行列式解法及应用

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1、行列式的解法技巧及应用引言行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经 是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨发明的。同时代的日本数 学家关孝和在其著作解伏题元法中也提出了行列式的概念与算法。1750 年，瑞士数学家克拉默(1704-1752) 在其著作线性代数分析导引 中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在 我们所称的解线性方程组的克拉默法则。稍后，数学家贝祖 (1730-1783) 将 确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何 判断一个齐次线性方程组有非零解。行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重

2、要地位使我们有必要 对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧和它的简单应用进行总 结归纳。作为行列式本身而言，我们可以发现它的两个基本特征：当行列式是一个 三角形行列式时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式 便是行列式计算的一个基本思想；行列式的另一特征便是它的递归性，即一个 行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内 部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用，而 其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行(列)法、因式分解法等可 以看成是它们衍生出的具体方法。同时行列式的应用早已超出了代数的范围， 成为解析几何，数

3、学分析，概率统计等数学分支的基本工具。1 行列式的定义和性质1.1 行列式定义定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的 和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数,符号为正，逆 序数为奇数，符号为负。例1计算行列式D =nn 1 0 解：D不为零的项一般表示为an1aIn 一 12 n2 aan 11 nn(n_)( n2)=n!,故 D = (1)2n!.1.2 行列式的性质按照行列式的值可分为以下几类：性质 1 行列式值为 01）如果行列式有两行（列）相同，则行列式值为 0;2）如果行列式有两行（列）成比例，则行列式值为 0;3）行列式中有一行（列

4、）为 0，则行列式的值为 0。性质 2 行列式值不变1）把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式值不变, 即a a11 12a1na11a12a1naai1i 2a akl k 2ainakna + caiikiak1a + cai2k2ak2a + cain knakn6）aan1n 2annan1an2nn其中c G R。2）行列互换，行列式值不变, 即aa aaa11121n1121aa aaa21222 n二 1222aa aaan1n2nn1n2nan1an2ann7）3）如果行列式的某一行（列）是两组数的和，那么它就等于两个行列式的和,这两个行列式除这一行（列）外其余与原来行列式

5、对应相同,即aa11 12a1na a11 12a1na a11 12a1n8）aan 1n 2anna an1n 2a a annn1n 2annb + c b + c112 2性质 3 行列式的值改变 一行（列）的公因子可以提出去，或者说用一数乘以行列式的一行（列）就等于用该数乘以此行列式a11kai1a12kai2a1nkain=ka11a订a12ai2.a1n ain(9)an1an2annan1an2 ann性质 4 行列式反号对换行列式两行（列）的位置，行列式反号a11a.12a1na11a12 a1nai1ai2ainak1ak2 akn（ 10 ）ak1ak2aknai1ai2

6、 ainan1a.n2annan1an2 ann0aa 一a0aa a12131n12131na0a aa0a a12232n12232naa0 一a=(-1)naa0 a1323:3n1323:3naaa 0aaa 01n2n3n1n2n3n由行列式的性质|A| = A,n当n为奇数时，得DD= nDn，因而得Dn= 0-=(-11D .n例2 一个n阶行列式D =na ij对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.的兀素满足a = a , i, j = 1,2,n,则称反ijji证明：由a = a知ijjia = a，即a = 0, i = 1,2,n .故行列式可表示为 iiiiiiD=(n-

7、1)a+xx-a0=(n-1)a+x(x-a)n-1 ,2 求解行列式的技巧2.1 定义法当行列式中含零元较多时，定义法可行。例 3 计算 n 级行列式D=解：按定义，易见j =1, 2,，j =n，或j =2,1n1得 D= an + (1)n-1 bn+1j2 =3， ， j=n，n-1j =1.n2.2 三角形行列式法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算 的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定 义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形 行列式计算。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保

8、 值变形，再将其化为三角形行列式。例 4：浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第 2 小题 （重庆大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1小题）的解答 中需要计算如下行列式的值：123n 一 1n234 n1D =34512n:n12n 一 2n 一 1分析显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行 列式的性质。注意到从第 1 列开始；每一列与它一列中有 n-1 个数是差 1 的， 根据行列式的性质，先从第 n-1 列开始乘以1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以1 加到第n-1列，一直到第一列乘以一1加到第2列。然后把第1行乘以一1加到

9、各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。解：1 + + n(i = 2,.,n) i1r + r n1 n 12n 2n 10000n00n00n00n(n + 1)00n00nn 0000011111111 1121111 一 n1000一 nD = 3111n1(i = 2,.,n)200n0n:r = r:n1n111n 一 1n0001 n(n +1) /、/(n1)(n2)(_n)n1 (1)2 n2(n +1)2 nn1 (-1)n (n1)22.3 析因法如果行列式D中有一些元素是变数x (或某个参变数)的多项式，那么可 以将行列式D当作一个多项式f(x),然后对行列式施

10、行某些变换，求出f(x)的 互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子C,根 据多项式相等的定义，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C值，便可求得 D=Cg(x) 。那在什么情况下才能用呢？要看行列式中的两行(其中含变数x),若x等 于某一数a时，使得两行相同，根据行列式的性质，可使得D=0。那么x - a11便是一个一次因式，再找其他的互异数使得D=0，即得到与D阶数相同的互素 一次因式，那么便可用此法。例5：兰州大学 2004 招收攻读硕士研究生考试工试题第四大题第(1)小题 需求如下行列式的值。xaa a12naxa a12nD =:n+1aaa a1

11、23naaa x123分析根据该行列式的特点，当x = a . i = 1,2,n时，有D = 0。但in+1大家认真看一下，该行列式Dn+是一个n+1次多项式，而这时我们只找出了 n 个一次因式x-a . i二1,2,n，那么能否用析因法呢？我们再仔细看一下，每i行的元素的和数都是一样的，为： a + x，那么我们从第2列开始到第n+1ii=1列都加到第1列，现提出公因式yi=1 而再考虑析因法。a + x，这样行列式的次数就降了一次i解：/Ur*Ha+xaa ai12ni=1乞a+xxa ai2ni=1D .:n+1Ha+xaa ai23ni=1H a+xaa xi23i=11aa - a

12、112nxa - a= ( Hn ai+ x):2ni=11aa - a123naa - x23令：D =n+1anananx显然当：x 二 a. i 二 1,2,n 时，D = 0 8。in+1又D 为n次多项式。n +1设D ，= C(x-a )(x-a ) (x-a )n +112n又D 中x的最咼次项为xn，系数为1, . C=1 n+1D = (x-a )(x-a ) (x-a )n +112n因此得：D =（工 a + x） D n +1in +1i=1=（工a + x）（x-a ）（x-a ）（x-a ）i12ni=12. 4 连加法若行列式中某加上其余各列（行），使该列（行）元

13、素均相等或出现较多零，从而简化行列式计算的方法称为连加法。xaa aaxa a例6D = aax aaaa x解：它的特点是各列元素之和为（n-1） a+x，因此把各行都加到第一行，然而第一行再提出（ n-1 ） a+x ,得111 1axa aD二(n-l)a+x aax aaaa x将第一行乘以（-a）分别加到其余各行，化为三角形行列式，则111 10x-a0 0D二(n-l)a+x00x -a 0=(n-l)a+x(x-a)n-10a0 x 一 a25按行按列展开（降阶法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地 是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加

14、简便，往往是根据行 列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展 开。a000a0例7计算行列式D =n00a0001000 10 00 0a 00 a解： 按第 1行展开：a0000a000a0000a 0D = a 00a 0+ (1)n+!n000a000a1000=an + (-1)n + *-1)nan - 2 = an - an - 2 = an - an - 22. 6 递推法应用行列式的性质，把一个 n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列 式(比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等)的线性关系式，这种关系式称为递推 关系式。根据递推关系式及某个低阶初始

15、行列式(比如二阶或一阶行列式)的 值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。例8，2003 年福州大学研究生入学考试试题第二大题第 10小题要证如下行 列式等式：a + P ap1 a + PD = 01n000 0 0aP 00a +P 000 1 a +P证明：d丿n+1靑n+1,其中apn a - P分析此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外， 其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式1。从行列式的左上方往 右下方看，即知D与D具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。n-1 n证明：D按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按

16、第一行展 n开有：D =(a+p) D apDnn1n 2这是由D 和D表示D的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐 n-1n-2n阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由 n-1 阶和 n-2 阶行列 式表示 n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为：D a D =p D ap D =p( D a Dnn1n1n2n1n2或 D pD =aD apD =( D pDnn1n1n2n1n2现可反复用低阶代替高阶，有：D -aD=P（D -aD）=卩2（D -aD ）=卩3（D -aD ）nn1n1n2n2n3n3n4=.=卩n_2（D aD）二卩n-2（a + P）2_a卩-a（a

17、+ 卩）=卩n（1）21同样有：D-P D =a（D -P D ） =a2（ D -P D ） =a3（ D -P D ）nn-1n-1n-2n-2n-3n-3n-4an_2（DPD） _an-2 （a + P ）2 aP P （a + P） = a n（2）21因此当a h P时由(1)(2)式可解得： Dna n+1 P n+1aP2. 7 数学归纳法一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜 想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列 式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。例9 证明：2cos 910.0012cos 9

18、1.000 D =.12cos 9.00=sin（n +19（sin 9h 0）n:sin 9000. 2cos 91000.12cos 9证：当n = 1,2时，有:sin(l+1)9sin 912cos 9D = 2cos 9 = 尸1=4cos2 9一 1 = sin(2 +1刃sin92cos 9结论显然成立。现假定结论对小于等于n -1时成立。即有：Dn-2sin( n - 2 +1)9sin 9n-1sin( n -1 +1)9sin 92cos 91 0012cos 9 00D =:00 2cos 9100 12cos 9=2cos9 -=2cos9 -D -Dn-1n- 2si

19、n(n -1 +1)9sin(n - 2 +1)9sin 9sin 9将 D 按第 1 列展开，得： n2cos 9 - sin n9 - sin(n -1)9 si2cos 900012cos 90000 2cos 910012cos 9(n-1)(n-1)2cos 9 - sin n9 - sin n9 - cos9 + cos n9 - sin9 smsin n9 - cos9 + cos n9 - sin9 sisin(n +1)9故当对n时，等式也成立。得证。2. 8 加边法（升阶法）有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当

20、然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和 列。加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元 素分别为n-1个元素的倍数的情况。加边法的一般做法是：1a. a10 0a a01nii1na.aa aa a111n111nD = 212 n=0a a=a an212 n2212 na an1nn0a aba an1nnnn1nn特殊情况取a1=a =2=an=1 或 b1 =b2=bn=1例 10、计算 n 阶行列式：D =nx 2 + 11x x1 2xx12x 2 + 12x x1 2xx1 2x xxxx 2 +

21、 11 212n分析 我们先把主对角线的数都减 1，这样我们就可明显地看出第一行为x与x,x,，x相乘，第二行为x与x,x,，x相乘，第n行为x与112n212nnx,x,，x相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子x,x,，x，从12n12n而就可考虑此法。解：D=n1xxx1xx x12n12n0x2 +1x x x xx10 001xx12x 2 + 1 1 2(ix x=1,n)1x01 0:2122 n r +xr.21i1:0xxx x x 2 + 1x00 1n1n2nnn+11+工x2ic + xc1i i + 1(i = 1,n)2. 9 拆项法i=10=1 + 工 x 2

22、ii=1n +1由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值 再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则 该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之 一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列） 相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值。例 11 、南开大学 2004 年研究生入学考试题第 1 大题，要求下列行列式的 值：设 n 阶行列式：aa1112aa2122a1na2na an1 n 2ann且满足a =-a ,i, j = 1,2,n,对任意数b,

23、求n阶行列式 ijjia + b11a + b21a + b12a + b22a + b1na + b2 na + bn1a + b n2a + bnn分析该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是b，显然用拆行列）法。a + ba+ b a+ baa + ba+ bba +b11121n11 121n12a + ba+ b a+ baa + ba+ bba +bD =n2122:2n:=21 222n:+:22a + ba+ b a+ ba a + ba+ bba +bn1n2nnn1n 2nnn2aaa + bab-a + b1aa11121n111n121naaa + ba

24、b-a + b1aa=21222 n+21:2 n.+ b:222 naaa + bab-a + b1aan1n2nnn1nnn2nn解：a + b1na + b2na + bnna11a21a12a22an1an2111a1na2nann+ + b=1 + b 工 A2ii=11ii =1A ij i , j =1又令A=a11a21a12a22a1na2n且a = -a ,ijjian1an2ann有:|A = 1,且A = -Aa12a22a1na2nan2anni, j = 1,2,nA *由A-1=得：A| A-1 = A* 即A* - A=E:.A*=At又(A*) = (A-i)

25、 = (A)-i = -(A)-i = - A* A*也为反对称矩阵又A (i, j = 1,2,n)为A*的元素 ij有 A = 0iji=1, j=1从而知：D = 1 + b A = 1niji=1, j=12.10 拉普拉斯法拉普拉斯定理的四种特殊情形：A01)nnCB=A 卜 lB 1nnmmmnmm0A3)nn =(-1)mn A - BBmmCmnnnmm例 12 计算 n 阶行列式：AC=lA -nn2)nnnmB0BmmmmCA(-1)mn |A - Bnnmm4 )nmBmmnn =0nDnaaPa a a卩卩卩 a PPappp方m利用拉普拉斯定理aaa -ax x BB

26、BB xx00000xB(n1)aaaax + (n 2)BBB B0xB0 000xB 0000 a B0九b00九b00C + C2 i(i = 3,n)D (i = 2, n 1) n 九一九2(n 1)ax + (n 2) B2x2ex B(n2)x(n2)=九a + 九(n 2) B ab(n 1) - (x B) n - 22.11 利用范德蒙行列式法范德蒙行列式：1111xxxXi23nx 2x2x2X 2123nXn 1xn1xn1Xn 1123nn1 j i n( x x )ij例 13 计算 n 阶行列式 9(a n + 1)n1(a n + 1)n2(a n + 2) n

27、1 (a 1)n1(a n + 2)n2 (a 1)n2an 一 1an-2a 11(a n + 1)n-1(a n + 1)n - 2(a n + 2) n1 (a 1)n1(a n + 2)n2 (a 1)n2an-1an-2a 11解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第 n 行与第 n-1 行对换，这样，共经过（n-1） +n-2) +2+1=n(n-1)/2 次行对换后，得到1

28、1 11a n +1a n + 2a 1a(a n + 1)n-2(a n + 2) n-2(a 1)n2an - 2(a n + 1)n-1(a n + 2) n-1( a 1) n 1an-1n (n1)D = (1) 2n上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得|XE - AB| =九 nmnmn (n-1) fn (n-1) 1 ID = (1) 2 11 (a n + i) (a n + j) = (1) 211 (i j)n1 j i n1 j i b c 0 , 求证 b3a + c3b + a3c b c 0 ,则D 0,命题得证.例3.3 行列式在解析几何

29、中的几个应用3.3.1 用行列式表示公式(1)用行列式表示三角形面积以平面内三点P(x , y ), Q(x , y ), R(x , y )为顶点的APQR的面积S是112233y1y2(3)y3的绝对值.证明将平面P(x ,y ), Q(x ,y ), R(x ,y )三点扩充到三维空间，其坐标分112233别为(x , y ,k),(x, y ,k),(x, y ,k),其中k为任意常数.由此可得:112233PQ = (x2 - x1, y2 - y1,0)，PR = (x 一 x , y 一 y ,0)3131PQ x PR = (0, 0,x 一 x21x 一 x31y 一 y21

30、y 一 y31APQR面积为S = 1 P|PR|sin PQ,PRX PR| =1x x21x x31y 一 y21y 一 y311 x 一 x212 x 一 x31y2 一 y1y3 一y1x1 1x 一 x2 21x 一 x31y1y2 一 y1y3 一y1y1 y2 y32)用行列式表示直线方程直线方程通过两点P(x , y )和Q(x , y )的直线pq的方程为1 1 2 2x1x2xy1y2y4)证明由两点式，我们得直线PQ的方程为x - xy - yc n2 2x -xy -y1 2 1 2将上式展开并化简， 得xy - xy - x y + x y - x y + x y = 0此式可进一步变形为y1x1xyi1-y11+11yxxy2222此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证.