四边形课件整章全

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1、四边形四边形颜集中学颜集中学 史心永史心永20.2平行四边形平行四边形1两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形如图：四边形如图：四边形ABCD是平行四边形是平行四边形记作：记作：ABCD2平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线平行四边形的对角线3.平行四边形相对的边称为平行四边形相对的边称为 对边对边,相对的角称为相对的角称为 对角对角.平行四边形相关概念平行四边形相关概念ADCB线段线段AC、BD就是就是 ABCD的两条对角线。的两条对角线。对边：对边：AB与与CD;BC与与DA.对角对角:ABC与

2、与CDA;BAD与与DCB.平行四边形的性质（1）(1)(2)(3)两组对边都不平行一组对边平行，一组对边不平行两组对边都平行四边形平行四边形平行四边形首页上页上页下页下页理解定义2022-11-278ABCDABCDABCDADBC如图ABCDADBCABCD 如图是某区部分街道示意图，其中如图是某区部分街道示意图，其中BCADEG，AB/FHDC图中的平行四边图中的平行四边形共有形共有_个个.9 从B站乘车到D站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是BEAFD，路线2是BHOGD，请比较两条路线路程的长短，并说明理由ABCDEGFHO 用两个全等的三角形纸片可以拼出几种形状不同的平行四边

3、形？从拼图可以得到什么启示？小结：平行四边形可以是由两个全等的三角形组成，平行四边形可以是由两个全等的三角形组成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连结对因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连结对角线转化为两个全等的三角形进行解题。角线转化为两个全等的三角形进行解题。平行四边形的边、角有怎样的数量关系？请用直尺请用直尺,量角器等工具度量你手中平行量角器等工具度量你手中平行四边形的边和角，并记录下数据，验证猜想四边形的边和角，并记录下数据，验证猜想AB=DCAB=DC，AD=BCAD=BC，A=CA=C，B=DB=D是否正确是否正确?用你以前所学的知识证明猜想用你以前所学的知识证明猜想.已

4、知：ABCD求证：AB=CD，BC=DA；B=D，A=C.1234即BADDCB四边形ABCD是平行四边形ABCD，ADBC12，3412ACCA34 ABC CDA（ASA）ABCD，BCDA，BD又12，341423在ABC和CDA中证明：连接AC几何语言：定理1：平行四边形的两组对边分别相等DACB 四边形ABCD是平行四边形 ABCD，ADBC（平行四边形的对边相等）在ABCD中，ABCD，ADBC（平行四边形的对边相等）A=A=C,C,B=B=D D（平行四边形的对角相等）A=A=C,C,B=B=D D（平行四边形的对角相等）定理2：平行四边形的两组对角分别相等 1.如图:在 ABC

5、D中,根据已知你能得到哪些结论？为什么?32cm30cm32cm30cmABCD5656124124如图 小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少?解：四边形ABCD是平行四边形 AB=CD,AD=BC AB=8m CD=8m 又AB+BC+CD+AD=36,AD=BC=10mADBC8cm1.如图,ABCD的周长是28cm,ABC的周长是22cm,则AC的长为()A 6cm B 12cm C 4cm D 8cmABDCADBC2.如图,在 ABCD中,A:B=7:2,求C的度数.EABDC9cm5cm1.如图，在 ABCD中，若BE平分A

6、BC，则ED 4cm235cm5cm4cm12.如图，在平行四边形ABCD中，CEAB，点E为垂足，如果A=125，则BCE的度数为多少？通过本节课的学习，你有什么收获？.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质：对边平行 对边相等 对角相等 邻角互补.解决平行四边形的有关问题经常连结对角线转化为三角形。作业：P84 1、2、3 P90 1、2 P91 6平行四边形的性质（2）2.2.上节课我们掌握了平行四边上节课我们掌握了平行四边 形的哪些性质？形的哪些性质？1.1.什么是平行四边形？什么是平行四边形？复习复习1.1.定义定义:有两组对边分别平行的四边形有两组对边分别平行的四

7、边形 叫做平行四边形。叫做平行四边形。2.2.记作记作:ABCDABCD 3.3.读作：平行四边形读作：平行四边形ABCDABCDA AB BC CD D复习复习平行四边形的性质：平行四边形的性质：平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等.平行四边形的对角相等。平行四边形的对角相等。1.对边：对边：2.对角：对角：四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形,A=C,B=D.A=C,B=D.复习复习四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形,AB=CD,AD=BC.AB=CD,AD=BC.ABDCOABDCO 如图，把两张完全相同的平行四边形纸片如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起

8、叠合在一起,在它们的中心在它们的中心O 钉一个图钉，将钉一个图钉，将一个平行四边形绕一个平行四边形绕O旋转旋转180180，你发现了什，你发现了什么么?A AD DO OC CB BD DB BO OC CA A再看一遍再看一遍A AD DO OC CB BD DB BO OC CA A你有什么猜想？你有什么猜想？结论结论1.1.ABCDABCD绕它的中心绕它的中心O O旋转旋转180180后后与自身重合，这时我们说与自身重合，这时我们说 ABCDABCD是是 中心对称图形中心对称图形，点，点O O叫叫对称中心对称中心。平行四边形的平行四边形的对角线互相平分对角线互相平分.你能证明你能证明 它

9、吗它吗?根据刚才的旋转，你知道平行四边形根据刚才的旋转，你知道平行四边形的对角线有什么性质吗？的对角线有什么性质吗？猜一猜猜一猜A AC CD DB BO O已知：如图：已知：如图：ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD 相交于点相交于点O.O.求证：求证：OA=OCOA=OC，OB=OD.OB=OD.证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，AD=BC AD=BC，ADBC.ADBC.1=2 1=2，3=4.3=4.AODAODCOBCOB（ASAASA）.OA=OCOA=OC，OB=OD.OB=OD.3241平行四边形的平行四边形的对角线互相平分对角线

10、互相平分.平行四边形的性质：平行四边形的性质：O平行四边形的平行四边形的对角线对角线互相互相平分平分.例例2,2,如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，AB=10AB=10，AD=8AD=8，ACBCACBC，求，求BCBC、CDCD、ACAC、OAOA的长以及的长以及 ABCDABCD的面积的面积.8 81010B BC CD DA AO O解：解：ABCABC是直角三角形是直角三角形又又ACBCACBC四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形BC=AD=8BC=AD=8，CD=AB=10CD=AB=1022ACABBC221086又又OA=OCOA

11、=OC132OAAC S S =BC=BCAC=8AC=86=486=48 ABCDABCD说一说说一说,练一练练一练 如图，在如图，在 ABCD中中，BC=10cm,AC=8cm,BD=14cm,（1）AOD的周长是多少？为什么？的周长是多少？为什么？（2）ABC与与 DBC的周长哪个长？长多少？的周长哪个长？长多少？ABCDABCD的对角线的对角线ACAC与与BDBD相交于相交于O,O,直线直线EFEF过过点点 O O与与 AB AB、CDCD分别相交于分别相交于E E、F,F,试探究试探究OEOE与与OFOF的大小关系？并说明理由。的大小关系？并说明理由。ABCDOEF1 12 23 3

12、4 4探究探究O OD DC CB BA AE EF FO OD DC CB BA AE EF F(1)(1)(2)(2)在上述问题中在上述问题中,若直线若直线EFEF绕与边绕与边DADA、BCBC的的延长线交于点延长线交于点E E、F,F,（如图（如图2 2）,上述结论是否上述结论是否仍然成立？试说明理由。仍然成立？试说明理由。在上述问题中在上述问题中,若将直线若将直线EFEF绕点绕点O O旋转至下旋转至下图（图（3 3）的位置时）的位置时,上述结论是否仍然成立？上述结论是否仍然成立？F FE EF FO OD DC CB BA AE E(1)(1)O OD DC CB BA AE EF F

13、(3)(3)(3)(3)(4)(4)若此时再与两边延长线相交呢？若此时再与两边延长线相交呢？O OD DC CB BA AE EF F(4)(4)小结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形小结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等。的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等。1.1.选择：平行四边形具有而一般四边形不具有选择：平行四边形具有而一般四边形不具有 的特征是（）的特征是（）A A、不稳定性、不稳定性B B、对角线互相平分、对角线互相平分C C、内角的为、内角的为360360度度D D、外角和为、外角和为360360度度B选一选

14、选一选 2.若平行四边形的一边长为若平行四边形的一边长为,则它的两则它的两条对角线长可以是条对角线长可以是().和和 .和和 .和和 .和和O OD DB BA AC CD3.如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，OBCD的顶点的顶点 OBD的坐标如图所示，则顶点的坐标如图所示，则顶点C的的 坐标为（坐标为（）CO(0,0)B(5,0)D(2,3)A.(3,7)B.(5,3)C.(7,3)D.(8,2)C 1.1.如图，在如图，在 ABCDABCD中，对角线中，对角线AC,BDAC,BD交交于点于点O O，ACAC1010，BD=8BD=8,则则ADAD的取值范围是的取值范围是

15、_.O OD DB BA AC C1 1ADAD9 9填一填填一填O OD DB BA AC C 2.2.如图如图,在在 ABCDABCD中中,对角线对角线ACACBDBD相交于相交于点点O,O,且且AC+BD=20,AC+BD=20,AOBAOB的周长等于的周长等于15,15,则则CD=_.CD=_.5 一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，勤劳动，到到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的

16、：分的：老大老大老二老二老三老三老四老四 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？A AC CD DB BO O老大老大老四老四老三老三老二老二M故四人的土地面积相同，老人分地合理。故四人的土地面积相同，老人分地合理。小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井，小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井，为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可为了浇水的方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可以把菜地分成面积相等的两部分以把菜地分成面积相等的两部分.同学

17、们，你知道聪明同学们，你知道聪明的小明是怎么帮妈妈分的吗？的小明是怎么帮妈妈分的吗？B BM MC CD DA AO找一找ABDOEFABCDOEFABCDOEFCABCDOEF在这些图形中面积相等的图形有哪些？在这些图形中面积相等的图形有哪些？过对角线交点的任一条直线都将平过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分行四边形分成面积相等的两部分1 1、通过本节课的学习，你有什么收获？通过本节课的学习，你有什么收获？2、平行四边形的性质共有哪些？平行四边形的性质共有哪些？边边角角对角线对角线八年级（下册）八年级（下册）A AB BC CD DO平行四边形的两组对边分别相等；平行四

18、边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分。平行四边形的对角线互相平分。两组对边分别平行的四边形叫做两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形.2 2、我们学习了平行四边形的哪些性质？、我们学习了平行四边形的哪些性质？1、什么是平行四边形？、什么是平行四边形？平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；我们得到的这些逆命题都成立吗？我们一起我们得到的这些逆命题都成立吗？我们一起探讨一下吧：探讨一下吧：平行四边形的对角线互相平分。平行四边形的对角线

19、互相平分。思考：我们已经学习了平行四边形的这些性质，思考：我们已经学习了平行四边形的这些性质，那么它们的逆命题各是什么呢？那么它们的逆命题各是什么呢？两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。对角线互相平分的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形这个判定方法，我们如何证明？平行四边形这个判定方法，我们如何证明？ABCD 证明：连接证明：连接ACAC，所以所以ABDCABDC，ADBCA

20、DBC。4123所以所以1=21=2，3=43=4。AC=CA(AC=CA(公共边公共边)，所以所以ABC ABC CDA(SSS)CDA(SSS)。AD=BC(AD=BC(已知已知)，已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，AB=DCAB=DC，AD=BCAD=BC，求证：四边形，求证：四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 .AB=CD(AB=CD(已知已知)，在在ABC ABC 和和CDACDA中，中，所以四边形所以四边形ABCDABCD是平行四边形。是平行四边形。对角线互相平分的四边形是平行四边形。对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知，如图，在四边形

21、已知，如图，在四边形ABCDABCD中，中，ACAC与与BDBD相交于点相交于点OO，OA=OCOA=OC，OB=ODOB=OD，求证：四边形，求证：四边形ABCDABCD是是平行四边形。平行四边形。A AB BC CD D1234OO同理可证同理可证AB=DCAB=DCADO ADO CBOCBO AD=CBAD=CBOA=OC OA=OC 证明：证明：平行四边形的这个判定方法，又该如何证明呢？平行四边形的这个判定方法，又该如何证明呢？OB=OD OB=ODAOD=COBAOD=COB四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四

22、边形是平行四边形.平行四边形这个判定方法，又怎么证明呢？平行四边形这个判定方法，又怎么证明呢？ABCD 证明：证明：所以所以ABDCABDC，ADBCADBC。A+B+C+D=360A+B+C+D=360。已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，A=CA=C，B=D B=D，求证：四边形，求证：四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 .在四边形在四边形ABCDABCD中，中，所以四边形所以四边形ABCDABCD是平行四边形。是平行四边形。因为因为A=CA=C，B=DB=D，所以所以A+D=180A+D=180，A+B=180A+B=180。A AB BC CD

23、DO两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；ADBC ADBC ABDCABDCAD=BC AD=BC AB=DCAB=DCBAD=BCD BAD=BCD ABC=ADCABC=ADC四边形四边形ABCDABCD是是平行四边形平行四边形如图，用符号表示如下：如图，用符号表示如下：平行四边形有哪些判定方法？平行四边形有哪些判定方法？对角线互相平分的四边形是平行四边形。对角线互相平分的四边形是平行四边形。OA=OC OA=OC OB=ODOB=OD两组对边分别相等的四边形

24、是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形又又OB=ODOB=OD，证明：证明：因为四边形因为四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，所以所以OA=OCOA=OC，OB=ODOB=OD。因为因为AE=CFAE=CF，所以所以OE=OFOE=OF。所以四边形所以四边形BFDEBFDE是平行四边形。是平行四边形。C CB BOOD DA AF FE E你还有其他你还有其他的证明方法的证明方法吗？吗？例例3 3 如图如图 AB

25、CDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD相交相交 于点于点OO，E E、F F是是ACAC上的两点，并且上的两点，并且AE=CFAE=CF，求证，求证:四边形四边形BFDEBFDE是平行四边形。是平行四边形。如图，如图，AB=DC=EFAB=DC=EF，AD=BCAD=BC，DE=CFDE=CF，图中有哪些互相平行的线段？图中有哪些互相平行的线段？F FA AB BC CD DE E解：图中互相平行的线段有：解：图中互相平行的线段有：AB/DC/EFAB/DC/EF，AD/BCAD/BC，DE/CF DE/CF ADBCADBC AB=DCAB=DC AD=BCAD=BC四边形四边形AB

26、CDABCD是平行四边形是平行四边形ABDCABDCDCEFDCEF DC=EFDC=EF DE=CFDE=CF四边形四边形CDEFCDEF是平行四边形是平行四边形DECFDECFAB DCEFAB DCEF理由如下：理由如下：配合数学周报使用 效果更佳9.1.2平行四边形的判定（2）复习巩固1.平行四边形的性质:边_,_角_对角线_2.判定一个四边形是平行四边形的四种方法:边_,_角_对角形_对边平行 对边相等对角相等对角线互相平分两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形1.探究并掌握平

27、行四边形的第五种判定方法：一探究并掌握平行四边形的第五种判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，并且组对边平行且相等的四边形是平行四边形，并且能够根据判定方法进行相关的应用。能够根据判定方法进行相关的应用。2.了解三角形的中位线及其性质，并会简单的应了解三角形的中位线及其性质，并会简单的应用。用。3.在探索过程中发展合理的推理意识、主动探究在探索过程中发展合理的推理意识、主动探究的习惯和如何添加辅助线的思想。的习惯和如何添加辅助线的思想。学习目标设置情境小明的爸爸在钉制一个框架时采用了下面的方法：将两根同样长的木条AB,CD平行放置，再用两根木条AD，BC加固，得到的这个四边形ABC

28、D是平行四边形吗？A BD CABCD已知：ABCD，ABCD求证：四边形ABCD是平行 四边形证明：连接BD ABCDABD CDB又AB CD，BD DBABD CDBAD CB四边形ABCD是平行四边形根据刚才的证明你能概括出判定一个四边形是平行四边形的根据刚才的证明你能概括出判定一个四边形是平行四边形的第五种方法吗第五种方法吗判定方法（判定方法（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.符号语言符号语言:如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形CADBB平行且相等平行且相等（记作：（记作：“”）从边

29、来判定从边来判定1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形、两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从角来判定从角来判定两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形从对角线来判定从对角线来判定两条对角线互相平分的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形理一理理一理平行四边形的判定方法平行四边形的判定方法如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、BC上截取EFMN，连接EM、FN，EM和FN有怎样的

30、关系？为什么？ABCDEFMN 自学课本P.89第8，9两行，解答下列问题。1、叫做三角形的中位线，一个三角形有 条中位线。2.在练习本上画出一个三角形,并画出它的一条中位线。连接三角形两边中点的线段三三自主学习三角形的中位线有什么性质？三角形的中位线有什么性质？如图，如图，EFEF是是ABC ABC 的一条中位线的一条中位线 (1)(1)量一量量一量DEDE,BCBC的长是多少？你能作出什的长是多少？你能作出什么猜测？么猜测？(2)(2)观察图形中的观察图形中的EFEF与与BCBC,猜测猜测DEDE 与与BCBC 位置位置关系吗？关系吗？几何画板验证一下几何画板验证一下CABD E 怎样将一

31、个三角形纸片剪成两部怎样将一个三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？平行四边形？(1)剪一个三角形剪一个三角形,记为记为ABC;(2)沿中位线沿中位线DE将将ABC剪成两部分剪成两部分,并将并将ADE绕点绕点E顺时针旋转顺时针旋转180得四边形得四边形BCFD.ABCDEF四边形四边形BCFDBCFD是平行四边形吗是平行四边形吗?为什么？为什么？四边形四边形BCFDBCFD是平行四边形是平行四边形DEBCAFABCDEFDE=EF 1=2 AE=ECADE CFE证明：如证明：如 图，延图，延 长长DE 到到 F，使，使EF=DE ，连，连 结结

32、CF.AD=FC 、A=ECFABFC又又AD=DB BD CF且且 BD=CF四边形四边形BCFD是平行四边形是平行四边形还有另外的证法吗？还有另外的证法吗？DFBC，DFBC又又12DEDF 12DEBC即即DEBC 已知：在已知：在ABC 中，中，DE是是ABC 的中位线的中位线 求证：求证：DE BC，且，且DE=BC 。1212ABCEDF证明：如图，延长证明：如图，延长DE至至F,使使EF=DE，连接连接CD、AF、CFAE=EC DE=EF四边形四边形ADCF是平行四边形是平行四边形AD FC又又D为为AB中点，中点，DB FC四边形四边形BCFD是平行四边形是平行四边形 DE/

33、BC 且且DE=EF=1/2BCCEDFBA证法三：过点证法三：过点C作作AB的平行的平行线交线交DE的延长线于的延长线于FCFAB，A=ECF又又AE=EC，AED=CEF ADE CFE AD=FC又又DB=AD，DB FC四边形四边形BCFD是平行四边形是平行四边形DE/BC 且且DE=EF=1/2BC三角形中位线定理三角形中位线定理三角形的中位线三角形的中位线平行于第三边平行于第三边，且，且等于等于第三边第三边的一半的一半。CABD E 用符号语言表示用符号语言表示DEDE是是ABCABC的中位线的中位线 DEBCDEBC，DE=BC.DE=BC.21数量关系数量关系位置关系位置关系

34、(1)(1)证明平行证明平行 (2)(2)证明一条线段是另一条线证明一条线段是另一条线段的段的2 2倍或倍或ABCDE 三角形的中位线定理三角形的中位线定理:三角形的中位线三角形的中位线平行平行于第三边，并且等于第三边的于第三边，并且等于第三边的一半一半.三角形的中位线三角形的中位线定理的主要用途：21第三边第三边巩固新知巩固新知.三角形的中位线三角形的中位线_第三边第三边,并并且且_第三边的第三边的_2如图：在如图：在ABC中，中，DE是中是中位线。位线。（1）若）若ADE=60，则，则B=;（2）若）若BC=8cm，则，则DE=cm.（3）DE+BC=12cm,则则BC=3若等腰若等腰AB

35、C的周长是的周长是40cm,AB=AC=14cm,则中位线则中位线DE604ABCDED 8cmcm平行于平行于等于一半等于一半4.4.如图如图,MN MN 为为ABC ABC 的中位线的中位线,若若ABC ABC=61=61则则AMN AMN=,若若MN MN=12,=12,则则BC BC=.AMBCN 61 612424 5.5.如图如图,ABC ABC 中中,D D,E E 分别为分别为ABAB,AC AC 的中点的中点,当当BC BC=10=10时时,则则DE DE=.A AD DB BC CE E5 5 6.6.如图如图,已知已知ABCABC中中,AB=3AB=3,BC=3.4,BC

36、=3.4 AC=4 AC=4 且且D,E,FD,E,F分别为分别为 AB,BC,ACAB,BC,AC边的边的中点中点,则则DEFDEF的周长的周长是是 .ABCDEF F5.27、如下图：在、如下图：在Rt ABC中，中，A=90,D、E、F分别是各边分别是各边中点中点,AB=6cm，AC=8cm，则，则DEF的周长的周长=cm。12EFBACD 知识总结知识总结：1。判定定理判定定理：一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形组对边平行且相等的四边形是平行四边形2.定义定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线3.三角形的中位线定理：三角形的

37、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。的第三边，且等于第三边的一半。数学思想数学思想：转化思想：转化思想1.把四边形的问题转化为三角形问题解决把四边形的问题转化为三角形问题解决2.线段的倍分问题线段的倍分问题数学方法数学方法：在：在的发现过程用到的发现过程用到画图、测量、猜想、验证、证明等数学方法画图、测量、猜想、验证、证明等数学方法ABCDEFGH已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，E E、F F、G G、H H分别是分别是ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH

38、EFGH是平行四边形是平行四边形。证明：连结证明：连结ACAC AE=EB、CF=FB,(三角形中位线定理三角形中位线定理)21EFAC，EF=AC四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形同理：同理：HGAC，HG=AC21EF HG，且EF=HG挑战自我特殊的平行四边形特殊的平行四边形矩形矩形学好几何标志是会“证明”w证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:w(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),结论结论(求证求证);w(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;w(3)结合图形结合图形,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求求证证”;w(4)分析题意分

39、析题意,探索证明思路探索证明思路(由由“因因”导导“果果”,执执“果果”索索“因因”.);w(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程言条理清晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确,完善完善.回顾与思考回顾与思考平行四边形的平行四边形的性质性质w定理定理:平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等.w证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.BDCA四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.AB=CD,BC=DA.AB=CD,BC=DA.w定理定理:平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等.四

40、边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.A=C,B=D.定理定理:平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.CO=AO,BO=DO.CO=AO,BO=DO.BDCAO定理定理:夹在两条平等线间的平等线段相等夹在两条平等线间的平等线段相等.MNPQ,ABCD,MNPQ,ABCD,AB=CD.AB=CD.BDCAMNPQ回顾 思考平行四边形的判定平行四边形的判定w定理定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形.w定理定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形

41、是平行四边形.定理定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.回顾 思考wAB=CD,AD=BC,AB=CD,AD=BC,w四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.BDCABDCAOwABCD,AB=CD,ABCD,AB=CD,w四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.wAO=CO,BO=DO,AO=CO,BO=DO,w四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.wA=C,B=D.A=C,B=D.w四边形四边形ABCDABCD是平行四边形

42、是平行四边形.等腰梯形的等腰梯形的性质性质w定理定理:等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形同一底上的两个角相等.w定理定理:等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的两条对角线相等.w在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,wAB=DC,AB=DC,wAC=DB.w在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,wAB=DC,AB=DC,wA=D,B=C.BDCABDCAw证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.回顾 思考等腰梯形的等腰梯形的判定判定定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,A=D或或B=C

43、,AB=DC.AB=DC.定理定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,AC=DB.AB=DC.AB=DC.BDCABDCAw证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.回顾 思考三角形中位线的性质三角形中位线的性质w定理定理:三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边,且等于第三且等于第三边的一半边的一半.w这个这个定理定理提供了证明线段平行提供了证明线段平行,和线段成倍分关系和线段成倍分关系的根据的根据.模型模型:连接任意四边形各边中点连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形所成

44、的四边形是平行四边形.要重视这个要重视这个模型模型的证明过程反映出来的规律的证明过程反映出来的规律:对角线对角线的关系是关键的关系是关键.改变四边形的形状后改变四边形的形状后,对角线具有的对角线具有的关系关系(对角线相等对角线相等,对角线垂直对角线垂直,对角线相等且垂直对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状决定了各中点所成四边形的形状.回顾 思考wDEDE是是ABCABC的中位的中位,DEBCA.21BCDE DEBC,DEBC,ABCHDEFG四边形之间的关系四边形之间的关系 我思我思,我进步我进步w四边形之间有何关系？四边形之间有何关系？w特殊的平行四边形之间呢？特殊的平行四边形之

45、间呢？w还记得它们与平行四边形的关系吗还记得它们与平行四边形的关系吗?w能用一张图来表示它们之间的关系吗能用一张图来表示它们之间的关系吗?四边形四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形两组对边两组对边分别平行分别平行有一个角有一个角是直角是直角有一组有一组邻边相等邻边相等有一个角有一个角是直角是直角有一组有一组邻边相等邻边相等一组对边平行另一组对边平行另一组对边不平行一组对边不平行梯形梯形两腰相等两腰相等等腰梯形等腰梯形腰与底垂直腰与底垂直直角梯形直角梯形矩形的矩形的性质性质w定理定理:矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角.我思我思,我进步我进步已知已知:如图如图,四边形四边

46、形ABCDABCD是矩形是矩形.w分析分析:由矩形的定义由矩形的定义,利用对利用对角相等角相等,邻角互补可使问题得证邻角互补可使问题得证.证明证明:四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,A=90A=900 0,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.C=A=90C=A=900 0,B=180B=1800 0-A=90-A=900 0,D=180D=1800 0-A=90-A=900 0.求证求证:A=B=C=D=90:A=B=C=D=900 0.A=B=C=D=90 A=B=C=D=900 0DBCA想一想想一想:正方形的四正方形的四个角都是直角吗个角都是直角吗?矩形的矩形的

47、性质性质 我思我思,我进步我进步w定理定理:矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线相等.已知已知:如图如图,AC,BD,AC,BD是矩形是矩形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线.求证求证:AC=BD.:AC=BD.证明证明:四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,AB=DC,ABC=DCB=90AB=DC,ABC=DCB=900 0.w分析分析:根据矩形的性质性质根据矩形的性质性质,可转可转化为全等三角形化为全等三角形(SAS)(SAS)来证明来证明.DBCABC=CB,BC=CB,ABCABCDCB(SAS).DCB(SAS).AC=DB.AC=DB.直角三角形的直角三角形的性质性质

48、我思我思,我进步我进步w议一议议一议:设矩形的对角线设矩形的对角线ACAC与与BDBD交于点交于点E,E,那么那么,BE,BE是是RtRtABCABC中一条怎样的特殊线段中一条怎样的特殊线段?w它与它与ACAC有什么大小关系有什么大小关系?为什么为什么?DBCAEw由此可得由此可得推论推论:直角三角形斜边上直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的中线等于斜边的一半.wBEBE是是RtRtABCABC中斜边中斜边ACAC上的中线上的中线.wBEBE等于等于ACAC的一半的一半.AC=BD,BE=DE,AC=BD,BE=DE,.21BDBE.21ACBE矩形性质的矩形性质的应用应用 例题欣赏例题欣赏

49、w已知已知:如图如图,AC,BD,AC,BD是矩形是矩形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线,AC,BD,AC,BD相交于点相交于点O,AOD=120O,AOD=1200 0,AB=2.5cm.,AB=2.5cm.求矩形对角线的长求矩形对角线的长.解解:四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,BD=2AB=2BD=2AB=22.5=5(cm).2.5=5(cm).21ACOCOAAC=BD,AC=BD,且且DAB=90DAB=900 0,DBCAO.21BDODOB.ODOA AOD=120AOD=1200 0,.302120180000ODA=OAD=ODA=OAD=你认为例你认为例1

50、 1还可以还可以怎么去解？怎么去解？矩形的判定矩形的判定w定理定理:有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.我思我思,我进步我进步已知已知:如图如图,在四边形在四边形ABCDABCD中中,A=B=C=90A=B=C=900 0.w分析分析:利用同旁内角互补利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边两直线平行来证明四边形是平行四边形形是平行四边形,可使问题得证可使问题得证.证明证明:A=B=C=90 A=B=C=900 0,A+B=180A+B=1800 0,B+C=180,B+C=1800 0.ADBCADBC,ABCDABCD.求证求证:四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形

51、.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.DBCA四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.矩形的判定矩形的判定w定理定理:对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.我思我思,我进步我进步已知已知:如图如图,在在ABCDABCD中中,对角线对角线AC=BD.AC=BD.求证求证:四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.DBCAw分析分析:要证明要证明ABCDABCD是矩形是矩形,只只要证明有一个角是直角即可要证明有一个角是直角即可.w证明证明:AB=CD,ABCD.AB=CD,ABCD.AC=DB,BC=CB,AC=DB,BC=CB,ABCABCDCB.DCB.

52、ABC=DCB.ABC=DCB.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.ABC+DCB=180ABC+DCB=1800 0.ABC=90ABC=900 0.四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.直角三角形的直角三角形的判定判定 我思我思,我进步我进步w定理定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半半,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.w求证求证:ABCABC是直角三角形是直角三角形.21ABCD已知已知:CD:CD是是ABCABC边边ABAB上的中线上的中线,且且EABCDw分析分析:要证明要证明ABCABC是直角

53、三角形是直角三角形,可以点可以点A,B,CA,B,C构造平行四边形构造平行四边形,然后然后证明其对角线相等证明其对角线相等,即可证明是矩即可证明是矩形形.w证明证明:延长延长CDCD到到E,E,使使DE=DC,DE=DC,连接连接AE,BE.AE,BE.四边形四边形ACBEACBE是平行四边形是平行四边形.AB=2CD,CE=2CD,AB=2CD,CE=2CD,CE=AB.CE=AB.四边形四边形ACBEACBE是矩形是矩形.AD=BD,CD=ED,AD=BD,CD=ED,ACB=90ACB=900 0.ABCABC是直角三角形是直角三角形.矩形的矩形的性质性质,推论推论w定理定理:矩形的四个

54、角都是直角矩形的四个角都是直角.w定理定理:矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线相等.推论推论(直角三角形性质直角三角形性质):直角三角形斜边直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半上的中线等于斜边的一半.回顾回顾 思考思考w四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,.21ABCD A=B=C=D=90A=B=C=D=900 0.DBCADBCAwAC,BDAC,BD是矩形是矩形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线.AC=BD.AC=BD.在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=900 0,AD=BD,AD=BD,ABCD矩形的判定矩形的判定,直角三角形的直角三角形的判定判定w定理定理:有

55、三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.w定理定理:对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.w定理定理:如果一个三角形一边上的如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半中线等于这边的一半,那么这个三那么这个三角形是直角三角形角形是直角三角形.回顾 思考wA=B=C=90A=B=C=900 0,四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.DBCADBCAwAC,BDAC,BD是是ABCDABCD的两条对角线的两条对角线,且且AC=DB.AC=DB.四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.ABCDACB=90ACB=900 0.在在ABCABC中中,AD=BD=CD

56、,AD=BD=CD,知识的升华独立独立作业作业P88习题3.4 1,2,3题.祝你成功！P88习题3.4 3题.独立独立作业作业已知已知:如图如图,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,P,P是是CDCD上的一点上的一点,且且APAP和和BPBP分别分别平分分别分别平分DABDAB和和CBA,QPAD,CBA,QPAD,交交ABAB于点于点Q.Q.(1).(1).求证求证:APPB;:APPB;(2).(2).如果如果AD=5cm,AP=8cm,AD=5cm,AP=8cm,那么那么ABAB的长是多的长是多少少?APBAPB的面积是多少的面积是多少?ABCDPQ结束寄语 严格性之

57、于数学家,犹如道德之于人.条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!特殊的平行四边形特殊的平行四边形菱形菱形学好几何标志是会“证明”w证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:w(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),结论结论(求证求证);w(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;w(3)结合图形结合图形,用符号语言写出用符号语言写出“已知已知”和和“求求证证”;w(4)分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路(由由“因因”导导“果果”,执执“果果”索索“因因”.);w(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语运用数学符号和数学语言条理清晰

58、地写出证明过程言条理清晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确,完善完善.回顾与思考回顾与思考平行四边形的平行四边形的性质性质w定理定理:平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等.w证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.BDCA四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.AB=CD,BC=DA.AB=CD,BC=DA.w定理定理:平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.A=C,B=D.定理定理:平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分.四边形四边形ABCDABCD是平行

59、四边形是平行四边形.CO=AO,BO=DO.CO=AO,BO=DO.BDCAO定理定理:夹在两条平等线间的平等线段相等夹在两条平等线间的平等线段相等.MNPQ,ABCD,MNPQ,ABCD,AB=CD.AB=CD.BDCAMNPQ回顾 思考平行四边形的平行四边形的判定判定w定理定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形.w定理定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.定理定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的两组对角分别相等的四边形

60、是平行四边形的.回顾回顾 思考思考wAB=CD,AD=BC,AB=CD,AD=BC,w四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.BDCABDCAOwABCD,AB=CD,ABCD,AB=CD,w四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.wAO=CO,BO=DO,AO=CO,BO=DO,w四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.wA=C,B=D.A=C,B=D.w四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.等腰梯形的等腰梯形的性质性质w定理定理:等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形同一底上的两个角相等.w定理定理:等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形的

61、两条对角线相等.w在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,wAB=DC,AB=DC,wAC=DB.w在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,wAB=DC,AB=DC,wA=D,B=C.BDCABDCAw证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.回顾回顾 思考思考等腰梯形的等腰梯形的判定判定定理定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形在梯形ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,A=D或或B=C,AB=DC.AB=DC.定理定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形在梯形

62、ABCDABCD中中,ADBC,ADBC,AC=DB.AB=DC.AB=DC.BDCABDCAw证明后的结论证明后的结论,以后可以直接运用以后可以直接运用.回顾 思考三角形中位线的三角形中位线的性质性质w定理定理:三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边,且等于第三且等于第三边的一半边的一半.w这个这个定理定理提供了证明线段平行提供了证明线段平行,和线段成倍分关系和线段成倍分关系的根据的根据.模型模型:连接任意四边形各边中点连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形所成的四边形是平行四边形.要重视这个要重视这个模型模型的证明过程反映出来的规律的证明过程反映出来的规律:对角线对角

63、线的关系是关键的关系是关键.改变四边形的形状后改变四边形的形状后,对角线具有的对角线具有的关系关系(对角线相等对角线相等,对角线垂直对角线垂直,对角线相等且垂直对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状决定了各中点所成四边形的形状.回顾 思考wDEDE是是ABCABC的中位的中位,DEBCA.21BCDE DEBC,DEBC,ABCHDEFG四边形之间的四边形之间的关系关系 我思我思,我进步我进步w四边形之间有何关系？四边形之间有何关系？w特殊的平行四边形之间呢？w还记得它们与平行四边形的关系吗还记得它们与平行四边形的关系吗?w能用一张图来表示它们之间的关系吗能用一张图来表示它们之间的关系

64、吗?四边形四边形平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形正方形正方形两组对边两组对边分别平行分别平行有一个角有一个角是直角是直角有一组有一组邻边相等邻边相等有一个角有一个角是直角是直角有一组有一组邻边相等邻边相等一组对边平行另一组对边平行另一组对边不平行一组对边不平行梯形梯形两腰相等两腰相等等腰梯形等腰梯形腰与底垂直腰与底垂直直角梯形直角梯形矩形的矩形的性质性质,推论推论w定理定理:矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角.w定理定理:矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线相等.推论推论(直角三角形性质直角三角形性质):直角三角形斜边直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半上的中线等于斜边的一半.回顾

65、思考w四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形,.21ABCD A=B=C=D=90A=B=C=D=900 0.DBCADBCAwAC,BDAC,BD是矩形是矩形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线.AC=BD.AC=BD.在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=900 0,AD=BD,AD=BD,ABCD矩形的判定矩形的判定,直角三角形的直角三角形的判定判定w定理定理:有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.w定理定理:对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.w定理定理:如果一个三角形一边上的如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半中线等于这边的一

66、半,那么这个三那么这个三角形是直角三角形角形是直角三角形.回顾 思考wA=B=C=90A=B=C=900 0,四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.DBCADBCAwAC,BDAC,BD是是ABCDABCD的两条对角线的两条对角线,且且AC=DB.AC=DB.四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.ABCD ACB=90 ACB=900 0.在在ABCABC中中,AD=BD=CD,AD=BD=CD,菱形的菱形的性质性质w定理定理:菱形的四条边都相等菱形的四条边都相等.我思我思,我进步我进步已知已知:如图如图,四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形.w分析分析:由菱形的定义由菱形的定义,利用平利用平行四边形性质可使问题得证行四边形性质可使问题得证.证明证明:四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形,AB=AD,.AB=AD,.AB=CD,AD=BC.AB=CD,AD=BC.求证求证:AB=BC=CD=DA.:AB=BC=CD=DA.AB=BC=CD=AD.AB=BC=CD=AD.CBDA四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形菱形的菱形的性质性质 我思我思,我进步我进