1.2.1函数的概念

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1、1.2.1 函数的概念函数的概念 一、复习回顾一、复习回顾问题问题:初中我们学过哪些函数？初中我们学过哪些函数？问题问题:什么叫做函数？什么叫做函数？正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等简单的函数。等简单的函数。初中对函数的定义初中对函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量设在一个变化过程中有两个变量x和和y，如果对于，如果对于x的每一个值的每一个值y都有唯一的值与它对应，那么说都有唯一的值与它对应，那么说y是是x的函数，的函数，x叫做自变量。叫做自变量。一枚炮弹发射后一枚炮弹发射后，经过经过26s落到地面落到地面击中目标击中目标.炮弹的射高为

2、炮弹的射高为845m,且炮弹距且炮弹距地面的高度地面的高度h(单位单位:m)随时间随时间 t(单位单位:s)变化的规律是变化的规律是h=130t-5t2.二、课本的实例二、课本的实例时间时间t的变化范围是数集的变化范围是数集A=t|0t26,高度高度h的变化范围是数集的变化范围是数集B=h|0h845 对于数集对于数集A中的中的任意一个时刻任意一个时刻t,按照对应关系按照对应关系h=130t-5t2,在在数集数集B中都有中都有惟一的高度惟一的高度h和它对应和它对应实例分析实例分析1 20011979 ttA 260 SSB05101525203026S/106km2t/年年1979 8183

3、85 87 8991939597 99 2001 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从空洞的面积从1979197920012001年的变化情况年的变化情况.实例分析实例分析2 2二、课本的实例二、课本的实例时间时间t t的变化范围是数集的变化范围是数集A=t|1979t2001 A=t|1979t2001 面积面积S S的变化范围是数集的变化范围是数集B=S|0S26B=S|0S26 对于数集对于数集A中的中的每一个时刻每一个时刻t,按照按照图中的曲线图中的曲线,在数集在数集B中都中都有有惟一确定的臭氧层空洞面积惟一确定的臭氧层空洞面积S和它对应和它对应

4、.“八五八五”计划以来我国城镇居民计划以来我国城镇居民 恩格尔系数变化情况恩格尔系数变化情况199252.91993199919981997199619951994200050.1 49.948.649.946.4 44.5 41.9 39.21991200153.837.9时时 间间(年年)恩格尔恩格尔系数系数(%)仿照实例仿照实例(1)(2)(1)(2)，试描述上表中，试描述上表中恩格尔系数和时间恩格尔系数和时间(年年)的关系的关系.A=1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001B=53.8,52.9,50.1,49.9,4

5、8.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9实例分析实例分析3 3时间构成一个数集时间构成一个数集A,恩格尔系数构成一个数集恩格尔系数构成一个数集B.对于数集对于数集A中的中的每一个时刻每一个时刻t,按照按照表中的对应值表中的对应值,在数集在数集B中中都有都有惟一确定的恩格尔系数惟一确定的恩格尔系数和它对应和它对应.二、课本的实例二、课本的实例以上三个实例有什么共同点？以上三个实例有什么共同点？(2)(2)两个数集间都有一种确定的对应关系；两个数集间都有一种确定的对应关系；按照某种按照某种对应关系对应关系(3)(3)对于数集对于数集A中的中的任意一个数任意一个数，数集，数集B中中

6、都有都有唯一确定唯一确定的数和它对应的数和它对应.(1)(1)都有两个都有两个非空数集非空数集A，B；记作：记作：.:BAf 你能用集合与对应的语言你能用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数来刻画函数，抽象概括出函数的概念吗？的概念吗？不同点不同点实例（实例（1）是用）是用解析式解析式刻画变量之间的对应关系，刻画变量之间的对应关系，实例（实例（2）是用）是用图象图象刻画变量之间的对应关系，刻画变量之间的对应关系，实例（实例（3）是用）是用表格表格刻画变量之间的对应关系刻画变量之间的对应关系.共同点共同点（1）都有两个）都有两个非空数集非空数集（2）两个数集之间都有一种确定的）两个数集之间

7、都有一种确定的对应关系对应关系 对于数集对于数集A中的中的每一个每一个x,按照某种按照某种对应关系对应关系f,在数集在数集B中都中都有有惟一惟一确定的确定的y和它对应和它对应,记作记作 f:AB.二、课本的实例二、课本的实例三 函数的概念 设设A,B是非空的数集，如果按照某种是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系确定的对应关系f，使对于集合使对于集合A中的任意中的任意一个数一个数,在集合在集合B中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称和它对应，那么就称 为从集合为从集合A到集合到集合B的一个函数的一个函数.记作记作 .BAf:Axxfy ),(其中其中,x叫做叫做自变量

8、自变量,x的取值范围的取值范围A叫做叫做函数的函数的定义域定义域.Axxf)(与与x的值对应的的值对应的y值叫做值叫做函数函数值值,函数值的集合函数值的集合 叫做函数的叫做函数的值域值域.函数的定义：设A、B是两个非空数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它相对应，那么就称f:A 三、函数的概念三、函数的概念：是非空数集注意唯一确定值域与集合值域与集合的关系怎样？的关系怎样？函数的三要素：函数的三要素：定义域、对应法则、三要素定义域、对应法则、三要素注意：1.“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，是函数符号，可以用任意的

9、字母表示，“y=g(x)”；4.集合集合B不一定是函数的值域，函数的值域是不一定是函数的值域，函数的值域是B的子集。的子集。2.函数符号函数符号“y=f(x)”中的中的f(x)表示与表示与x对应的函数值，一个对应的函数值，一个数，而不是数，而不是f乘乘x3.构成函数的三要素：定义域（集合构成函数的三要素：定义域（集合A）、值域、对应法）、值域、对应法则（判断是否为同一函数只要看则（判断是否为同一函数只要看定义域、对应法则定义域、对应法则是否是否完全相同）。完全相同）。是函数吗？是函数吗？)R(1.1 xy是函数吗？是函数吗？)0(.2 xxy是函数吗？是函数吗？xxy 13.3)()(图图象象

10、的的是是的的数数下下列列图图象象中中不不能能作作为为函函xfy BxyoxyoxyoxyoBACD三、函数的概念三、函数的概念判断下列对应能否表示判断下列对应能否表示y是是x的函数的函数（1）y=|x|（2）|y|=x （3）y=x2（4）y2=x （5）y2+x2=1 （6）y2-x2=1判断下列图象能表示函数图象的是（判断下列图象能表示函数图象的是（）1.1.本节课探讨了用集合与对应的语言描述本节课探讨了用集合与对应的语言描述 函数的概念，并引入了函数符号函数的概念，并引入了函数符号y=f(x).).2.2.突出了函数概念的本质：两个非数集间突出了函数概念的本质：两个非数集间 的一种确定的

11、对应关系的一种确定的对应关系.3.3.明确了函数的三个构成要素：定义域、明确了函数的三个构成要素：定义域、对应关系和值域对应关系和值域.今天您收获了什么？求下列函数的定义域和值域)0(,)(.1kxkxf)0(,)(.2abaxxf)0(,)(.32acbxaxxf|0 xRxx且定义域是定义域是值域是值域是定义域是定义域是值域是值域是|0yRyy且|Rxx|Ryy（3）二次函数）二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a 0)的的定义域为定义域为R，值域为，值域为B,;4402 abacyyBa时时，当当.4402abacyyBa时，当二次函数二次函数一次函数一次函数反比例反比例 函数函数正比

12、例正比例 函数函数值域值域定义域定义域对应法则对应法则函数函数)0(kkxy20()y axbx c a)0(kxky0()ykxb kRRRRR0|xx0|yy22404404|acbay yaacbay ya时时时时三、函数的概念三、函数的概念例1：已知函数（1）求函数的定义域；（2）求 的值；（3）213)(xxxf)32(),3(ff 的值。时，求当)1(),(0afafa解：（1）使根式所以，这个函数的定义域就是使分式的集合是有意义的实数,3|3xxxx2|21xxxx的集合是有意义的实数23|2|3|xxxxxxx且1(2)(3)331;32f .1122)1(131)1(;213

13、)(.)1(),(,0)3(aaaafaaafafafa有意义所以因为221113311()3.233388323f小结几类函数的定义域小结几类函数的定义域：（1）如果）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集是整式，那么函数的定义域是实数集R.（2）如果）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零 的实数的集合的实数的集合.（3）如果）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合的式子大于或等于零的实数的集合.（5）如果）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那

14、么函数定是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的（即求各集合的交集）交集）（6）满足实际问题有意义）满足实际问题有意义（4）如果求）如果求 ，那么，那么函数的定义域是使函数的定义域是使 f(x)不不等于等于0的实数的集合的实数的集合.0()f x试用区间表示下列实数集合试用区间表示下列实数集合（1）x|5 x6 （2）x|x 9（3）x|x -1 x|-5 x2)6,5),9(,1 5,2)5,1 设设a,b是两个实数是两个实数,而且而且ab,我们我们规定规定：(1)满足不等式满足不等式axb的的实数实数x

15、的集合叫做的集合叫做闭区间闭区间,表示为表示为 a,b(2)满足不等式满足不等式axb的实数的实数x的集合叫做的集合叫做开区间开区间,表示为表示为 (a,b)(1)满足不等式满足不等式axb或或aa,xb,xb的实数的集合分别表示为的实数的集合分别表示为a,+)、(a,+)、(-,b、(-,b).四、区间的概念四、区间的概念连续数集连续数集 区间概念 设a,b是两个实数，而且ab,规定：（1）满足不等式a （2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间,表示为（a,b）；（3）满足不等式a a与b分别叫做相应区间的左端点，右端点.xabxabxabbax(a,ba,b)(a,b)a,b半开闭区

16、间半开闭区间开区间闭区间数轴表示符号名称定义x|ax x|a x|axb x|a 实数集R可以用区间表示为（-练习练习()把下列集合用区间表示出来把下列集合用区间表示出来:1、x|2x32、x|x23、x|2x3 x|5x94、x|x05、x|2x3(2)把下列区间用集合表示出来：把下列区间用集合表示出来：(1,5)2,3.4)(-,0(-,1(3,7)|23.4xx|15xx|0 x x(2,3)(-,2)(2,3)或（5，9）(-，0)或(0，+)2,3)|1|37x xxx2(1)1.11xyxx求函数的定义域。2(1)1,11.1xxxxx 解：在中在中所以函数的定义域是x|x1,且x

17、-1.2.()(21)_f xfx 已知函数的定义域是-1,1,则函数的定义域是(21)11,01.,(21)0,1.fxxxxfx 解：要使函数有意义，自变量 的取值需满足故所以函数的定义域是函数相等函数相等 定义域和对应法则是确定一个函数的两个基本条件，当且定义域和对应法则是确定一个函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则分别相同时，这两个函数才仅当两个函数的定义域和对应法则分别相同时，这两个函数才是一个函数是一个函数。表示同一个函数。与53)(53)(ttfxxf 注意：注意：（1）定义域、对应法则两者中只要有一个是不相同）定义域、对应法则两者中只要有一个是不相同就不是同一

18、个函数。即使定义域和值域都相同，也不一定是就不是同一个函数。即使定义域和值域都相同，也不一定是相同一个函数相同一个函数.如如y=4x和和y=10 x，它们的定义域和值域都是实，它们的定义域和值域都是实数集数集R.但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数。但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数。（2）因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字）因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的，如母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的，如例2.下列函数中哪个与函数y=x相等？（1）;(2)(3);(4).2)(xy;33xy xxy22xy 五

19、、例题五、例题抽象函数的定义域抽象函数的定义域()2f xx(1)(1)2f xx(23)(23)2fxx(),),2f x已已知知的的定定义义域域是是211xx ().23xf(2)(2)求求函函数数的的定定义义域域22235xx ()1231,),().xxff 已已知知的的定定义义域域是是求求函函数数的的定定义义域域12251223xxxx ().1xf(1)(1)求求函函数数的的定定义义域域2x 211xx 22235xx 函数的解析式函数的解析式五、例题五、例题221()2,()(3),()1,.4f xxa g xxg f xxxa已已知知若若求求 的的值值2221:()(2)3(

20、2)41 (3)14g f xgxaxaxaxaxx解解211.1(3)14aaa 待定系数法待定系数法六、课后小结六、课后小结2.函数的三要素函数的三要素定义域定义域A值域值域B对应法则对应法则f定义域定义域对应法则对应法则值域值域决决定定1.函数的概念函数的概念：设设A、B是非空数集是非空数集,如果按照某个确定的对应如果按照某个确定的对应关系关系f,使对于集合使对于集合A中的任意一个数中的任意一个数x,在集合在集合B中都有惟一确定中都有惟一确定的数的数f(x)和它对应和它对应,那么就称那么就称f:A B为从集合为从集合A到集合到集合 B的函数的函数.3.会求简单函数的定义域和函数值会求简单函数的定义域和函数值4.理解区间是表示数集的一种方法理解区间是表示数集的一种方法,会把不等式转化为区间会把不等式转化为区间.课堂作业课堂作业P24)1、2、4课堂练习课堂练习P19)1、2、3归纳小结n从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；n 初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。