模糊层次分析法

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1、第第5 5讲（讲（3 3）模糊层次分析法模糊层次分析法Fuzzy Analytical Hierarchy ProcessContentsFAHP应用实例应用实例FAHP的步骤的步骤三角模糊函数三角模糊函数FAHP的基本概念的基本概念模糊数简介模糊数简介模糊数简介模糊数简介论域论域：用U表示，它指将所讨论的对象限制在一定范围内，并称所 讨论的对象的全体成为论域。总假定它是非空的。模糊集：模糊集：明确集合A：元素x不是属于A就是不属于A。模糊集合A：在论域U内，对任意x U，x常以某个程度(0,1)属于A，而非x A或x不属于A。全体模糊集用F(U)表示。AxAxxA ,0 ,1)(模糊数简介隶

2、属函数：隶属函数：设论域U，如果存在A(x):U0,1 则称 A（x）为x A 的 隶属度隶属度,从而一般称 A(x)为A的隶属函数隶属函数 论域U中元素x与A的关系由隶属度A(x)给出，不是简单的二值属于或不属于而是多大程度上属于；U上所有模糊子集的集合称为模糊幂集，记作F(U)模糊数简介220,1.601.602,1.601.700.2()1.8012,1.701.800.21,1.80Axxxuxxxx 例1：用A表示“高个子男生”的集，并认为身高1.80m以上的男生必为高个，而身高1.6m以下的男生都不是高个。用x表示某男生的身高，并给出的隶属函数如下:取x分别等于1.65m，1.70

3、m，1.75m，则uA(x)分别等于0.125,0.50,0.875，即身高1.65m，1.70m，1.75m的男生，分别以0.125,0.50,0.875的程度属于高个子男生。A是“高个子男生”对应的模糊集（Fuzzy集）。1M(x)x0ContentsFAHP应用实例应用实例 FAHP的步骤的步骤三角模糊函数三角模糊函数 FAHP的基本概念的基本概念模糊数简介模糊数简介FAHP的基本概念的基本概念v 为什么引入为什么引入FAHPFAHP（即（即Fuzzy AHPFuzzy AHP）？）？v 在一般问题的层次分析中，构造两两比较判断矩阵时通常没有考虑人的判断模糊性。v 有些问题中进行专家咨询

4、时，专家们往往会给出一些模糊量（例如三值判断：最低可能值、最可能值、最高可能值）v 所以引入模糊数改进AHPFAHP的基本概念v 上面已经说过任意一个Fuzzy集，对应着一个隶属函数。但怎样确定一个Fuzzy集的隶属函数是一个尚未得到解决的问题。v 通常模仿概率论中的分布函数作为隶属函数，叫做Fuzzy分布函数：正态分布型；梯形分布；K次抛物线分布；Cauchy型分布；S型分布等等。这些函数论域为实数，带有参数，值域为【0，1】.2.梯形分布函数：梯形分布函数：其中a,b,c,d是参数，且abcd隶属函数是梯形表面的边界方程。当b=c时，变为三角分布函数。3.其他不再列出，后面重点介绍三角模糊

5、函数0(;,)10Axaxaaxbbax a b c dbxddxcxddcdxu0A(u)u1abdc几种常见隶属函数的简介几种常见隶属函数的简介 1.正态分布型：正态分布型：其中a,是参数，且22(2)(;,)Axx aueContentsFAHP应用实例应用实例FAHP的步骤的步骤三角模糊函数三角模糊函数FAHP的基本概念的基本概念模糊数简介模糊数简介三角模糊函数三角模糊函数v 荷兰学者F.J.M.Van Laarhoven和W.Pedrycz提出了用三角Fuzzy数表示Fuzzy比较判断的方法。v定义：设论域定义：设论域R上的上的Fuzzy数数M，如果，如果M的隶属的隶属度函数度函数M

6、：R 0,1表示为表示为 式中lmu,l和u表示M的下界和上界值。m为M的隶属度为1的中值。一般三角Fuzzy数M表示为（l,m,u).M1,1,()0(,)lxxl mmxmluxxm uxmumuxlu三角模糊函数v三角三角Fuzzy数的几何解释：数的几何解释：三角Fuzzy数M表示为（l,m,u)其中x=m时，x完全属于M，l和u分别下界和上界。在l,u以外的完全不属于模糊数M。例子：用(4，5，6)表示i方案比j方案明显重要这一Fuzzy判断(注意：不是传统AHP中用5来表示）。当隶属度为1时，这一判断标度为5；隶属度为x-4时，判断标度为x(x4,5);隶属度为6-x时，标度为x(x

7、5,6).M(x)x10lmu v 两个三角模糊数两个三角模糊数M1和和M2的运算方法：的运算方法：1(1,1,1);2(2,2,2)12(12,12,12)12(1 2.12,1 2)1111(,)MlmuMlmuMMllmmuuMMl lm mu uMumlA和B的相对权重定义定义说明说明M1同等重要同等重要A，B对目标具有同样的贡对目标具有同样的贡献献M3稍微重要稍微重要A比比B稍微重要稍微重要M5重要重要A 比比B重要重要M7明显重要明显重要A比比B明显重要明显重要M9非常重要非常重要A比比B非常重要非常重要M2，M4，M6，M8中间重要性中间重要性中间状态对应的标度值中间状态对应的标

8、度值v在指标评价的两两比较矩阵中，为了考虑人的模糊性在内，三角模糊数在指标评价的两两比较矩阵中，为了考虑人的模糊性在内，三角模糊数M1,M3,M5,M7,M9被用来代表传统的被用来代表传统的1，3，5，7，9.而而M2,M4,M6,M8是中间值。是中间值。如下表如下表:ContentsFAHP应用实例应用实例FAHP的步骤的步骤三角模糊函数三角模糊函数FAHP的基本概念的基本概念模糊数简介模糊数简介一、构造模糊判断矩阵一、构造模糊判断矩阵v 构造构造模糊判断矩阵模糊判断矩阵：v Step1Step1：调研对象组利用模糊数（M1-M9）来表达他们的偏好。这里假设有三个调研成员。他们对一组比较（比

9、如C1与C2的比较）各自得到一个模糊数，分别为（l1,m1,u1),(l2,m2,u2),(l3,m3,u3)v Step2Step2：将三个模糊数整合成一个，将三个模糊数整合成一个，重复以上步骤，直到所有的比较变成一个模糊数。重复以上步骤，直到所有的比较变成一个模糊数。123123123(,)333lllmmmuuu矩阵值全是模糊数v例例1：v 例：假设在这个供应商选择的模型中（图左），主要考虑四个例：假设在这个供应商选择的模型中（图左），主要考虑四个因素：成本，质量，服务，企业质量。三个因素：成本，质量，服务，企业质量。三个 专家对他们的模专家对他们的模糊评价矩阵如下（图右）糊评价矩阵如下

10、（图右）:vC1与与C2的三个比较模糊值，可以通过以下方式的三个比较模糊值，可以通过以下方式整合为为一个模糊值：整合为为一个模糊值：C1比比C2值为值为：（：（0.39，0.67，1.00）。）。对其他比值可做相似的处理，得到模糊矩阵：对其他比值可做相似的处理，得到模糊矩阵：1/31/31/2)/30.3889(1/21/21/1)/30.6667(1/11/11/1)/31（二、计算各个指标的综合权重二、计算各个指标的综合权重v Step3Step3：第：第K K层元素层元素i i的综合模糊值的综合模糊值 （初始权重）。（初始权重）。计算方式如下：计算方式如下：拿拿FCM1举例：举例：c1的

11、初始权重计算如下。的初始权重计算如下。iDki111(),1,2,.,Dnnnkkkijijjijinaa441141444c1111(1,1,1)(0.39,0.67,1.00)(1,1,1)(0.39,0.67,1.00)(2.33,3.33,4.33)(4.17,5.83,7.33)(0.1509,0.2897,0.5083)ijijijjijijjijaaaaD+（1，1，1）=（14.428，20.139，27.611）v同理：可以计算出同理：可以计算出C2,C3,C4的初始权重如下的初始权重如下Step4Step4：去模糊化去模糊化以及求出以及求出c1至至C4的最终权重的最终权重

12、定义一：M1（l1,m1,u1)和M2（l2,m2,u2)是三角模糊数。M1 M2的可能度用三角模糊函数定义为234(0.1 6 9,0.3 3 1,0.6 7 0)(0.1 3 6 8,0.2 7 3 1,0.5 3 1 4)(0.0 6 5 8,0.1 0 6 2,0.2 0 4 1)cccDDD121212()m in(),()11221()1212(11)(22)0supMMxyvxymmluvdmmulmumlotherw iseuuMMMM，将模糊值变为一般的值三角模糊函数M(x)x10l1m1u1l2m2u2M1M2121212()m in(),()11221()1212(11)

13、(22)0supMMxyvxymmluvdmmulmumlotherw iseuuMMMM，(0.151,0.290,0.508)1(0.169,0.331,0.670)2(0.137,0.273,0.531)3(0.066,0.106,0.204)4DcDcDcDc121314(0.16900.5083)()0.8913,(0.28970.5083)(0.33100.1690)()1,()1,ccccccVVVDDDDDD313234(0.151 0.531)()0.9583,(0.2730.531)(0.2900.151)(0.1690.531)()0.8622,(0.2730.531)(

14、0.331 0.169)()1,ccccccVVVDDDDDDv定义二：定义二：一个模糊数大于其他一个模糊数大于其他K个模糊数的可能度个模糊数的可能度，被定义为：，被定义为：v拿上个例子来说明：对拿上个例子来说明：对 去模糊化：去模糊化：12kV,)min(),1,2,kiViMM MMMM（1234ccccD DD D，1234213431244123(1)min(,)min(0.8913,1,1)0.8913,(2)min(,)min(1,1,1)1,(3)min(,)min(0.9583,0.8622,1)0.8622,(4)min(,)min(0.2247,0.1349,0.2872c

15、cccccccccccccccd CVd CVd CVd CVDD D DDD D DDD D DDD D D)0.1349,v将以上权重值标准化，得到各指标的最终权重：将以上权重值标准化，得到各指标的最终权重：v注：将（a,b,c,d）标准化是指将其化为 1234,)(0.3086,0.3462,0.2985,0.0467)ccccw w w w（(,)abcdabcdabcdabcdabcdvStep5:Step5:确定其他层次的各指标权重确定其他层次的各指标权重 利用相同的方法，得到下一层次的指标Ai权重wi。则指标Ai的总权重:TWi=wcm*wi (m=1,2,3,4;i=1,212

16、)经计算得到下层指标的总权重如下：经计算得到下层指标的总权重如下：AmA1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12TWm总结：总结：v Step1Step1：3个调研对象利用模糊数来表达偏好，如C1与C2的比较，各自得到一个模糊数，分别为：（l1,m1,u1),(l2,m2,u2),(l3,m3,u3)v Step2Step2：将3个模糊数整合成一个；v Step3Step3：第K层元素i的综合模糊值（初始权重）；Step4Step4：去模糊化以及求出最终权重；i111(),1,2,.,DnnnkkkijijjijinaavStep5:Step5:确定其他层次的各指标权重FAHP应用

17、实例应用实例FAHP的步骤的步骤三角模糊函数三角模糊函数FAHP的基本概念的基本概念模糊数简介模糊数简介实例一：供应商的选择v供应商选择是一个多目标决策问题，选择供应商的评价指标如下图。假设有三个供应商B1，B2，B3v对对定量指标定量指标的处理：只需标准化统计值来获得权重。的处理：只需标准化统计值来获得权重。如，如，B1，B2，B3三个供应商的产品合格率分别为三个供应商的产品合格率分别为90%，94%，98%。则。则标准化标准化后得到权重如下。后得到权重如下。B1的指标A4的权重V4=0.9/(0.9+0.94+0.98)B1B2B3Qualified rate A40.90.940.98W

18、eight V40.3190.3330.348v对对定性指标定性指标的处理：的处理：专家评估来得到模糊判断矩阵。用FAHP中的三角模糊数来表示指标权重。如，确定如，确定B1，B2，B3的企业信用的指标权重。的企业信用的指标权重。Step1.专家评估模糊判断供应供应商商B1B2B3B1（1，1，1）（1，2，3）（2，3，4）（1，1，2）（1，1，2）（1，1，2）（1，2，3）B2（1/3，1/2，1/1）（1/2，1/1，1/1）（1/3，1/2，1/1）（1，1，1，）（1，1，2）（1，2，3）（1，1，2）B3（1/2，1/1，1/1）（1/2，1/1，1/1）（1/3，1/2，1/

19、1）（1/2，1/1，1/1）（1/3，1/2，1/1）（1/2，1/1，1/1）（1，1，1，）vStep 2:构造其他指标的两两比较矩阵。略构造其他指标的两两比较矩阵。略vStep 3：计算：计算“企业信用企业信用”的模糊权重的模糊权重DviEnterprise creditFuzzy weight DviB1(0.25,0.45,0.84)B2(0.17,0.29,0.54)B3(0.14,0.26,0.40)i111(),1,2,.,Dnnnkkkijijjijinaa vStep 4:将所有模糊数去模糊化。将所有模糊数去模糊化。122113312332()1;()0.65;()1;(

20、)0.44;()1;()0.88;BBBBBBBBBBBBVVVVVVDDDDDDDDDDDDB1B2B3B2B1B3B3B1B2(B1)min(,)min(1,1)1,(B2)min(,)min(0.581,1)0.65,(B3)min(,)min(0,0)0.44.dVdVdVDD DDD DDD Dv归一化后，得到个指标的最终权重归一化后，得到个指标的最终权重vStep5：计算总的供应商权重：计算总的供应商权重TVBn.B1在指标在指标A10（企业信用）下的权重是：（企业信用）下的权重是：得到下表：得到下表：B 2B 3B 1,)=(0.4 8,0.3 1,0.2 1)(vvv1 2B

21、n1()T VniiiVT W11 01 00.0 1 90.4 80.0 0 9 1VT WB1B2B3A10.05510.06630.0203A20.04070.06530.0357A30.00790.00620.0111A40.06940.07250.0757A50.0230.05620.0261A60.00990.00830.0051A70.03870.05680.0853A80.00350.00150.0019A90.02980.01760.0635A100.00910.00590.0040A110.00010.00090.0006A120.00330.02290TVBn0.29050.38020.3293v综上判断：综上判断：B2的权重最高，选择的权重最高，选择B2供应商。供应商。