e =0。解0因为质点在有心力作用下运动，故其au =动量矩守恒，速度矩 h 为常数，即r2 0 = h(常数)又因在极坐标中U 2 = r 2 + (r0 )2竺=r2 + (r0)2 = r2 + r2r2r = 丄 ：a2 - h2r(1)又因为drdrd0- drhdr= = - =0 =dtd0dt d0r2d0(2)把(1)式代入(2)式，得u=in，或r2 d0 rdra2 - h2=d0rh积分，得者说沁=卜注竺d0r0 r0 h由此可得，质点的运动轨迹方程为,r0(对数螺旋线)l 一 = 0n r h021用哈密顿正则方程求弹簧振子的运动

18、规律。解悬点为0,1 T = I 02,V =-吨 l cos 0208s = sf t2(I 02 + mg l cos 0)dt = I t2(i。080 一 mg l sin 080)dt2 0ti 0t2t1=f t20(I 080-1 080- mg l sin 080)dt t1 dt 00t=I 080 2 t1I t2i 0 + mg / sin 060dt t10是任意的=-I t2 I 0 + mg l sin 0S0dt = 0t1因积分号下的8 00 + mgl 0 = 0 I/.I0 + mg l sin 0 = 0,有当0很小时，sin0 = 022推导哈密顿原理。

19、解: 现在假想有一体系沿着位形空间中两个相邻的路径运动。加在系统上的任何约束都保持不变，沿着曲线的时间间隔tf-ti和端点的位置都保持不变。例如。我们可以通过改变与时间有关的一个或更多的坐标来得到不同的路径。如果原来的曲线满足这些运动方程，牛顿定律给出了满足初始条件和最终条件的有限解，那么邻近路径（即领近曲线）就一定不满足运动方程。为了进 一步分析这一特点，让我们把&i叫做x的“变分” 用它表示任意时刻t邻近路径和真实路径的差。由以前的知识知道，对保守系统作用在体系上的 力所作的功等于势能改变量的负值。对两条路径 间的势能变分，有-8V =工F -8r =工m r -8ri i i i ii=ti=t这里F i是作用在第i个质点的力,式中应用了牛顿第二定律。上式右端又可写成m d(r -8r )-r -Sr i dt i i i i而动能的变分为可见ST = m r -8ri i iST-SV =m (r -Sr )i dt i i对时间积分，注意到右边含有因子6 ,其在两端i 点的积分结果必为零（因为所有不同路径的起点 和终点都是相同的两点）。因此我们得到J tf 0 Ldt = 0 = oj tf Ldt = 0 SS=J tf Ldt其中称为保守力系作用下的ti哈密顿原理