金融衍生工具计算题课件

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1、套利案例套利案例 假设现有6个月即期利率为10%，一年期即期率12%，如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定位11%，试问这样的市场行情是否产生套利机会？套利过程套利过程：1、套利者按10%的利率借入一笔6个月资金1000万元2、签订一份远期利率协议，该协议规定套利者可以按11%利率6个月后从市场借入资金1000 万元（1051万元）；3、按12%的利率贷出一笔一年期的款项金额1000万元4、一年后收回贷款本息1000 （1127万元），并用1051 （1110万元）偿还一年期债务后，交易者净赚17万元，即 1127-1110=17（万元）0.11 0.5e0.12 1e0.10 0.5e一

2、、二章无收益资产远期协议的定价无收益资产远期协议的定价 所谓无收益资产即为到期日前不产生现金流所谓无收益资产即为到期日前不产生现金流的资产。的资产。基本思路基本思路：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等。组合构建如下：A A组组：一份远期协议多头加上一笔数额为 现金 B B组组：一单位标的资产。在组合A中，以无风险利率投资，投资期限为(T-t)，在T时刻，其金额为K。（).在远期协议到期时，这笔资金刚好可以用来认购一单位标的资产。即这两组合在T时刻具有相同的价值。根据无套利原理，这两组合在t时刻的价值必相等。即式中f为远期协议t时刻的价值，s为标的资产在t时刻价格。()r T tK

3、e()r T tKe()()r T tr T tKeeK()r T tf KeS结论：无收益资产远期协议的价值等于标的资产现结论：无收益资产远期协议的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。货价格与交割价格现值的差额。远期合约合理价格即为合约初始价值为远期合约合理价格即为合约初始价值为零的交割价零的交割价格，即：格，即：式中 即为远期协议无套利条件下的理论价格。例例:假设市场上有以不支付红利的股票为标的的期货合约，合约在三个月后到期。当前股票价格为20元，3个月的无风险利率为4%，那么该合约的合理定价是多少？根据上式有：()r T tFSeF0.04 3/122020.2(Fe元）支付已

4、知现金收益资产远期协支付已知现金收益资产远期协议的定价议的定价 一般方法：一般方法：设标设标的的资产资产在（在（0 0，T T）期限）期限内内有有D D的收益，的收益，该该收益的收益的现值为现值为首先首先构构建如下建如下两个组两个组合：合：组组合合A A：购买购买一一单单位位 的的标标的的资产资产期期货货合合约约，并并同同时购买时购买 无无风险资产风险资产；即即该组该组合原始投入合原始投入为为组组合合B B：在：在0 0时时刻刻购买购买一一单单位价格位价格为为 的的标标的的资产资产 并并且持有，且持有，借入借入的的现现金金 并并用用标标的的资产资产收益去收益去偿还偿还。即即该组该组合原始投入合

5、原始投入为为由于由于这两组这两组合具有相同的合具有相同的终值终值 ，其，其初始成本相等。初始成本相等。故故 1=rtI DerTFeFSTSSI,()rTrTFeSIFSI e所以有 rTFeI例：例：1 1单位股票即期价格为单位股票即期价格为1010元，并且元，并且3 3个月后将有个月后将有1 1元的收益。无风险利率元的收益。无风险利率为为3%3%。那么。那么6 6个月后交割的此股票的合个月后交割的此股票的合约价格是多少？约价格是多少？解：据条件可知：0.03 1/40.03 1/2100.99259.15SeerT元；r=0.03;T=1/2;I=1（元）；即 求 解 F=?根 据 公 式

6、 F=(S-I)e 得 F=(10-0.9925)（元）转换因子及其计量转换因子及其计量 转换转换因子：因子：单单位位国债国债面面值值按按标标准准债债券券率（每半年率（每半年复复利一次）利一次）贴现贴现到交割月到交割月第一天的价第一天的价值值。例：某例：某长长期期国债国债息票利率息票利率为为14%14%，剩余，剩余期限期限还还有有1818年。年。试问试问相相应应的的转换转换因子因子是多少？是多少？363607100163.731.04 1.04iizz解：设 所 求 转 换 因 子 为,根 据 条 件 可 得：（美 元）即 符 合 本 题 假 设 条 件，面 值 为 100美 元 长 期 国

7、债 的 转 换 因 子 应 是 163.73美 元。确定交割最合算的债券确定交割最合算的债券交割最合算交割最合算债债券即券即为购买为购买交割交割债债券的成本券的成本与与空方收到的空方收到的现现金之差最金之差最小的那小的那个债个债券。券。一般方法：一般方法：1 1、计计算交割差距算交割差距C C：C=C=债债券券报报价价+应计应计利息利息-期期货报货报价价转换转换因子因子+应计应计利息利息=债债券券报报价价-期期货报货报价价转换转换因子因子例：若期例：若期货报货报价价为为93-1693-16，即，即93.5093.50美元，可供空美元，可供空头选择头选择用于交割的用于交割的3 3种国债种国债的的

8、报报价和价和转换转换因子以及相因子以及相应应交割差距交割差距计计算算结结果如下表列示：果如下表列示：2 2、比、比较较，选择选择交割差距最小者；交割差距最小者；显显然，交割最合算的然，交割最合算的国债国债是是国债国债2 2国债报价转换因子交割差距1144.50151.86144.5-93.51.5186=2.51092120.00126.14120-93.51.2614=2.0591399.80103.8099.8-93.51.038=2.747例：设已知某国债期货最合算交割券是息票利率为例：设已知某国债期货最合算交割券是息票利率为14%，转换，转换因子为因子为1.3650的国债现货报价是的国

9、债现货报价是118元，该国债期货的交割元，该国债期货的交割日为日为270天后。该债券上一次付息是天后。该债券上一次付息是60天前，下一次付息是天前，下一次付息是在在122天后，再下一次付息是在天后，再下一次付息是在305天后，市场任何期限的无天后，市场任何期限的无风险利率均为风险利率均为10%（连续复利），那么该国债的理论价格是多（连续复利），那么该国债的理论价格是多少？少？解：解：1 1、交割券、交割券现现金价格金价格为为：118+7118+760/182=120.308(60/182=120.308(美美元）；元）；2 2、先、先计计算算I.I.由于期由于期货货的有效期的有效期内内只有一次

10、付息，是在只有一次付息，是在12122 2天（天（0.33420.3342年）后支付年）后支付7 7美元利息因此利息的美元利息因此利息的现值为现值为：由于由于该该期期货货合合约约的有效期的有效期还还有有270270天（天（0.73970.7397年），那年），那么该么该交割券期交割券期货货的理的理论论上的上的现现金价格金价格为为：3 3、计计算交割券理算交割券理论报论报价。由于交割价。由于交割时时，交割券，交割券还还有有148148天（天（270-122270-122）的累）的累计计利息，而利息，而该该付息付息总总天天数为数为183183天（天（305-122305-122），故），故该该交割

11、券的理交割券的理论报论报价价为为：121.178-7121.178-7148/183=115.5168148/183=115.5168（美（美元）元）4 4、标标准准债债券的期券的期货报货报价价为为：115.1568/1.3650=84.628,115.1568/1.3650=84.628,或或84-2084-200.3342 0.176.770Ie（美 元）0.7397 0.1(120.308-6.770121.178Fe）（美 元）支付已知收益率资产远期协议支付已知收益率资产远期协议的定价的定价 首先构建以下两个组合：组合A：一份远期协议多头加上一笔数额为的 现金；组合B：单位标的资产并且

12、所有收入投资于该资产，其中q为该资产按复利计算的已知收益率。显然，组合A在 时刻的价值等于一单位的证券；组合B在 时刻正好拥有一单位证券。故，在初始时刻两者的价值也应相等，即有下列等式成立：()r TtKe()()()()()(),0r T tq T tq T tr T tr q T tfKeSefSeKeffF Se即为远期协议多头价值 由，可得我们所需要的定价解析式：TT()q T te已知收益率资产远期或期货合约定价已知收益率资产远期或期货合约定价方法的应用方法的应用 应用一：外汇远期或期货的定价应用一：外汇远期或期货的定价外外汇属汇属于支付已知收益率的于支付已知收益率的资产资产，其收益

13、率，其收益率可可认认定是外定是外汇发汇发行行国连续复国连续复利的无利的无风险风险利利率。由公式：率。由公式：上述公式即上述公式即为国际为国际金融金融领领域著名的利率域著名的利率平价平价关关系系 利差利差决决定定汇汇差。差。()(),r q T tF Seq其 中 的可 认 定 为 外 汇 发 行 国无 风 险 利 率。显 然 有 以 下 结 论：若 r q,外 汇 的 远 期 或 期 货 价 格 价 格 大 于 或 等 于 现 汇 价 格若 r q,外 汇 的 远 期 或 期 货 价 格 小 于 现 汇 价 格 指数期货定价案例指数期货定价案例 假设2007年3月1日，标准普尔股票价格指数价格

14、是3000美元，连续红利收益率为3.5%，无风险利率为8%，那么这时一份6个月到期的股指期货的价格是多少？解：连续红利收益率可以理解为股指对应的投资组合在相应期限内的已知收益率。那么由定价公式得：(8%3.5%)(8/12 2/12)30003068.27Fe（美 元）注：时 间 是 3月 1日 至 9月 1日，即 T-t可 以 理 解 为 8/12-2/12.即期利率与远期利率的关系即期利率与远期利率的关系 由无套利定价原理可得下列公式：1121()()()1111212111,r)1()()()()()r T Tr T tr T teeeTT rTr T tr T Tr Ttr Ttr T

15、 tT T 211（）其中，为(t,T)时间段内的即期利率，为（t,时间段内的即期利率，r即为所求解的远期利率。由公式（）可得：(2)由公式（2）整理可得：r(3)例：假设例：假设2 2年即期利率为年即期利率为10.5%,310.5%,3年即期利率为年即期利率为1111%，本金为，本金为100100万元万元2 2年年3 3年远期利率协议的合同年远期利率协议的合同利率为利率为11%11%，请问该远期利率协议的价值和理论，请问该远期利率协议的价值和理论上的合约利率是多少？上的合约利率是多少？解：设所求利率为 ,由即期利率与远期理论价格关系式 得：=(0.1130.1052)/(3 2)=12.0%

16、11()()()0.105(2 0)(0.11 0.12)(3 2)(1)100(1)8065.31kr r T Tr T tfAeefee 根据公式 得：（元）故该远期利率协议多头的价值是8065.31元1r1r211()()r Ttr TtTT1r首先，达成互换可能性分析首先，达成互换可能性分析第三章其次，操作过程与各自所承担的利率其次，操作过程与各自所承担的利率水平水平再次，金融机构介入下的互换效益瓜再次，金融机构介入下的互换效益瓜分分浮动利率债券价值的确定：浮动利率债券价值的确定：设一年期浮动利率债券，利息以LIBOR按季度来支付，假设每季度有90天，债券面值为1元。在0时刻90天期的

17、LIBOR利率记为 ，90天之后，90天期的LIBOR利率记为 ，分别是180天和270天之后的90天期的LIBOR利率。当然，只有 在一开始是知道的。债券到期日的支付额，即第360天所得到的支付，其值为本金加最后90天按 所计的利息之和。现在回到第270天来计算将来得到支付额的现值。我们将 用一个适当的贴现率即 来贴现，显然可得：即，该浮动利率债券在第270天价值等于其面值。继续上面的步骤直到0时刻，可以看到浮动利率债券的价值在任意一个支付日以及初始日期都等于其面值。结论：1、如果息票率相对于LIBOR没有溢价，那么上述结果永远成立；2、浮动利率债券可以设计成使其价值等于或接近于其面值。0(

18、90)l90(90)l180270(90)(90)ll和0(90)l2 7 0(9 0)l2 7 09 01(9 0)3 6 0l270(90)l270270901+(90)360270=1901+(90)360ll在第天时的债券现值例：假设某金融机构同一支付例：假设某金融机构同一支付6个月期个月期LIBOR，每年收取，每年收取8%（半年复利）的利息，名义（半年复利）的利息，名义本金为本金为100亿美元。该互换还有亿美元。该互换还有1.25年时年时间到期。按连续复利计算的间到期。按连续复利计算的3个月期、个月期、6个月个月期及期及15个月期的相关贴现率分别为个月期的相关贴现率分别为10%、10

19、.5%和和11%。上一支付日。上一支付日6个月期的个月期的LIBOR为为10.2%，试问该互换的价值是多少？，试问该互换的价值是多少？解：*31.25 0.1110.10.250.105 0.750.111.250.10.254,5.14410498.24(100 5.1)102.5198.24 102.514.27i irtfixifixflfixflKKBKeLeBeeeBeBB 根 据 已 知 条 件 可 得亿 美 元亿 美 元，且 有，故 有（亿 美 元）（亿 美 元），因 此，该 互 换 价 值 为：（亿 美 元）运用远期利率协议对利率互换定运用远期利率协议对利率互换定价价 即将互换

20、的价值视为一系列远期利率协议价值的贴现值之和。即只要知道组成利率互换的每笔远期利率的价值，便可计算出利率互换的价值。承接上例，前三个月现金流为8%的利率与10.2%的利率互换，对金融机构而言，交换价值为：0.10.250.105 0.750.5 100 0.8-1.021.07911.04%90.5 100 0.8-11.041.411512.102%-ee（）（亿 美 元）对 于个 月 期 的 交 换 价 值，半 年 复 利 的 利 率 为。因 此，个 月 期 的 远 期 利 率 协 议 的 价 值 为：（）（亿 美 元）同 理，对 于 个 月 期 的 交 换 价 值，由 于 其 半 年 复

21、 利 利 率 为，相 应 的 远 期 利 率 协 议 的 价 值 为1.79亿 美 元，故 其 利 率 交 换 价 值 为：-1.07-1.41-1.79=-4.27(亿 美 元）请 思 考 例 题 中 的 远 期 利 率 是 如 何 求 解 的？说明：年利息率与年复利利率的关系说明：年利息率与年复利利率的关系 设 因此，根据上例条件：/(1)1(1)ccccmRnRnmmR mmmARRnAeARReRmRme如 果 本 金 为，年 存 款 利 率 为，年 复 利 利 率 为，存 续年，则 应 由 下 列 等 式 成 立：或 者 若 可 分 次 计 息，则 有 例：假设在美国和日本例：假设在

22、美国和日本LIBOR利率的期限结构是水平利率的期限结构是水平的，在日本是的，在日本是4%而在美国是而在美国是9%（均是连续复利）。（均是连续复利）。某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元，利率某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元，利率为为5%，同时付出美元，利率为，同时付出美元，利率为8%。两种货币本金分。两种货币本金分别为别为1000万美元和万美元和120000万日元。这笔互换还有万日元。这笔互换还有3年期限，即期汇率为年期限，即期汇率为1美元美元=110日元日元.如果以美元如果以美元为本币，其互换价值是多少？为本币，其互换价值是多少？解：0.09 10.09 20.09 30.04

23、10.04 20.04 380801080964.4()60006000126000123055()1123055 964.4 154.3()110DFHBeeeBeeeV根 据 条 件 可 得：万 美 元万 日 元故 对 收 入 日 元 支 出 美 元 一 方 其 互 换 价 值 为：万 美 元显 然，对 支 付 日 元 收 入 美 元 一 方 其 互 换 价 值 则 为-154.3万 美 元。货币互换的定价货币互换的定价运用远期组合方法定价货币货币互互换换中每一次支付都可以用一中每一次支付都可以用一笔远笔远期外期外汇协议汇协议的的现现金流金流来来代替。因此代替。因此货币货币互互换换定价定价

24、问题问题可可转换为转换为分解出分解出来来的每的每笔远笔远期外期外汇协议汇协议的价的价值计值计量量问题问题。根据上例根据上例条条件，即期件，即期汇汇率率1 1美元美元=110=110日元，或日元，或1 1日元日元=0.009091=0.009091美元。美元。)()(0.0 90.0 4)1(0.0 90.0 4)2(0.0 90.0 4)30.0 911230.0 0 9 0 9 10.0 0 9 5 5 70.0 0 9 0 9 10.0 1 0 0 4 70.0 0 9 0 9 10.0 1 0 5 6 2(8 06 0 0 00.0 0 9 5 5 7)2 0.7 1()(8 06 0

25、0 00.0 1 0 0 4frrTtFS eeeee根 据，年 期、年 期、年 期 的 远 期 汇 率 分 别 为：对 应 的 三 份 远 期 协 议 的 价 值 分 别 为：万 美 元0.0 920.0 930.0 937)1 6.4 7()(8 06 0 0 00.0 1 0 5 6 2)1 2.6 9()(1 0 0 01 2 0 0 0 00.0 1 0 5 6 2)2 0 1.4 6()2 0.7 1+1 6.4 7+1 2.6 9+=eee 万 美 元万 美 元最 终 的 本 金 交 换 等 价 的 远 期 合 约 的 价 值 为：万 美 元该 笔 收 美 元 付 日 元 一 方

26、 互 换 价 值 为：（-2 0 1.4 6）-1 5 4.3(万 美 元）故 与 运 用 债 券 组 合 方 法 定 价 结 果 一 致。宝洁与信孚的两份利率互换协议宝洁与信孚的两份利率互换协议19931993年年1010月月宝洁与宝洁与信孚商信孚商议议希望能希望能够达够达成具有杠杆效成具有杠杆效应应的利率互的利率互换协议换协议替代即替代即将将到期的普到期的普通通标标准互准互换换。第一份为美元计价的利率互换合约第一份为美元计价的利率互换合约：19931993年年1111月月2 2日日双双方方签签署了署了5 5年期的利率互年期的利率互换换，此互，此互换换半年半年结结算，名算，名义义本金本金2

27、2亿亿美元，信孚同意支付美元，信孚同意支付5.3%5.3%年利率，年利率，宝洁宝洁向其支付的利率向其支付的利率为为3030天商天商业业票据利率的日平均利率票据利率的日平均利率减减去去7575个个基点再加上一基点再加上一个个利差。利差是基于利差。利差是基于5 5年期美年期美国国债国国债的收益率的收益率和和3030年美年美国国债国国债价格的函价格的函数数。即。即第二份为德国马克计价的利率互换合约：第二份为德国马克计价的利率互换合约：19941994年年2 2月月1414日日签订签订。期限。期限为为4.754.75年（年（1994.1.161994.1.161998.10.161998.10.16）

28、，合），合约约名名义义价价值为值为DM162800000DM162800000马马克克（约约93009300万美元）。信孚同意向万美元）。信孚同意向宝洁宝洁支付德支付德国马国马克克2 2年的固定期限利率，加上年的固定期限利率，加上233233个个基点的期基点的期权费权费。宝洁宝洁同意向信孚支付德同意向信孚支付德国马国马克克2 2年期的互年期的互换换利率，加上利率，加上133133个个基点期基点期权费权费。该条该条款在款在1995.101995.10月以后月以后调调整整为为信孚支付德信孚支付德国马国马克克3 3个个月月LIBORLIBOR加上加上233233个个基点，基点，宝洁宝洁向其支付德向其支付德国马国马克克3 3个个月月LIBORLIBOR加上利差。加上利差。设设定利率定利率r r的的联联姻姻区间区间a,b,a,b,若若r rb,b,利差利差为为0 0，若，若r rb,b,则则利差利差为为1010（r-a)r-a)。30=100Max年期国债收益率期美国国债价格利差