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1、直线与圆的位置关系 第二十四讲 第五章 图形的性质 (二 ) 知识盘点 1、直线与圆的位置关系与判定 2、切线的判定与性质 3、切线长定理及运用 4、三角形的内切圆与圆的内接四边形的性质 1 证直线为圆的切线的两种方法 (1)若知道直 线 和 圆 有公共点 时 ， 常 连 接公共点和 圆 心 ， 证 明直 线 垂直半径； (2)不知道直 线 和 圆 有公 共点 时 ， 常 过圆 心向直 线 作垂 线 ， 证 明垂 线 段的 长 等于 圆 的半径 难点与易错点 2 常见的辅助线 (1)当已知条件中有切 线时 ， 常作 过 切点的半径 ， 利用切 线 的性 质 定理来解 题 ； (2)遇到两条相交
2、的切 线时 (切 线长 )， 常常 连 接切点和 圆 心 、 连 接 圆 心和 圆 外的一点 、 连 接两切点 C B 1 (2015张家界 )如图 ， O 30 ， C为 OB上一点 ， 且 OC 6， 以点 C为圆心 ， 半径为 3的圆与 OA的位置关系是 ( ) A 相离 B 相交 C 相切 D 以上三种情况均有可能 2 (2015枣庄 )如图 ， 一个边长为 4 cm的等边三角形 ABC的高与 O的直径相等 O与 BC相切于点 C， 与 AC相交于点 E， 则 CE的 长为 ( ) A 4 cm B 3 cm C 2 cm D 1.5 cm 夯实基础 B 3 (2015黔西南州 )如图
3、 ， 点 P在 O外 ， PA， PB分别与 O相切 于 A， B两点 ， P 50 ， 则 AOB等于 ( ) A 150 B 130 C 155 D 135 C 4 (2015厦门 )如图 ， 在 ABC中 ， AB AC， D是边 BC的中点 ， 一个圆过点 A， 交边 AB于点 E， 且与 BC相切于点 D， 则该圆的圆 心是 ( ) A 线段 AE的中垂线与线段 AC的中垂线的交点 B 线段 AB的中垂线与线段 AC的中垂线的交点 C 线段 AE的中垂线与线段 BC的中垂线的交点 D 线段 AB的中垂线与线段 BC的中垂线的交点 5 (2015重庆 )如图 ， AC是 O的切线 ，
4、切点为 C， BC是 O的直 径 ， AB交 O于点 D， 连接 OD.若 BAC 55 ， 则 COD的大小 为 ( ) A 70 B 60 C 55 D 35 A 考点一：判断直线与圆的位置关系 【 例 1】 (1)如图 ， O的半径为 4 cm， OA OB， OC AB于点 C ， OB 4 cm， OA 2 cm， 试说明 AB是 O的切线 解： ( 1 ) 解： OA OB ， AB OA 2 OB 2 （ 2 5 ） 2 （ 4 5 ） 2 1 0. 又 S AOB 1 2 A B OC 1 2 OA OB ， OC OA OB AB 2 5 4 5 10 4. 又 O 的半径为
5、 4 ， AB 是 O 的切线 典例探究 (2)如图 ， 已知在 OAB中 ， OA OB 13， AB 24， O的半径 长为 r 5.判断直线 AB与 O的位置关系 ， 并说明理由 解： ( 2 ) 解：过点 O 作 OC AB 于 C. OA OB 13 ， AC BC 1 2 AB 12. 在 Rt A OC 中 ， OC OA 2 AC 2 13 2 12 2 5 r ， 直线 AB 与 O 相切 【 点评 】 在判定直 线 与 圆 相切 时 ， 若直 线 与 圆 的公共点 已知 ， 证题 方法是 “ 连 半径 ，证 垂直 ” ；若直 线 与 圆 的公共点未知 ，证 题 方法是 “
6、作垂 线 ，证 半径 ” 这 两种情况可概括 为 一句 话 ： “ 有交点 连 半径 ， 无交点作垂 线 ” 对应训练 1 (1)(2015齐齐哈尔 )如图 ， 两个同心圆 ， 大圆的半径为 5， 小圆 的半径为 3， 若大圆的弦 AB与小圆有公共点 ， 则弦 AB的取值范围 是 ( ) A 8AB10 B 8 AB10 C 4AB5 D 4 AB5 (2)(2014西宁 ) O的半径为 R， 点 O到直线 l的距离为 d， R， d是方 程 x2 4x m 0的两根 ， 当直线 l与 O相切时 ， m的值为 _ A 4 【 例 2】 (2015陕西 )如图 ， AB是 O的直径 ， AC是
7、O的弦 ， 过点 B作 O的切线 DE， 与 AC的延长线交于点 D， 作 AE AC交 DE于点 E. (1)求证： BAD E； (2)若 O的半径为 5， AC 8， 求 BE的长 考点二：圆的切线的性质 解： (1)证明： AB是 O的直径 ， AC是 O的弦 ， 过点 B作 O的 切线 DE， ABE 90 ， BAE E 90 ， DAE 90 ， BAD BAE 90 ， BAD E 【 点评 】 本 题 主要考 查 了切 线 的性 质 和 应 用 ， 要熟 练 掌握切 线 的性 质 ： 圆 的切 线 垂直于 经过 切点的半径 经过圆 心且垂直 于切 线 的直 线 必 经过 切点
8、 经过 切点且垂直于切 线 的直 线 必 经 过圆 心 ( 2 ) 解：连接 BC ， 如图： AB 是 O 的直径 ， ACB 90 ， AC 8 ， AB 2 5 10 ， BC AB 2 AC 2 6 ， BCA ABE 90 ， BA D E ， A BC EAB ， AC EB BC AB ， 8 EB 6 10 ， BE 40 3 对应训练 2 ( 2015 菏泽 ) 如图 ， 在 ABC 中 ， BA BC ， 以 AB 为直径的 O 分别交 AC ， BC 于点 D ， E ， BC 的延长线与 O 的切线 AF 交于点 F. (1 ) 求证： ABC 2 C AF ； (2
9、) 若 AC 2 10 ， CE EB 1 4 ， 求 CE 的长 解： ( 1 ) 证明：连接 B D. AB 为 O 的直径 ， ADB 90 ， DA B ABD 90 . AF 是 O 的切线 ， F AB 90 ， 即 DAB CAF 90 . CA F ABD. BA BC ， ADB 90 ， AB C 2 ABD. ABC 2 CAF ( 2 ) 解：连接 AE ， A EB 90 ， 设 CE x ， CE EB 1 4 ， EB 4x ， BA BC 5x ， AE 3x ， 在 Rt ACE 中 ， AC 2 CE 2 AE 2 ， 即 ( 2 10 ) 2 x 2 (
10、3x ) 2 ， x 2. CE 2 【 例 3】 (2015湖州 )如图 ， 已知 BC是 O的直径 ， AC切 O于 点 C， AB交 O于点 D， E为 AC的中点 ， 连接 DE. (1)若 AD DB， OC 5， 求切线 AC的长； (2)求证： ED是 O的切线 解： (1)解：连接 CD， BC是 O的直径 ， BDC 90 ， 即 CD AB， AD DB， OC 5， CD是 AB的垂直平分线 ， AC BC 2OC 10 ( 2 ) 证明：连接 OD ， 如图所示 ， ADC 90 ， E 为 AC 的中点 ， DE EC 1 2 AC ， 1 2 ， OD OC ， 3
11、 4 ， AC 切 O 于点 C ， AC OC ， 1 3 2 4 90 ， 即 DE OD ， ED 是 O 的切线 【 点评 】 本 题 考 查 了切 线 的判定与性 质 ， 解 题 的关 键 是：熟 记 切 线 的判定定理与性 质 定理 ， 经过 半径的外端 ， 并且垂直于 这 条 半径的直 线 是 圆 的切 线 ； 圆 的切 线 垂直于 过 切点的直 径 对应训练 3 (2015巴中 )如图 ， AB是 O的直径 ， OD BC于点 F， 交 O于 点 E， 连接 CE， AE， CD， 若 AEC ODC. (1)求证：直线 CD为 O的切线； (2)若 AB 5， BC 4， 求
12、线段 CD的长 解： ( 1 ) 证明：连接 OC ， CE A CBA ， AEC ODC ， CBA ODC ， 又 CFD BFO ， DCB BOF ， CO BO ， OC F B ， B BOF 90 ， OC F DCB 90 ， 直线 CD 为 O 的切线 ( 2 ) 解：连接 AC ， AB 是 O 的直径 ， AC B 90 ， DCO AC B ， 又 D B O CD AC B ， A CB 90 ， AB 5 ， BC 4 ， AC 3 ， CO AC CD BC ， 即 2. 5 3 CD 4 解得； DC 10 3 试题 已知：如图 ， P 是 O 外一点 ， P
13、A 切 O 于点 A ， AB 是 O 的直径 ， BC OP 交 O 于点 C . (1 ) 判断直线 PC 与 O 的位置关系 ， 并证明你的结论； (2 ) 若 BC 2 ， sin 1 2 APC 1 3 ， 求 PC 的长及点 C 到 PA 的距离 审题视角 (1)直 线 PC与 O交于点 C， 可以初步判定直 线 与 圆 相切或相交； (2)PA切 O于点 A， 根据切 线 的性 质 ， 可知 PAO 90 ， 连 接 CO， 能 证 得 PCO PAO 90 ， PC与 O相切；而后由 PC是切 线 解得 PC长 考点四：与圆有关的综合问题 规范解题 解： (1)直线 PC与 O
14、相切 证明：连接 OC， BC OP， 1 2， 3 4. OB OC， 1 3， 2 4. 又 OC OA， OP OP， POC POA， PCO PAO. PA切 O于点 A， PAO 90 ， PCO 90 ， PC与 O相切 (2) POC POA ， 5 6 1 2 APC ， sin 5 sin 1 2 APC 1 3 . PCO 90 ， 2 5 90 ， cos 2 sin 5 1 3 . 3 1 2 ， cos 3 1 3 . 连接 AC ， AB 是 O 的直径 ， ACB 90 ， AB BC cos 3 2 1 3 6 ， OA OB OC 3 ， AC AB 2 B
15、C 2 4 2 ， 在 Rt POC 中 ， OP OC sin 5 9 ， PC OP 2 OC 2 6 2 . 过 点 C 作 CD PA 于 D ， ACB P AO 90 ， 3 7 90 ， 7 8 90 ， 3 8 ， cos 8 cos 3 1 3 . 在 Rt CAD 中 ， AD AC cos 8 4 2 1 3 4 3 2 . CD AC 2 AD 2 16 3 ， 即点 C 到 PA 的距离为 16 3 . 答题思路 第一步：探索可能的 结论 ， 假 设 符合要求的 结论 存在； 第二步：从条件出 发 (即假 设 )求解； 第三步：确定符合要求的 结论 存在或不存在； 第
16、四步： 给 出明确 结 果； 第五步：反思回 顾 ， 查 看关 键 点 ， 易 错 点及答 题规 范 试题 在 Rt ABC中 ， C 90 ， AC 3， BC 4， 若以 C为圆心 ， R为半径的圆与斜边 AB只有一个公共点 ， 求 R的值 解： C 与 AB 相切 ， 此时 AB 3 2 4 2 5 ， S ABC 1 2 AB CD 1 2 AC BC ， CD AC BC AB 3 4 5 12 5 ， 圆与 AB 相切时 ， 即 R CD 12 5 . 注意： 剖析 当 C与 AB相切 时 ， 只有一个交点 ， 同 时 要注意 AB是 线 段 ， 当 圆 的半径 R在一定范 围 内 时 ， 斜 边 AB与 C相交且只有一个公 共点 正解 当 O 与 AB 相切时 ， AB 3 2 4 2 5 ， S ABC 1 2 AB CD 1 2 AC BC ， CD AC BC AB 3 4 5 12 5 ； 当 C 与斜边 AB 相交 时 ， 点 A 在圆内部 ， 点 B 在圆上或圆外时 ， 此时 AC R BC ， 即 3 R 4. 故答案为： 3 R 4 或 R 12 5
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