第五章留数ppt课件

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1、篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1第五章第五章 留数留数 第一节 孤立奇点 第二节 留 数 第三节 留数在定积分计算上的应用第一节第一节 孤立奇点孤立奇点一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统3一、孤立奇点的概念一、孤立奇点的概念定义定义 如果如果函数函数0z)(zf在在 不解析不解析,但但)(zf在在0z的某一去心邻域的某一去心邻域 00zz内处处解析内处处解析,则称

2、则称0z)(zf为为的孤立奇点的孤立奇点.例例10 z是函数是函数zzezsin,1的孤立奇点的孤立奇点.1 z是函数是函数11 z的孤立奇点的孤立奇点.注意注意:孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统4例例2 2 指出函数指出函数0 z在点在点zzzf1sin)(2 的奇点特性的奇点特性.解解 kzz1,0),2,1(k，因为因为01lim kk即在即在0 z的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在的奇点存在,函数的奇点

3、为函数的奇点为)(zf总有总有0 z不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统52.分类分类以下将以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：考察：)!12()1(!5!31sin)1(242nzzzzznn特点：特点：没有负幂次项没有负幂次项 !211!1)2(1010nzzznznzzzennnnnz特点：特点：只有有限负幂次项只有有限负幂次项 nznzzez!1!211)

4、3(211特点：特点：有无穷多负幂次项有无穷多负幂次项篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统6孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据)(zf在其孤立奇点在其孤立奇点0z的去心邻域的去心邻域 00zz内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:1可去奇点可去奇点1可去奇点可去奇点;2极点极点;3本性奇点本性奇点.如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项,0zz 0z)(zf那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.1)定义定义篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此

5、，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统7其和函数其和函数)(zF为在为在0z解析的函数解析的函数.000,)()(zzczzzFzf说明说明:(1),)(0的孤立奇点的孤立奇点若是若是zfz.)()()(0010 nnzzczzcczf)0(0 zz)(lim)(00zfzfzz,)(00czf(2)无论无论在在是否有定义是否有定义,)(zf0z补充定义补充定义则函数则函数在在0z解析解析.)(zf篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统8 2)可去奇点的判定可去奇点的判定(1)由定义判断由定义判断:的洛朗级数无负的洛朗

6、级数无负0z)(zf在在如果如果幂项则幂项则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.(2)判断极限判断极限:)(lim0zfzz若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统9如果补充定义如果补充定义:0 z时时,1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例3 42!51!311sinzzzz中不含负幂项中不含负幂项,0 z是是zzsin的可去奇点的可去奇点.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计

7、分系统是一种得分类型的系统10例例4 说明说明0 z为为zez1 的可去奇点的可去奇点.解解 zez1,!1!2111 nznz z0所以所以0 z为为的可去奇点的可去奇点.zez1 无负幂项无负幂项另解另解 zzzzeze00lim1lim 因为因为0 z所以所以的可去奇点的可去奇点.为为zez1)1!1!211(12 nznzzz,1 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统112.极点极点 1012020)()()()(zzczzczzczfmm)0,1(mcm )(010zzcc,)()(1)(0zgzzzfm 10)

8、(zz,)(0mzz 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.0z)(zfm那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成1)定义定义 0zz 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项,篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统12说明说明:20201)()()(zzczzcczgmmm1.内内是是解解析析函函数数在在 0zz2.0)(0 zg特点特点:(1)(2)的极点的极点,则则0z)(zf为函数为函数如果如果.)(lim0 zfzz例例5 有理分式函数有理分式函数,)2(

9、23)(2 zzzzf是二级极点是二级极点,0 z2 z是一级极点是一级极点.,)()(1)(0zgzzzfm 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统132)极点的判定方法极点的判定方法)(zf的负幂项为有的负幂项为有0zz 的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内0zmzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 )(zg0z.0)(0 zg(1)由定义判别由定义判别(2)由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(3)利用极限利用极限 )(lim0z

10、fzz判断判断.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统14课堂练习课堂练习求求1123 zzz的奇点的奇点,如果是极点如果是极点,指出它的指出它的级数级数.答案答案 1123zzz由于由于,1:是是函函数数的的一一级级极极点点所所以以 z.1是是函函数数的的二二级级极极点点 z,)1)(1(12 zz篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统15本性奇点本性奇点3.如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个0zz 那末孤立奇点那末孤立奇点0z称为称为

11、)(zf的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，例如，,!1!211211 nzznzze)0(z含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内)(lim0zfzz不存在且不不存在且不为为.为为本本性性奇奇点点，所所以以0 z同时同时zze10lim不存在不存在.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统16综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m级极点级极点本性奇点本性奇点洛朗级数特点洛朗级数特点)(lim0zfzz 存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且

12、不为 无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项10)(zzmzz )(0关于关于的最高幂的最高幂为为篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统17二、函数的零点与极点的关系二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义零点的定义不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数)(zf如果如果能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其中其中在在,0)(0 z 解析且解析且m为某一正整数为某一正整数,那末那末0z称为称为)(zf的的 m 级零点级零点.例例6的一级零点，的一级零点，是函数是函数

13、3)1()(0 zzzfz注意注意:不恒等于零的解析函数的零点是孤立的不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.)1()(13的的三三级级零零点点是是函函数数 zzzfz篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统182.零点的判定零点的判定零点的充要条件是零点的充要条件是证证 (必要性必要性)由定义由定义:)()()(0zzzzfm 设设0)(zz 在在 的泰勒展开式为的泰勒展开式为:,)()()(202010 zzczzccz 0zm0z如果如果在在解析解析,那末那末为为的的级级)(zf)(zfm0z如果如果为为的的级零点级零点)(

14、zf;)1,2,1,0(,0)(0)(mnzfn.0)(0)(zfm篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统19的的泰泰勒勒展展开开式式为为在在从从而而0)(zzf10100)()()(mmzzczzczf 202)(mzzc其中其中,0)(00 zc 展开式的前展开式的前m项系数都为零项系数都为零,由泰勒级数的系数由泰勒级数的系数公式知公式知:);1,2,1,0(,0)(0)(mnzfn并且并且.0!)(00)(cmzfm充分性证明略充分性证明略.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计

15、时计分系统是一种得分类型的系统20的的零零点点。均均为为与与3)1()(10 zzzfzz例如例如zzzzf6)1(6)1(12)(23)1(3)1()(zzzzf又又0)1(f)1(6)1(6)(2 zzzzf为为一一级级零零点点00)1()0(3 zf为为三三级级零零点点1 z06)1(f0)1(f篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统21(1)由于由于123)1(zzf知知1 z是是)(zf的一级零点的一级零点.课堂练习课堂练习0 z是五级零点是五级零点,iz 是二级零点是二级零点.知知是是)(zf的一级零点的一级零点

16、.0 z解解(2)由于由于0cos)0(zzf答案答案例例7 求以下函数的零点及级数求以下函数的零点及级数:,1)(3 zzf(1)(2).sin)(zzf,03 ,01 225)1()(zzzf的零点及级数的零点及级数.求求篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统223.零点与极点的关系零点与极点的关系定理定理如果如果0z是是)(zf的的 m 级极点级极点,那末那末0z就是就是)(1zf的的 m 级零点级零点.反过来也成立反过来也成立.证证如果如果0z是是)(zf的的 m 级极点级极点,则有则有)()(1)(0zgzzzfm

17、 )0)(0 zg当当 时时,0zz )(1)()(10zgzzzfm )()(0zhzzm )(0zh.0)(0 zh函数函数在在0z解析且解析且篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统23由于由于,0)(1lim0 zfzz只要令只要令,0)(10 zf 那末那末0z)(1zf的的 m 级零点级零点.就是就是反之如果反之如果 0z)(1zf的的 m 级零点级零点,是是那末那末),()()(10zzzzfm 当当 时时,0zz ),()(1)(0zzzzfm )(1)(zz 解析且解析且0)(0 z 所以所以0z是是)(zf

18、的的 m 级极点级极点.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统24说明说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法简便的方法.例例8 函数函数zsin1有些什么奇点有些什么奇点,如果是极点如果是极点,指出指出它的级它的级.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使0sin z的点的点,这些奇点是这些奇点是.)2,1,0(kkz是孤立奇点是孤立奇点.kzkzzzcos)(sin因因为为的的一一级级零零点点，是是所所以以zkzsin ,0)1(kzsin1的一级极点的一级极点.即即篮球比赛是根

19、据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统25),(1!3!211zzzz 解解 0221!11nnznzzze解析且解析且0)0(所以所以0 z不是二级极点不是二级极点,而是一级极点而是一级极点.0 z是是3sinhzz的几级极点的几级极点?思考思考例例9 问问0 z是是21zez 的二级极点吗的二级极点吗?注意注意:不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统26三、函数在无穷远点的性态三、函数在无穷远点的性态1.定

20、义定义 如果函数如果函数)(zf在无穷远点在无穷远点 z的去心的去心邻域邻域 zR内解析内解析,则称点则称点 为为)(zf的孤的孤立奇点立奇点.Rxyo篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统27令变换令变换:1zt 规定此变换将规定此变换将:tfzf1)(则则映射为映射为 z,0 t扩充扩充 z 平面平面扩充扩充 t 平面平面映射为映射为)(nnzz)0(1 nnntzt映射为映射为 zRRt10 映射为映射为),(t 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系

21、统28结论结论:在去心邻域在去心邻域 zR内对函数内对函数)(zf的研究的研究在去心邻域在去心邻域Rt10 内对函数内对函数)(t 的研究的研究Rt10 因为因为)(t 在去心邻域在去心邻域内是解析的内是解析的,所以所以0 t是是)(t 的孤立奇点的孤立奇点.规定规定:m级奇点或本性奇点级奇点或本性奇点.)(t 的可去奇点、的可去奇点、m级奇点或级奇点或本性奇点本性奇点,如果如果 t=0 是是 z是是)(zf的可去奇点、的可去奇点、那末就称点那末就称点篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统291)不含正幂项不含正幂项;2)含

22、有有限多的正幂项且含有有限多的正幂项且mz为最高正幂为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项;那末那末 z是是)(zf的的 1)可去奇点可去奇点;2)m 级极点级极点;3)本性奇点本性奇点.判别法判别法1(利用洛朗级数的特点利用洛朗级数的特点)2.判别方法判别方法:)(zf zR在在内的洛朗级数中内的洛朗级数中:如果如果篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统30判别法判别法2:(利用极限特点利用极限特点)如果极限如果极限)(limzfn 1)存在且为有限值存在且为有限值;2)无穷大无穷大;3)不存在且不为无穷大不

23、存在且不为无穷大;那末那末 z是是)(zf的的1)可去奇点可去奇点;2)m级极点级极点;3)本性奇点本性奇点.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统31例例10 (1)函数函数1)(zzzf在圆环域在圆环域 z1内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为:nnzzzzzf1)1(111111)(2不含正幂项不含正幂项所以所以 z是是)(zf的可去奇点的可去奇点.(2)函数函数zzzf1)(含有正幂项且含有正幂项且 z 为最高正为最高正幂项幂项,所以所以 z是是)(zf的的 m级极点级极点.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少

24、来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统32(3)函数函数zsin的展开式的展开式:)!12(!5!3sin1253nzzzzzn含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项所以所以 z是是)(zf的本性奇点的本性奇点.课堂练习课堂练习.0,是是本本性性奇奇点点是是一一级级极极点点 zzzezzf1)(的奇点及其的奇点及其类型类型.说出函数说出函数答案答案篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统33例例11 函数函数332)(sin)2)(1()(zzzzf 在扩充复平面内在扩充复平面内有些什么类型的奇点有些什么

25、类型的奇点?如果是极点如果是极点,指出它的级指出它的级.解解 函数函数)(zf除点除点2,1,0 z外外,.,2,1,0cos)(sin处处均均不不为为零零在在因因 zzz所以这些点都是所以这些点都是z sin的一级零点的一级零点,故这些点中除故这些点中除1,-1,2外外,都是都是)(zf的三级极点的三级极点.z内解析内解析.在在篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统34),1)(1(12 zzz因因所以所以.2)(11级级极极点点的的是是与与zf)(lim2zfz那末那末2 z是是)(zf的可去奇点的可去奇点.为为一一级级

26、零零点点，与与以以11 因为因为时时，当当2 z3322)(sin)2)(1(limzzzz ,33 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统35时时，当当 z使使分分母母为为零零，nn1,0 z不是不是)(zf的孤立奇点的孤立奇点.所以所以,sin)21)(1(13232 f因因为为的极点，的极点，为为 11fnn时时，当当 n，0n 的的孤孤立立奇奇点点，不不是是故故 10f篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统36四、小结与思考四、小结与思考 理解孤立

27、奇点的概念及其分类理解孤立奇点的概念及其分类;掌握可去奇掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征点、极点与本性奇点的特征;熟悉零点与极点的熟悉零点与极点的关系关系.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统37.)1(1)(33的孤立奇点的类型的孤立奇点的类型确定函数确定函数 zezzf思考题思考题篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统38,60级零点级零点是分母的是分母的 z思考题答案思考题答案.6)(级极点级极点的的也即是函数也即是函数zf放映结束，按放映结束，

28、按EscEsc退出退出.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统39第二节第二节 留留 数数一、留数的引入二、利用留数求积分三、在无穷远点的留数四、典型例题五、小结与思考篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统40一、留数的引入一、留数的引入01010)()()(czzczzczfnn C0z)(zf设设为为的一个孤立奇点的一个孤立奇点;内的洛朗级数内的洛朗级数:)(zfRzz 00在在 nnzzczzc)()(0010z.的某去心邻域的某去心邻域0zRzz

29、00邻域内包含邻域内包含0z的任一条正向简单闭曲线的任一条正向简单闭曲线篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统4112 ic zzzczzzczcnCnCCd)(d)(d0010 CCnnzzzczzzcd)(d)(1010 Czzfd)(积分积分0(高阶导数公式高阶导数公式)0(柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理)i 2的系数的系数洛朗级数中负幂项洛朗级数中负幂项101)(zzc篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统42zzficCd)(211 即即),

30、(Res0zzf 的留数的留数在在0)(zzf定义定义 记作记作.),(Res0zzf域域内内的的洛洛朗朗级级数数中中负负.)(101的系数的系数幂项幂项 zzc为中心的圆环为中心的圆环在在即即0)(zzf)(0zfz 为函数为函数的一个孤立奇点的一个孤立奇点,则沿则沿Rzzz 000的的某某个个去去心心邻邻域域在在内包含内包含0z的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分 Czzfd)(的值除的值除i 2后所得的数称为后所得的数称为.)(0的留数的留数在在zzf以以如果如果篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的

31、系统43二、利用留数求积分二、利用留数求积分说明说明:内内部部处处处处解解析析；上上及及在在CCzf)(.12.留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求积分转化为求被积函数在被积函数在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.1.留数定理留数定理)(zf在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤nzzz,21外处处解析外处处解析,C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线,那末那末.),(Res2d)(1 nkkCzzfizzf立奇点立奇点函数函数篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类

32、型的系统44证证 nCCCzzfzzfzzfd)(d)(d)(21 zzfCd)(zzfizzfizzfinCCCd)(21d)(21d)(2121 ),(Res),(Res),(Res21nzzfzzfzzf .),(Res1即即可可得得 nkkzzf证毕证毕两边同时除以两边同时除以 且且i 21z2znzDC.如图如图篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统452.留数的计算方法留数的计算方法(1)如果如果0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点,.0),(Res0 zzf则则).()(lim),(Res0000zzfzzzz

33、fzz 如果如果 为为 的一级极点的一级极点,那末那末0z)(zf规则规则1 1成洛朗级数求成洛朗级数求.1 c(2)如果如果0z为为的本性奇点的本性奇点,)(zf(3)如果如果0z为为的极点的极点,则有如下计算规则则有如下计算规则)(zf)(zf展开展开则需将则需将篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统46如果如果 为为 的的 级极点级极点,0z)(zfm).()(ddlim)!1(1),(Res01100zfzzzmzzfmmmzz 规则规则2 2证证 2020)()()(zzczzczfmm )()(010101zzc

34、czzc101010)()()()(mmmmzzczzcczfzz 10100)()(mmzzczzc那末那末篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统47,)!1()()(ddlim10110 cmzfzzzmmmzz10),(Res czzf所所以以+(含有含有 正幂的项正幂的项)0zz 1)!1(cm).()(ddlim)!1(10110zfzzzmmmmzz )()(dd011zfzzzmmm 两边求两边求1 m阶导数阶导数,证毕证毕得得篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分

35、系统是一种得分类型的系统48规则规则3 3 如果如果,0)(,0)(,0)(000 zQzQzP设设,)()()(zQzPzf)(zP及及)(zQ在在0z都解析，都解析，证证0)(,0)(00 zQzQ因因为为0z所所以以的一级零点的一级零点,为为)(zQ)(1zQ0z的一级极点的一级极点.为为那末那末0z为为的一级极点的一级极点,)(zf.)()(),(Res000zQzPzzf 且有且有篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统49解析且解析且0z.0)()(00 zzP 在在因此因此),(1)(10zzzzQ 其中其中 在

36、在 解析且解析且)(z 0z,0)(0 z 0z所以所以为为 的一级极点的一级极点,)(zf)()(lim),(Res000zfzzzzfzz 00)()()(lim0zzzQzQzPzz .)()(00zQzP .)()(1)(0zzPzzzf 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统50三、在无穷远点的留数三、在无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向注意积分路线取顺时针方向1 c1),(Res czf说明说明 Czzfid)(21记作记作 Czzfizfd)(21),(Res1.1.定义定义 设函数设函数)(zf在圆环域在

37、圆环域 zR内解析，内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，的的值值与与无无关关，那那末末积积分分 1d)(21Czzfi则称此定值则称此定值点的留数，点的留数，在在为为)(zf篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统51.1z.2z.kz.证证 nkkzzfzf1),(Res),(Res CCzzfizzfid)(21d)(211.0 由留数定义有由留数定义有:(绕原点的并将绕原点的并将kz内部的正向简单闭曲线内部的正向简单闭曲线)C包含在包含在 2.定理二定理二如果函数

38、如果函数)(zf在扩充复平面内只有有限个在扩充复平面内只有有限个孤立奇点孤立奇点,那末那末在所有各奇点在所有各奇点(包括包括 点点)的留数的总和必等于零的留数的总和必等于零.)(zf证毕证毕篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统52说明说明:由定理得由定理得,),(Res),(Res1 zfzzfnkk nkkCzzfizzf1),(Res2d)(留数定理留数定理).),(Res2 zfi计算积分计算积分计算无穷远点的留数计算无穷远点的留数.zzfCd)(优点优点:使计算积分进一步得到简化使计算积分进一步得到简化.(避免了计

39、算诸有限点处的留数避免了计算诸有限点处的留数)篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统533.在无穷远点处留数的计算在无穷远点处留数的计算规则规则4 4 0,11Res),(Res2zzfzf说明说明:定理二和规则定理二和规则4提供了提供了计算函数沿闭曲线计算函数沿闭曲线 0,11Res2d)(2zzfizzfC积分的又一种方法积分的又一种方法:此法在很多情况下此法更为简单此法在很多情况下此法更为简单.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统54现取正向简单闭

40、曲线现取正向简单闭曲线C为半径足够大的为半径足够大的正向圆周正向圆周:.z,1 z令令,iireez 并并设设,1 r那那末末于是有于是有 Czzfizfd)(21),(Res 20d)(21 iiieefi证证.d12120 iireirefi篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统55 202d)(121 iiirereirefi 12d1121fi.)1(为正向为正向 内除内除在在 1 0 外无其他奇点外无其他奇点.0,11Res2 zzf证毕证毕篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛

41、的计时计分系统是一种得分类型的系统56四、典型例题四、典型例题例例1 求求nzzezf)(在在0 z的留数的留数.解解阶极点，阶极点，的的是是因为因为nzfz)(0 0,Resnzze所所以以.)!1(1 n nznnnzzezzn110ddlim)!1(1篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统57例例2 求求6sin)()()(zzzzQzPzf 在在0 z的留数的留数.分析分析,0)0()0()0(PPP.0)0(P0 z是是zzsin 的三级零点的三级零点由规则由规则3得得.sinddlim)!13(10),(Res6

42、3220 zzzzzzfz的三级极点，的三级极点，是是所以所以)(0zfz 计算较麻烦计算较麻烦.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统58如果利用洛朗展开式求如果利用洛朗展开式求1 c较方便较方便:!5!31sin5366zzzzzzzz.!510,sinRes16 czzz,!5!353 zz解解篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统59说明说明:0z如如 为为 m 级极点，当级极点，当 m 较大而导数又难以计算时较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗

43、级数求可直接展开洛朗级数求1 c来计算留数来计算留数.66550sinddlim)!16(10),(Reszzzzzzfz.!51 2.在应用规则在应用规则2时时,取得比实际的级数高取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便级数高反而使计算方便.:6 m 1.在实际计算中应灵活运用计算规则在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般不要将为了计算方便一般不要将m但有时把但有时把m取得比实际的取得比实际的如上例取如上例取篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统60例例3 求求51)(zezfz 在在0 z的留数的留数.解解 0

44、 z是是)(zf的四级极点的四级极点.1!6!5!4!3!21116543255zzzzzzzzez,!6!51!41!31!211234 zzzzz10),(Res czf所所以以.241!41 在在 z0内将内将展成洛朗级数展成洛朗级数:)(zf篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统61例例4 计算积分计算积分,d)1(2zzzeCz C为正向圆周为正向圆周:.2 z解解zzzezzfzzd)1(lim0),(Res20 ,)1(lim20 zezz 221)1()1(ddlim)!12(11),(Reszzezzzfz

45、z0 z为一级极点为一级极点,1 z为二级极点为二级极点,篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统62 zezzzddlim121)1(limzzezz ,0 zzzeCzd)1(2 所以所以)01(2 i 1),(Res0),(Res2zfzfi .2 i 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统63例例5 计算积分计算积分 Czzz,d14C为正向圆周为正向圆周:.2 z函数函数14 zz在在2 z的外部的外部,除除 点外没有点外没有其他奇点其他奇点.Cz

46、zzd14 0,11Res22zzfi ),(Res2zfi 0,1Res24zzi.0 解解 根据定理根据定理 2与规则与规则4:篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统64与以下解法作比较与以下解法作比较:被积函数被积函数14 zz有四个一级极点有四个一级极点i ,1都都在圆周在圆周2 z的内部的内部,所以所以 Czzzd14 1),(Res1),(Res2 zfzfi),(Res),(Resizfizf 由规则由规则3,414)()(23zzzzQzP 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮

47、球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统65 Czzzd14.0414141412 i可见可见,利用无穷远点的留数更简单利用无穷远点的留数更简单.例例6 计算积分计算积分 Czzizz,)3)(1()(d10C为正向圆周为正向圆周:.2 z解解 除除)3)(1()(1)(10 zzizzf被积函数被积函数点外点外,其他奇点为其他奇点为.3,1,i 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统66由于由于i 与与 1在在C的内部的内部,Czzizz)3)(1()(d101),(Res),(Res2zfizfi ),(Res3),(R

48、es2 zfzfi 0)3(21210ii则则),(Resizf),(Res zf所以所以1),(Reszf 3),(Reszf.0.)3(10ii 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统67五、小结与思考五、小结与思考 本节我们学习了留数的概念、计算以及留数本节我们学习了留数的概念、计算以及留数定理定理.应重点掌握计算留数的一般方法应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极尤其是极点处留数的求法点处留数的求法,并会应用留数定理计算闭路复并会应用留数定理计算闭路复积分积分.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负

49、的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统68.2:,d)1(sin22正正向向计计算算 zCzzzzC思考题思考题篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统69思考题答案思考题答案.1sin2放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统70 一、形如 的积分 20d)sin,(cos R 二、形如 的积分xxR d)(三、形如 的积分)0(d)(axexRaix第三节第三节 留数在定积分计算上的应用留数在定积

50、分计算上的应用四、小结与思考篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统71一一、形如、形如 的积分的积分 20d)sin,(cos R思想方法思想方法:封闭路线的积分封闭路线的积分.两个重要工作两个重要工作:1)积分区域的转化积分区域的转化2)被积函数的转化被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条把定积分化为一个复变函数沿某条篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统72形如形如 iez 令令 ddiiez ,ddizz )(21sin iieei ,212i

51、zz )(21cos iiee ,212zz 当当 历经变程历经变程2,0时时,20d)sin,(cos R1 z的的正方向绕行一周正方向绕行一周.z 沿单位圆周沿单位圆周篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统73 d)sin,(cos20 RizzizzzzRzd21,21122 zzfzd)(1 z的有理函数的有理函数,且在且在单位圆周上分母不单位圆周上分母不为零为零,满足留数定满足留数定理的条件理的条件.包围在单位圆周包围在单位圆周内的诸孤立奇点内的诸孤立奇点.),(Res21 nkkzzfi篮球比赛是根据运动队在规定

52、的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统74例例1 计算积分计算积分)0(dcossin202 baba 解解,iez 令令则则,21sin2ziz ,21cos2zz ,dd iiez izzzzbazzbazd2114)1(dcossin21222202 12222d)2(2)1(zzbazbzizz篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统75222222bbaba ).(2222baab 122222222d)1(zbbaazbbaazbizzz bbaazfzfi)(),(Re

53、s0),(Res222篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统76例例2 计算计算).0(sind02 axax解解 00222cos1dsindxaxxax 022cos12d21xax,2tx 令令 202cos1d21tatizzzzazd22)1(112112 .1)12(2d212 zzazzi篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统771)12(1221 aaz极点为极点为:02sindxax所所以以.1)12(22 a(在单位圆内在单位圆内)1)

54、12(1222 aaz(在单位圆外在单位圆外).11212(),(Res222 aazfii篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统78例例3 .)10(dcos21cos2202的的值值计计算算 pppI 解解,10 p由由于于)cos1(2)1(cos2122 pppp内内不不为为零零，在在20 故积分有意义故积分有意义.)(212cos22 iiee 由由于于),(2122 zzizzpzzpzzIzd2211221122 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分

55、类型的系统79izzpzzpzzIzd2211221122 zpzpzizzzd)(1(21124 ,1,0ppz 被被积积函函数数的的三三个个极极点点内内，在在圆圆周周1,0 zpz为一级极点，为一级极点，为二级极点，为二级极点，且且pzz 0.d)(1zzfz 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统80上上被被积积函函数数无无奇奇点点，所所以以在在圆圆周周1 z )(1(21ddlim0),(Res2420pzpzizzzzzfz222243220)(2)21)(1(4)(limzpppzzippzzzzpppzzz ,

56、2122ipp 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统81,)1(21224pipp )(1(21)(lim),(Res24pzpzizzpzpzfpz )1(2121222222pippippiI.1222pp 因此因此篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统82xxR d)(若有理函数若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次的分母至少比分子高两次,并且并且分母在实轴上无孤立奇点分母在实轴上无孤立奇点.一般设一般设2,)(1111 nmbzbzazazz

57、Rmmmnnn分析分析可先讨论可先讨论,d)(RRxxR最后令最后令 R即可即可.二、形如二、形如 的积分的积分篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统832.积分区域的转化积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间使与区间一起构成一条封闭曲线一起构成一条封闭曲线,并使并使R(z)在其内部除有在其内部除有限孤立奇点外处处解析限孤立奇点外处处解析.(此法常称为此法常称为“围道积分法围道积分法”)1.被积函数的转化被积函数的转化:(当当z在实轴上的区间内变动时在实轴上的区间内变动时,

58、R(z)=R(x)RRxxRd)(Czzfd)(可可取取 f(z)=R(z).篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统84xy0R.R.这里可补线这里可补线RC(以原点为中心以原点为中心,R为半径为半径的在上半平面的半圆周的在上半平面的半圆周)RC与与 RR,一起构成封闭曲线一起构成封闭曲线C,R(z)在在C及其及其内部内部(除去有限孤立奇点）处处解析除去有限孤立奇点）处处解析.取取R适当大适当大,使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点kz都包在这积分路线内都包在这积分路线内.RC篮球比赛是根据运动队在规

59、定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统85根据留数定理得根据留数定理得:RCkRRzzRizzRxxR,),(Res2d)(d)(mmnnnmzbzbzazazzR 1111111)(mmnnnmzbzbzazaz 1111111当当 充分大时充分大时,总可使总可使z,10111 nnzaza,10111 mmzbzb篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统86，因因为为2 nmmmnnnmzbzbzazazzR 1111111)(所所以以22z szRzzRRRCCd)(d)(R

60、R 22,2R ),(Res2d)(kzzRizzR所所以以;0d)(:RCzzRR,d)(zzR RRzzRd)(篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统87例例4 计算积分计算积分),0,0()()(d22222bababxaxx )()(1)(22222bzazzR aizbzaiz )()(1222解解 在上半平面有二级极点在上半平面有二级极点,aiz .biz 一级极点一级极点,)(21222babi ),(ResaizR篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得

61、分类型的系统88bizbizaz )()(1222,)(43222322abiaab ),(Res),(Res2aizRbizRi .)(2)2(23bababa 222222322)(21)(432abbiabiaabi),(ResbizR )()(d22222bxaxx所所以以篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统89xy0R.R.)0(d)(axexRaix积分存在要求积分存在要求:R(x)是是x的有理函数而分母的次的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次数至少比分子的次数高一次,并且并且R(z)在实轴上在实轴上无

62、孤立奇点无孤立奇点.RC与与 RR,曲线曲线C,使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点kz包在这积分路线内包在这积分路线内.同前一型同前一型:补线补线RC一起构成封闭一起构成封闭都都三、形如三、形如 的积分的积分RC篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统90sezRzezRaizCCaizRRd)(d)(seRRCiyxaid2)(对于充分大的对于充分大的 ,且且 时时,有有z1 nmzzR2)(sin,cosRyRx 令令zsdd )(Red i.d R)sin(cos iRz 则则0 seRRCiy

63、xaid2)(seeRayCaxiRd2 d20sin aRe篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统91).1(2aReaR ,d420)2(aRe d420sin aRe d420sin aRe oy2 y sin y2 R0从而从而.0)1(2d)(aRCaizeaRzezRR.0d)(zezRaizCR篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统92zezRxexRaizCRRaixRd)(d)(,)(Res2kaizzezRi由留数定理由留数定理:R ,

64、)(Res2d)(kaizaixzezRixexRaxiaxeiaxsincos xaxxRixaxxRdsin)(dcos)(.,)(Res2 kaizzezRi篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统93例例5 计算积分计算积分 .0,0,d)(sin0222 amxaxmxx解解 xaxmxxxaxmxxd)(sin21d)(sin222022 xeaxximxd)(Im21222在上半平面只有二级极点在上半平面只有二级极点22 2(),()imzzf zeza,aiz 又又篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少

65、来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统94xeaxximxd)(222 则则aizimzeaizzzaizf 2)(dd),(Res,4maeam ),(Res2Im21aizfi .4maeam aieazziimz,)(Res2222xaxmxxd)(sin0222 所以所以注意注意 以上两型积分中被积函数中的以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点.篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统95.dsin21dsin0 xxxxxx 例例6 计算积分计算积分.dsin0

66、 xxx 分析分析 所所以以是是偶偶函函数数,sinxxzzsin 某封闭曲线某封闭曲线 ,因因zzsin在实轴上有一级极点在实轴上有一级极点,0 z应使封闭路应使封闭路线不经过奇点线不经过奇点,所以可取图示路线所以可取图示路线:篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统96xyoRCrCrRr R 解解,0dddd xxezzexxezzeRrixCizrRixCizrR封闭曲线封闭曲线C:RrCrRCrR,由柯西由柯西-古萨定理得古萨定理得:ttexxerRitrRixdd ,dxxeRrix ，令令tx ,2sinieexixix 由由篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统97,0dddsin2 rRCizCizRrzzezzexxxi知知szezzeRRCizCizdd seRRCyd1 0sin deR d220sin Re d220)2(Re),1(ReR R于于是是0d zzeRCiz充分小时，充分小时，当当r篮球比赛是根据运动队在规定的