高等数学课件：D1_4 数列的极限

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1、高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期 第一章第一章 一、数列极限的定义一、数列极限的定义第四节数列的极限数列的极限二、数列极限的性质二、数列极限的性质 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期几个希腊字母及读音几个希腊字母及读音 :alpha:beta :gamma:epsilon:delta:mu:ksi:eta:zeta高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期极限的重要性极限的重要性（1）极限是一种思想方法极限是一种思想方法（2）极限是一种概念）极限是一种概念（

2、3）极限是一种计算方法极限是一种计算方法 从认识有限到把握无限从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续从了解离散到理解连续 微积分中许多概念是微积分中许多概念是用极限定义的用极限定义的许多许多物理、几何量需要用极限来求物理、几何量需要用极限来求高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例如例如一尺之棒，一尺之棒，日取其半，日取其半，万世不竭。万世不竭。庄子天下篇庄子天下篇载一段话载一段话即即1111,2482 n一尺长的木棒一尺长的木棒,每天取下它的一半每天取下它的一半,每天取下它的长度是一个数列每天取下它的长度是一个数列,当当n时时,12n无限趋于常

3、数无限趋于常数0,0,但永远不等于但永远不等于0.这就是万世不竭这就是万世不竭.高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期r数列极限数列极限引例引例.设有半径为设有半径为 r 的圆的圆,面积面积 An逼近圆面积逼近圆面积 S.n如图所示如图所示,可知可知nA n2sincosrnn(3,4,5,)n 当当 n 无限增大时无限增大时,nA无限逼近无限逼近 S(刘徽割圆术刘徽割圆术)用其内接正用其内接正 n 边形的边形的高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期 如可用渐近的方法求圆的面积如可用渐近的方法求圆的面积S？

4、用圆内接正多边形的面积近似圆的面积用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1A2A3A1表示圆内接正表示圆内接正6边形面积边形面积,A2表示圆内接正表示圆内接正12边形面积边形面积,A3表示圆内接正表示圆内接正24边形面积边形面积,An表示圆内接正表示圆内接正6 2n-1边形面积边形面积,.显然显然n越大越大,An越接近于越接近于S.因此因此,需要考虑当需要考虑当n时时,An的变化趋势的变化趋势.高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期A1A2A3 显然显然n越大越大,An越接近于越接近于S.因此因此,需要考虑当需要考虑当n时时,An的变化趋势的变化趋

5、势.如何用数学数学语言描述变化过程如何用数学数学语言描述变化过程高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期数列的定义数列的定义定义定义 按一定次序排列的无穷多个数按一定次序排列的无穷多个数,21nxxx称为无穷数列称为无穷数列,简称简称数列数列.可简记为可简记为.nx其中的每个其中的每个数称为数列的项数称为数列的项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列举例数列举例:;,2,8,4,2n.2n;,1,32,21,0nn.1nn;,)1(,1,1,11 n.)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn .)1(1nnn 高等数学高等数学 化学化学14

6、1、142 20142015学年第一学期学年第一学期注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看可看作一动点在数轴上依次取作一动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限高等数学高等数学 化学化学

7、141、142 20142015学年第一学期学年第一学期.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期.)1(11时的变化趋

8、势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限高等数学

9、高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限三、数列的极限高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期.)

10、1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期问题问题:当当n无限增大时无限增大时,xn是否无限接近于某是否无限接近于某一确定的数值一确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数如何用数学语言刻划它学语言刻划它.1nxnnn11)1(1 通过上面的观察通过上面的观察:1(1)1nnxn 当当n无限增大时无限增大时,无限接近于无限接近于1高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期 当当n无限增大时无限增

11、大时,如果数列如果数列xn的一般项的一般项xn无无限接近于常数限接近于常数a,则常数则常数a称为数列称为数列xn的极限的极限,或或称数列称数列xn收敛收敛于于a,记为记为v数列极限的通俗定义数列极限的通俗定义数列极限的定义数列极限的定义否则称数列否则称数列发散发散limnnxa 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例如例如,123,2341nn 1nnxn 1()n 1(1)nnnxn 1()n 2,4,8,2,n2nnx ()n 1(1)nnx 趋势不定趋势不定收收 敛敛发发 散散1143(1)2,234nnn 11,1,1,(1),n 高等数学

12、高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期当当n无限增大时无限增大时,xn无限接近于无限接近于a.当当n无限增大时无限增大时,|xn-a|无限接近于无限接近于0.当当n无限增大时无限增大时,|xn-a|可以任意小可以任意小,要多小就能有多小要多小就能有多小.当当n增大到一定程度以后增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意能小于事先给定的任意小的正数小的正数.分析分析 因此因此,如果如果 n 增大到一定程度以后增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先能小于事先给定的任意小的正数给定的任意小的正数,则当则当n无限增大时无限增大时,xn无限接近于无限接近

13、于常数常数a.当当n无限增大时无限增大时,如果数列如果数列xn的一般项的一般项xn无限接无限接近于常数近于常数a,则数列则数列xn收敛收敛a.高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期v数列极限的精确定义数列极限的精确定义 设设xn为一数列为一数列 如果存在常数如果存在常数a 对于任意给定的正对于任意给定的正数数 总存在正整数总存在正整数N 使得当使得当nN 时时 不等式不等式|xn a|都成立都成立 则称常数则称常数a是数列是数列xn的极限的极限 或者称数列或者称数列xn收收敛于敛于a 记为记为 如果不存在这样的常数如果不存在这样的常数a 就说数列就说

14、数列xn没有极限没有极限 极限定义的简记形式极限定义的简记形式 0,N N 当当n N时时 有有|xn a|或说或说 数列数列xn是发散的是发散的 习惯上也说习惯上也说 不存在不存在.limnnxlimnnxa lim;()nnnxa xa n 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期aaa ()v数列极限的几何意义数列极限的几何意义存在存在 N N 当当nN时时 点点xn全都落在邻域全都落在邻域(a-,a+)内内:任意给定任意给定a的的邻域邻域(a-,a+),limnnxa 0,N N 当当n N时时 有有|xn a|高等数学高等数学 化学化学141

15、、142 20142015学年第一学期学年第一学期定义中关键字的意义定义中关键字的意义:正正数数)1(,可可以以无无限限接接近近的的程程度度与与刻刻画画aan正正整整数数)()2(NN “不唯一”、“不唯一”、,“任任意意给给定定”,“可可以以任任意意小小”而而定定”、“依依 宜宜大大不不宜宜小小”，“N aan被满足的时刻被满足的时刻.，0 指明对给定的指明对给定的高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例1.已知已知(1)1,nnxn 证明数列证明数列 nx的极限为的极限为1.分析分析:当当 n 无限增大时无限增大时,(1)11nnxn“无限接近

16、无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数如何用数学语言刻划它学语言刻划它.1nx 11(1)nnn找找N，使，使1nx 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例1.已知已知(1)1,nnxn 证明数列证明数列 nx的极限为的极限为1.证证:1nx(1)11nn 1n 0,欲使欲使1,nx 即即1,n 只要只要1n 因此因此,取取1,N 则当则当nN 时时,就有就有1nx 故故(1)limlim11nnnnxn 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期具体运用时，常用分析法倒推具体运用时，常用分析法倒推:(2

17、)从从|axn出发，出发，将不等式左端变形将不等式左端变形解出解出),(n取取),(N然后用然后用定义叙述和下结论定义叙述和下结论.注：注：N 定义论证方法定义论证方法再令其再令其,若干步后若干步后(1)对于任意给定的正数对于任意给定的正数；(3)高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期分析分析:要使要使 31311|2122(21)4nnnn 只须只须 即即 .14n 14n 313lim212nnn 例例2 证明证明 证明证明:因为因为 0 当当n N时时 有有 14N 313|212nn 所以所以 313lim212nnn 高等数学高等数学 化学

18、化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例3.设设1,q 证明等比数列证明等比数列211,nq qq 证证:0nx 10nq(0,1),欲使欲使0,nx 只要只要1,nq 即即(1)lnln,nq 亦即亦即因此因此,取取ln1lnNq,则当则当 n N 时时,就有就有10nq 故故1lim0nnq ln1lnnq 的极限为的极限为 0.1nq 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期定理定理1.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设设lim,nnxa 取取1,N 则则当当nN 时时,从而有从而有nxnxaa1a 取取 12 m

19、ax,NMxxx 1a 则有则有(1,2,).nxMn由此证明收敛数列必有界由此证明收敛数列必有界.()nxaa1,nxa有有收敛数列的性质收敛数列的性质高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期1()nnx 如如，nx 若若 无界无界,则它必发散则它必发散.从定理从定理 1 可知可知 定理条件充分非必要定理条件充分非必要,高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期32ab ab22nbabaxa证证:用反证法用反证法.limnnxa 及及lim,nnxb 且且ab 取取,2ba 因因lim,nnxa 故存在故存在

20、 N1,2nbaxa 从而从而2nabx 同理同理,因因lim,nnxb 故存在故存在 N2,使当使当 n N2 时时,有有2nbax 定理定理2.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当使当 n N1 时时,2ba2ab2ab假设假设,2nbaxb 从而从而2nabx 22nbabaxb2nabx 32ba 出现矛盾出现矛盾.因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n N 时时,12max,NNN 取取故假设不真故假设不真!高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期例例4.证明数列证明数列1(1)(1,2,)nnxn 是发散的是发

21、散的.证证:用反证法用反证法.假设数列假设数列nx收敛收敛,则有唯一极限则有唯一极限 a 存在存在.取取1,2 则存在则存在 N,1122naxa但因但因nx交替取值交替取值1与与-1,11(,)22aa 内内,而此二数不可能同时落在而此二数不可能同时落在12a 12a a长度为长度为 1 的开区间的开区间 使当使当 n N 时时,有有因此该数列发散因此该数列发散.高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期定理定理3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若若lim,nnxa 且且0a N,N 当当n N时时,有有0nx (0),(0).证证:对对 a 0,

22、取取,2a nxa2anx 02aaax2a2a推论推论:若数列从某项起若数列从某项起0nx lim,nnxa 且且0a (0)(0).(用反证法证明用反证法证明)则则N,N 则则当当n N时时则则高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期注注:在数列在数列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序原数列中的先后次序 这样得到的一个数列称为原数这样得到的一个数列称为原数列列xn的子数列的子数列.定理定理4(收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系)如果数列如果数列xn收敛于收敛于a 那么它的任一子数

23、列那么它的任一子数列也收敛也收敛 且极限也是且极限也是a.例如例如 数列数列xn 1 1 1 1 (1)n 1 的的一个子数列为一个子数列为x2n 1 1 1 (1)2n 1 .高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期*,knxa 定理定理4 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列设数列knx是数列是数列nx的任一子数列的任一子数列.若若lim,nnxa 则则0,N 当当 nN 时时,有有nxa 现取正整数现取正整数 K,使使,KnN 于是当于是当kK 时时,有有kn KnN 从而有从而有由此证明由此证明 l

24、imknkxa*NKnNaKna高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期 1.数列的子数列如果发散数列的子数列如果发散,原数列是否发散原数列是否发散?2.数列的两个子数列收敛数列的两个子数列收敛,但其极限不同但其极限不同,原原数列的收敛性如何数列的收敛性如何?3.发散的数列的子数列都发散吗？发散的数列的子数列都发散吗？4.如何判断数列如何判断数列1 1 1 1 (1)n 1 是发是发散的？散的？定理定理4(收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系)如果数列如果数列xn收敛于收敛于a 那么它的任一子数列那么它的任一子数列也收敛也收敛 且极限也

25、是且极限也是a.讨论讨论高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期内容小结内容小结1.数列极限的概念数列极限的概念理解极限的定义与极限的思想理解极限的定义与极限的思想.axnn lim,0,0 N 当当Nn 时，时，.|axn2.N 定义论证方法定义论证方法对对,0 找找,0 N使当使当Nn 时，时，总有总有.|axn具体运用时，常用分析法倒推具体运用时，常用分析法倒推:高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期具体运用时，常用分析法倒推具体运用时，常用分析法倒推:即从即从|axn出发，出发，将不等式左端变形将不等

26、式左端变形解出解出),(n取取),(N然后用然后用定义叙述和下结论定义叙述和下结论.3.数列极限的主要性质数列极限的主要性质有界性，唯一性，保号性，子数列的收敛性有界性，唯一性，保号性，子数列的收敛性.2.N 定义论证方法定义论证方法再令其再令其,若干步后若干步后内容小结内容小结内容小结内容小结高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期练习练习1.已知已知2(1),(1)nnxn 证明证明lim0.nnx 证证:0nx 2(1)0(1)nn 21(1)n 11n (0,1),欲使欲使0,nx 只要只要1,1n 即即n 取取11,N 则当则当nN 时时,就有就有0,nx 故故2(1)limlim0(1)nnnnxn 1110,nnnx 故也可取故也可取1N 也可由也可由21(1)0nnx 11.N 与与 有关有关,但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N.说明说明:取取 11N 高等数学高等数学 化学化学141、142 20142015学年第一学期学年第一学期作业作业 P40 习题习题1-4 2(1)(2)