切线长定理用PPT课件

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1、切线的判定方法：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）到圆心的距离等与圆的半径的直线是圆）到圆心的距离等与圆的半径的直线是圆的切线；的切线；（3）圆的切线垂直于过切点的圆的切线垂直于过切点的半径半径.证明一条直线是圆的切线的常见的两种方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称条半径，简称“作半径，证垂直作半径，证垂直.”当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的

2、距离心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径等于半径,简称简称“做垂直做垂直,证半径。证半径。”1.经过半径的外端；2.与半径垂直 OAOA是O O的半径OAlOAl于Al l是O O的切线.练习练习1：已知：已知：AB是弦是弦，AD是切是切线，判断线，判断DAC与圆周与圆周ABC之之间的关系并证明间的关系并证明.CABDE弦切角弦切角：顶点在圆上顶点在圆上，一边和圆相交一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角另一边和圆相切的角叫做弦切角。判别下列图形中的角是不是弦切角，判别下列图形中的角是不是弦切角，并说明理由。并说明理由。图1图3图2图4弦切角性质弦切角性质:弦切角等于它所夹的弦切

3、角等于它所夹的弧所对的圆周角。弧所对的圆周角。练习练习5.AB5.AB是是O O的直径的直径,AE,AE平分平分BACBAC交交O O于点于点E,E,过过点点E E作作O O的切线交的切线交ACAC的延的延长线于点长线于点D,D,试判断试判断AEDAED的的 形状形状,并说明理由并说明理由.练习练习5.AB5.AB是是O O的直的直径径,AE,AE平分平分BACBAC交交O O于点于点E,E,过点过点E E作作O O的切的切线交线交ACAC的延长线于点的延长线于点D,D,试判断试判断AEDAED的的 形状形状,并说明理由并说明理由.O。ABP过圆外一点可以引圆的几条切线？过圆外一点可以引圆的几

4、条切线？尺规作图：尺规作图：过过 O外一点作外一点作 O的切线的切线O PABO在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做段的长叫做这点到圆的切线长。这点到圆的切线长。OPAB切线切线与与切线长切线长是一回事吗？是一回事吗？它们有什么区别与联它们有什么区别与联系呢？系呢？切线切线:不可以度量。不可以度量。切线长：切线长：可以度量。可以度量。B OABP思考思考：已知已知 O切线切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线为切点，把圆沿着直线OP对折对折,你能你能发现什么发现什么?12请证明你所发现的结论。请证明你所发现的结论。APOBPA=

5、PBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPBOBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HL)BOP(HL)PA=PB OPA=OPB试用文字语言试用文字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条切线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。两条切线的夹角。几何语言几何语言:反思反思：切线长定理为证明

6、：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相角相等等提供新的方法提供新的方法OPABAPOB 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得你又能得出什么新的结论出什么新的结论?并给出证明并给出证明.OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线,点点A A，B B是切点是切点 PA=PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形是等腰三角形，PMPM为为顶角顶角的平分线的平分线 OP垂直平分垂直平分ABMAPO。B 若延长若延长PO交交 O于点于点C，连结，连结CA、CB，你又你又能得出什么新的结论能得出什么新的结论?并给出证明

7、并给出证明.CA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线,点点A A，B B是切点是切点 PA=PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC例1已知已知，如图，如图，PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点为切点.直线直线 OP 交交 O 于点于点 D、E，交，交 AB 于于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形.（3）如果）如果 PA=4 cm,PD=2 cm,求半径求半径 OA 的长的长.AOCDPBE解：解：(1)OAPA,OBPB,OPA

8、B(2)OAP OBP,OCA OCB ACP BCP.(3)设设 OA=x cm,则则 PO=PD+x=2+x(cm)在在 RtOAP 中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 PA 2+OA 2=OP 2 即即 4 2+x 2=(x+2)2 解得解得 x =3 cm 所以，半径所以，半径 OA 的长为的长为 3 cm.练一练练一练已知：两个同心圆已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。为切点。求证：求证：AC=BDPABOCD（探究：探究：PA、PB是是 O的两条切的两条切线，线，A、B为切点，直线为切点

9、，直线OP交于交于 O于点于点D、E，交，交AB于于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有相等的线段）写出图中所有相等的线段（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPCOA=OB=OD=OE,PA-=PB,AC=BC,AE=BE 已知：如图已知：如图,PA,PA、PBPB是是OO的切线，切点分别的切线，切点分别是是A A、B B，Q Q为为ABAB上一点，过上一点，过Q Q点作点作OO的切线，的切线，交交PAPA、PBPB于于E E、F F点，已知点，已知PA=12CMPA=1

10、2CM，求，求PEFPEF的周长。的周长。EAQPFBO易证易证EQ=EA,FQ=FB,EQ=EA,FQ=FB,PA=PB PA=PB PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PF+FQ=PB=PAPB=PA=12cm=12cm周长为24cm 变式：变式：如图所示如图所示PA、PB分别切分别切圆圆O于于A、B，并与圆，并与圆O的切线分别相交于的切线分别相交于C、D，已知，已知PA=7cm，(1)求求PCD的周长的周长(2)如果如果P=46,求求COD的度数的度数C OPBDAE例例2、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA和和圆圆OO分别相切于点

11、分别相切于点L L、M M、N N、P P，求证：求证：AD+BC=AB+CD AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得证明：由切线长定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC，DN=DPDN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即即 AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC补充：补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等。PBAO（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：

12、在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。ABCEDFO 如图，如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb,ABc,O为为RtABC的内切圆的内切圆.求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。abc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径 r 或或rabc2ababc OABCDEF OABCDE思考思考：如图，：如图，AB是是 O的直径，的直径，AD、DC、BC是切线，点

13、是切线，点A、E、B为切点，若为切点，若BC=9，AD=4，求，求OE的长的长.例例1 1、已知：、已知：P P为为O O外一点，外一点，PAPA、PBPB为为O O的的切线，切线，A A、B B为切点，为切点，BCBC是直径。是直径。求证：求证：ACOPACOPPACBDO练习练习.如图，如图，ABC中中,C=90,它的它的内切圆内切圆O分别与边分别与边AB、BC、CA相切相切于点于点D、E、F，且，且BD=12，AD=8，求求 O的半径的半径r.OEBDCAFBDEFOCA如图，如图，ABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r,ABC的周长为的周长为l,求求ABC的面积的面积S.解：解：设设

14、ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF21212121 lr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r2Sabc三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算）（，则）（）；（，其中）则内切圆半径（，的对边，面积为、中分别为、设cbarCcbappsrSCBAABCcba21902211ABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BC3,AC4,O为为RtABC的内切圆

15、的内切圆.（1）求）求RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径.（2）若移动点）若移动点O的位置，使的位置，使 O保持与保持与ABC的边的边AC、BC都相切，求都相切，求 O的半径的半径r的取值范围。的取值范围。解：解：（1）设）设RtABC的内切圆与三边相的内切圆与三边相切于切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。RtABC的内切圆的的内切圆的半径为半径为1。（2）如图所示，设与）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与相切的最大圆与BC、AC的切点分别为的切点分别为B、D,连结连结OB、OD,则四边形则四边形BODC为正方形。为正方形。ABODCOBBC3半

16、径半径r的取值范围为的取值范围为0r3几何问题代数化是几何问题代数化是解决几何问题的一解决几何问题的一种重要方法。种重要方法。EF HG切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角条切线的夹角。APO。BECDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PB,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角线段相等，角相等，弧相等，垂直关系相等，弧相等，垂直关系提供了理论提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。依据。必须掌握并能灵活应用。