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1、构造角平分线借助其性质解题在解决三角形的问题中，如果已知条件中涉及到角的平分线，我们则可以考虑利用角的平分 线的性质解题现举例如下一、证明线段相等例1如图1,在厶ABC中，/ BAC的角平分线AD平分底边BC求证AB=AC分析：根据已知可知AD是/ BAC的平分线，可通过点D作/ BAC的垂线，根据角平分 线的性 质，结合三角形的面积进行证明.证明：过点D作DE丄AB，DF丄AC，垂足分别为E、F.因为DA为/ BAC的平分线，所以DE=DF又因为AD平分BC,所以BD=CD，所以S、abd=SaACD，又 SA abd = Ab - DE， Sa acd= aC-DF，2 2所以 AB-DE
2、=AC DF，BD所以AB=AC.二、证明两角的和等于180.例 2 已知，如图 2, AC 平分/ BAD，CD=CB，ABAD求证:/ B+ / D=180 分析:因为AC是/BAD的平分线，所以可过点C作/ BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题.证明:作CE丄AB于E,CF丄AD于F.因为AC平分/ BAD,所以CE=CF.在厶CBE和厶CDF中，因为 CE=CF,CB=CD,所以 RtA CBE八 RtACDF,所以/ B= / 1,因为/ 1 + Z ADC=180 ,所以/ B+ / ADC=180 ,即/ B+Z D=180 三、证明角相等例3如图3,在
3、厶ABC中，PB、PC分别是Z ABC的外角的平分线，求证：Z仁Z 2分析：要证 明AP是Z BAC的平分线，需要证明点P到Z BAC两边的距离相等，可作PE丄AB，PG丄 AC，PH 丄 BC,易证 PE=PH，PH=PG，从而 PE=PG证明；过点P作PE丄AB于点E，PG丄AC于点G，PH丄BC于点H.因为P在Z EBC的平分线上，PE丄AB，PH丄BC，所以PE=PH，同理可证PH=PG，所以PG=PE，又PE丄AB，PG丄AC，所以PA是Z BAC的平分线.所以Z仁Z 2.四、证明角的平分线例4如图4, DA丄AB，CB丄AB，P是AB的中点，PD平分Z ADC.求证：CP平分Z D
4、CB.分析：因为DA丄AB，PD平分Z ADC，所以可过点P作PE丄AC，利用角平分线的性质得至U PE=PA,进而可得至U PE=PB证明：过点P作PE丄DC,垂足于E,因为PD平分/ ADC , PA丄AD,所以PA=PE,因为P为AB的中点，所以PA=PB，所以PE=PB,因为CB丄BP, CE丄PE,所以CP平分/ DCB五、求角的度数例 5 如图 5,在厶 ABC 中，/ ABC=100，/ ACB=20 , CE 平分/ ACB ,若/CBD=20，求/ ADE的度数.分析：由于CE平分/ ACB，可过点E作/ ACB的两边的垂线，通过证明 平 分线解决问题解：作EN丄CA, EM丄BD , EP丄CB,垂足分别是N、M、P.因为/ ABD= / ABC- / CBD=100 -20 80, / PBA=180 -100 80,所以/ PBA= / ABD ,因为EM丄BD于M , EP丄CB于P,所以EP=EM ,又 CE 平分/ ACB , EN 丄 CA , EP 丄 CB，所以 EN=EP , 所以EN=EM , 所以ED平分/ ADB ,1 1所以/ ADE= / ADB= X4020
解题方法：构造角平分线借助其性质解题
