中学数学开根系列问题

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1、什么是一个数的算术平方根？如何表示？什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根。正数的正的平方根叫做它的算术平方根。什么叫做一个数的平方根？如何表示？什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于一般地，若一个数的平方等于a，则，则这个数就叫做这个数就叫做a的平方根。的平方根。用用 (a0)表示。表示。a0 0的算术平方根平方根是的算术平方根平方根是0 0a a的平方根是的平方根是a复习复习1、如果、如果 ，那么，那么 ；42xx2、如果、如果 ，那么，那么 ；32xx3、如果、如果 ，)0(2aaxx那么那么 。x2 23a1.1.如图所示的值表示正

2、方形的如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是面积，则正方形的边长是 3b b-32.要修建一个面积为要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，的圆形喷水池，它的半径为它的半径为 m（取取3.14）；23、关系式中、关系式中 ，用含有，用含有h的式子的式子表示表示t，则，则t为为 。25th 5h导入导入新授新授:观察以上各式，它们有什么共同特点？观察以上各式，它们有什么共同特点？表示一些正数的算术平方根表示一些正数的算术平方根3b 25h25002a 25002a3b 表示一些表示一些正数正数的的算术平方根算术平方根.的式子叫做二次根式形如a)0(a你认为所得的各代数式有哪些共同特点？

3、你认为所得的各代数式有哪些共同特点？a被开方数被开方数二次根号二次根号25h归纳归纳:二次根式的定义二次根式的定义(默默1）一般地，形如一般地，形如 的式子的式子叫二次根式。叫二次根式。)0(aa 本课学习目标：（1）二次根式的概念）二次根式的概念(双重非负性双重非负性)（2）根号内字母的取值范围）根号内字母的取值范围（3）二次根式的性质）二次根式的性质(1,2)请你凭着自己已有的知识请你凭着自己已有的知识,说说说对二次根式说对二次根式 的认识！的认识！a?(0).a a 形 如的 式 子 叫 做 二 次 根 式2.a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.3.形式上含有二次根号形式上含有二次

4、根号4.a0,0 a5.既可表示开方运算既可表示开方运算,也可表示运算的结果也可表示运算的结果.1.表示表示a的算术平方根的算术平方根(双重非负性双重非负性)1a如：如：这类代数式只能称为含有二次根这类代数式只能称为含有二次根式的代数式，不能称之为二次根式；式的代数式，不能称之为二次根式；而而 这类代数式，应把这类代数式，应把 这些二次根式看这些二次根式看做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。3222xx3,2说一说说一说:下列各式是二次根式吗下列各式是二次根式吗?3 32 25 5 (7 7),a a (6 6)，x xy y (5 5)m m-(4 4

5、),1 12 2 (3 3)6 6,(2 2),3 32 2 (1 1)1(m0),(m0),(x,y(x,y 异号异号)在实数范围内在实数范围内,负数没有平方根负数没有平方根219a222 aax)0(x23m1、判断下列代数式中哪些是二次根式？、判断下列代数式中哪些是二次根式？1(3)aa 16例例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。为何值时，下列各式在实数范围内有意义。(1)5x(2)13x(3)13xx例题讲解例题讲解（3）由题意可知：）由题意可知：5x 0301xx1313xx1313x15x 1）由）由x-50,得得x 5当当 x 5时，时，有意义有意义（2）由）由1-3x

6、0得得x当当 x 时，时，有意义有意义当当-1 x 3时，时，有意义；有意义；解：解：（变式：变式：15x 50105xx15x 当当x取何值时，取何值时，在实数范围内有意义。（默在实数范围内有意义。（默2）当当x5时，时，在实数范围内有意义。在实数范围内有意义。x-5 0解：由题意得解：由题意得51x2x15解:由题意得,2020202xxxx5555（默（默3）求下列二次根式中字母求下列二次根式中字母 的取值范围（默的取值范围（默4）(1)解：解：字母字母 a 的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数 a(1)无论无论 取何值，取何值，都有都有a210a 字母字母 的取值范围是全体实数的取

7、值范围是全体实数.aa字母字母 的取值的取值范围是全体实数范围是全体实数.22222(21)1(1)10aaaaa2a2)1(a(2)2a(2)解：解：-02a002aa02a2)1(a(a为任何实数)(a=1)(a=1)说明说明:1.1.当被开方数本身为当被开方数本身为非负数或能化为非负非负数或能化为非负 数形式时数形式时，其字母的取值范围为：，其字母的取值范围为：全体全体实数实数；2.2.当被开方数本身为当被开方数本身为非正数或能化为非正数形式时非正数或能化为非正数形式时，其字母的取值范围为：使，其字母的取值范围为：使被开方数为被开方数为0 0的值。的值。(a为任何实数)求下列二次根式中字

8、母的取值范围：求下列二次根式中字母的取值范围：11a a2112 233a解：（1）由题意得：10a 1a 即当 时，1a 1a 有意义.求字母的取值范围的口诀（默求字母的取值范围的口诀（默5）从左看到右从左看到右;从上看到下从上看到下看到分数线看到分数线,分母不为分母不为0 0（2）(3)为任意实数a12a 看到偶次根式看到偶次根式,被开方数大于等于被开方数大于等于0 0看到看到0 0指数指数,底数不为底数不为0 0最后画数轴最后画数轴,写出解集来写出解集来xx1)4(4)3(2 1、x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?xx3)2(1)1(1x0 x为全体实数x0 x3

9、)5(x0 x21)6(x0 x01(2)3xxx(7)1,2xx 且2xx(8)0 x 1)9(2x为全体实数x新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！参考图参考图1-2,完成以下填空完成以下填空:22212_;7_;_.22712一般地一般地,二次根式有下面的性质二次根式有下面的性质:快速判快速判断断 222222113_,2_,32_,73245_,5_.3 532712323aa?94161517)0(2aaaaa2)(新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！2222_,5_,0_,|2|_;|5|_;|0|_.请比较左右两边的式子请比较左右两边的式子,议一议议一议:与与 有什么关有什

10、么关系系?当当 时时,;当当 时时,2a|a2_;a2_.a0a 0a 225500aa)0(0(2aaaaaa）aa2新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！2)2)(1(2)2)(2(2)2()3(2)2()4(22)5(2)2()6(22-2|-2|=2|2|=2-|-2|=-2大家抢答大家抢答23_22_,725_21_22_5132527512524_4 4 21(1)xx1x?)(22有区别吗与aa新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！2.从取值范围来看从取值范围来看,2a2a a00a取任何实数取任何实数1:从运算顺序来看从运算顺序来看,2a2a先开方先开方,后平方后平方先平方

11、先平方,后开方后开方=aa (a 0)0)3.从运算结果来看从运算结果来看:2a2a-a (a0)0)=a 比较分析比较分析 和和2a2a读法读法运算顺序运算顺序a的取值范围的取值范围运算结果运算结果2a2a先开方先开方,后平方后平方先平方先平方,后开方后开方a0a0a a取全体实数取全体实数a a a a 根号根号a a的平方的平方根号下根号下a a平方平方新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！二次根式的性质及它们的应二次根式的性质及它们的应用用:（1）（2）2aaa0-a(a 0)(a=0)(a 0)(x0)讨论与思考讨论与思考将下列各式化简：将下列各式化简：)21()1(x原式12 1

12、 x2)(:yx原式解xy 2223yxyx0100 xxxyx yx 0yx)yx（原式42例例3 3、化简及求值：、化简及求值：(1)(2)(3)(1)(2)(3)(a a0,b0,b0 0)(4)(4)其中其中a=a=(5)(5)4a22a b21 2aa22)12()21(3新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！42(1)(2)(3)(1)(2)(3)(a a0,b0,b0 0)(4)(4)其中其中a=a=(5)(5)4a22a b21 2aa22)12()21(422解：原式22aa解：原式ab解：原式1)1(:2aa原式解2212121221解：原式0,0ba0abab 原式31

13、313133）（时，原式当a新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！解：原式=22(3)(1)xx=|x-3|+|x+1|x-3|+|x+1|-1x3,x-3-1x00,x+10原式原式 =(3-x)+(x+1)=4=(3-x)+(x+1)=4_,4)4(2的取值范围是则思考：若mmmmm4?)4(24m404mm41682mmm（默（默7）（默（默8）新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！1.若若 ,则则x的取值范围为的取值范围为 ()xx1)1(2(A)x1 (B)x1 (C)0 x1 (D)一切有理数一切有理数A2.实数实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简在数轴上的位置如图所示，

14、化简 22()()abbccaabc新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！2()b c a 2()c a b 2()b c a 3.3.已知已知a a，b b，c c为为ABCABC的三边长，化简：的三边长，化简：+-0)(,0)(,0,acbbacacbcba是三角形三边这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系这个知识点上，特别要应用好。这个知识点上，特别要应用好。acbbacacb解：原式cabacbcbaacb3原式（默（默9）新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！化简化简xx1)312（4.化简化简 222)1

15、(pp)2(1pp解：原式121pp202pp22)()1(aaaa1解：原式121aaa31031xx（默（默10）归纳归纳二次根式的非负性：二次根式的非负性：0a二次根式的双重非负性：二次根式的双重非负性：00aaa（）（），时时，、当当yxyx0311的的值值。求求、已已知知xyzzyx02365223.3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值根据非负数的性质，就可以确定字母的值.2.2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零.到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？思考：思考：为偶数）nan(

16、)0(aaa的双重非负性再议a非负数非负数的性质：的性质：1.1.几个非负数的和、积、商、乘方及几个非负数的和、积、商、乘方及算术平方根仍是非负数算术平方根仍是非负数cbacba则若（,023)223（默（默11）（默（默11）（默（默11）例例3、当、当x是怎样的实数时，是怎样的实数时，有最有最小值？最小值是多少？小值？最小值是多少？2x202xx有什么性质？有什么性质？二次根式二次根式 的双重非负性：的双重非负性：a00aaa02 x解：02 x2x当当x=-2时，时，有最小值有最小值02x2、2+的最小值为，此时的最小值为，此时x的值为的值为。x323（默（默12）当当t是怎样的实数时，

17、是怎样的实数时，有最有最小值？最小值是多少？小值？最小值是多少？012t解：12t不可能）(10122tt11110222ttt当当t=0时，时，有最小值有最小值112t（默（默13）小结：小结：1.1.怎样的式子叫二次根式？怎样的式子叫二次根式？2.2.怎样判断一个式子是不是二次根式？怎样判断一个式子是不是二次根式？3.3.如何确定二次根式中字母的取值范围？如何确定二次根式中字母的取值范围？.的式子叫做二次根式形如a)0(a（1）.形式上含有二次根号形式上含有二次根号（2 2）.被开方数被开方数a a为非负数，为非负数，从左看到右从左看到右;从上看到下从上看到下看到分数线看到分数线,分母不为

18、分母不为0 0看到偶次根式看到偶次根式,被开方数大于等于被开方数大于等于0 0看到看到0 0指数指数,底数不为底数不为0 0最后画数轴最后画数轴,写出解集来写出解集来新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！4.真正理解：真正理解：)0(2aaa aa2)0()0(aaaa这两个性质的概念，这两个性质的概念，我们才能我们才能灵活灵活地去解决有关二次根式的问题。地去解决有关二次根式的问题。解决二次根式类问题时特别注意条件，解决二次根式类问题时特别注意条件，有时还得挖掘有时还得挖掘隐含隐含条件。条件。（双重非负性）.0,0.5aa新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！二次根式的性质及它们的二次根式

19、的性质及它们的应用应用:（1）（2）2aaa0-a(a 0)(a=0)(a 0)0(,2aaa3.3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值根据非负数的性质，就可以确定字母的值.2.2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零.到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？思考：思考：为偶数）nan()0(aaa的双重非负性再议a非负数非负数的性质：的性质：1.1.几个非负数的和、积、商、乘方及几个非负数的和、积、商、乘方及算术平方根仍是非负数算术平方根仍是非负数cbacba则若（,023)223切入点切入点：

20、从字母的取值范围入手。从字母的取值范围入手。l1.已知已知 你能求出你能求出 的值吗？的值吗？442yxxxyl3.已知已知 ，你能求出，你能求出 a 的取值范围吗？的取值范围吗？13xxl2.已知已知 与与 互为相反数，互为相反数，求求 、的值的值.29xy3xyxy切入点切入点：从代数式的非负性入手。从代数式的非负性入手。l4.已知已知 为一个非负整数，试求非负整数为一个非负整数，试求非负整数 的值的值10aa切入点切入点：分类讨论思想。分类讨论思想。(4)1aa011000或10101或0aaaaaaaaa解:由题意得,(4)1aa 2.2.已知已知a,ba,b为实数，且满足为实数，且满

21、足 ，你能求出你能求出a a及及a+ba+b 的值吗？的值吗？12112bba2ab1.1.若若=0=0，则，则=_=_。3、已知、已知 有意义有意义,那那A(a,)在在 象限象限.二二a1由题意知由题意知a a0 0点点A(A(,)a22(5)(22)ab5.,12的值求自然数为一个整数nn可以为：a1212、11 11、8 8、3 31、求下列二次根式中字母的取值范围：（1）（2）（3）（4）43x21x1x2222y）（132x130216xx(1)解:由题意得,2(2)0yy可取全体实数(2)解:由题意得,21012xx(3)解:由题意得,43021210430430或21021041

22、32xxxxxxxx(4)解:由题意得,2x10200 且4xxxx解:由题意得,1.求下列各式有意义时的求下列各式有意义时的X取值范围：取值范围：|314xx|3014140|30|30或1401403或333或114413或34xxxxxxxxxxxxxx 解:由题意得,112xx xx631 232x 14x新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！_)3)(2(_)1()1(22_)4()4(_)311()3(22113431 2.数数a在数轴上的位置如图在数轴上的位置如图,则则 2_.a0-2-11aa1.填空填空_;)1()5(22x;_)6(2m12x)0()0(mmmm3.实数实

23、数p在数轴上的位置如图所示，在数轴上的位置如图所示，化简化简 222)1(pp121)2(1pppp22(4)(1)xx2222()()()()a b ca b cb a cc b a 6.x,y取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)xy22(2)x y解（：1）由 题 意 得，-xy0,即 xy0,0,x yx y是 异 号，两 数 都 为，或中 至 少 有 一 个 数 为 0,x y（2）中至少有一个数为0时，22x y有 意 义1.1.（20102010芜湖中考）要使式子芜湖中考）要使式子 有意义，有意义，a a的取值范围是（的取值范围是（）A.a 0 B.aA.a 0 B.

24、a-2-2且且a 0a 0 C.aC.a-2-2或或a 0a 0 D.a-2D.a-2且且a 0a 0【解析】【解析】选选D.D.要使式子要使式子 有意义，须同时有意义，须同时满足满足a+20a+20，a0a0两个条件，解两个不等式两个条件，解两个不等式可得可得a-2a-2且且a0 a0。aa2aa22 2下列式子一定是二次根式的是（下列式子一定是二次根式的是（）A A B B C C D D【解析】【解析】选选C.AC.A中只有当中只有当x-2x-2时，才是二次根式，故时，才是二次根式，故A A不一不一定是二次根式；定是二次根式；B B中当中当x0 x0时是二次根式，故时是二次根式，故B B

25、不一定是二不一定是二次根式；次根式；C C中无论中无论x x为何值，为何值，x x2 2+2+20 0，所以，所以C C一定是二次根一定是二次根式；式；D D中当中当x=0 x=0时，不是二次根式，所以时，不是二次根式，所以D D也不正确。也不正确。2x x22x 22x 若若a.b为实数为实数,且且求求 的值。的值。|2|20ab2221abb解解:20,a20b而220ab20,a20b 2,2ab2222原式112 13abab 3.新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！2(12)2(23)2(34)4.4.计算计算：+2)20112010(5.如果如果2(5)a+b-2=0，求以，求

26、以a、b为边长的等腰为边长的等腰 三角形的周长。三角形的周长。1201120102011.342312解原式122,5,02)5(2的周长为解ABCbaba新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！2(3)x 2x6.6.化简：化简：-（）2 2分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意分析：本题是化简，说明题中的每一个二次根式均在有意义的范围内，本题有一个隐条件，即义的范围内，本题有一个隐条件，即2-x0,x2.123,2,02xxxx原式解()()a xaa yaxaay22223xxyyxxyy7.设等式设等式在实数范围内成立，其中在实数范围内成立，其中a,x,y 是两两不等的实数

27、，求是两两不等的实数，求的值。的值。解：解：()()a xaa yaxaay313,02222yxyxyxyxyxyxa新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！巩固提高：巩固提高：2(32)x1.分别求下列二次根式中的字母的取值范围分别求下列二次根式中的字母的取值范围2(1)x32xx（1）（2）（3）23023).1(xx为全体实数x).2(23203).3(xxxx且且2.当当x_时时,33xx有意义有意义.=022()2()abba3.化简：化简：=_2a-3b4.要使式子要使式子 有意义，那么有意义，那么x的取值范围是（的取值范围是（）A、x0 B、x0 C、x=0 D、x0 xxC新

28、课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！332yxx3yx5.已知已知,求求的值。的值。3932,3,33,03032yxyxxxxx只有且且解 0 xy 2x y6.已知已知，化简：，化简：yxyxyxyxxy22,0,0:0,0得解由73,73xy22xxyy7.已知：已知：，求，求的值。的值。1612283)(4,72222xyyxyxyxxyyx解练习练习:1.用心算一算用心算一算:2471 2101 2712 22330.118232)5(12 232623 新课标教学网（）-海量教学资源欢迎下载！2.计算：计算：22)15()10()1(222)2(2)2(2)9(25)7()3(2

29、22)7354()5372()4(51510解原式22222222222解原式15357解原式352715173547253解原式 222211 01 5;272 59;322222.试试你的计算能力试试你的计算能力:215-5试试你的计算能力试试你的计算能力:22232421|;535323432.75571523352把下列各式写成平方差的形式，把下列各式写成平方差的形式，再在再在实数范围内分解因式；实数范围内分解因式；54)1(2x103)2(2a2252)1(）（）（原式解、x22103)2(）（）（原式a)52)(52(xx)103)(103(aa思路启迪：思路启迪：利用利用 可以把任何一个非负数或非负式子写成完全平方形可以把任何一个非负数或非负式子写成完全平方形式式 02aaa把下列各式写成平方差的形式，把下列各式写成平方差的形式，再在再在实数范围内分解因式；实数范围内分解因式；9)3(4a96)4(24aa2223)3(）（原式a22)3()4(a原式)3)(3(22aa)3)(3)(3(2aaa22)3()3(aa.,18的值求自然数为一个整数nnn为2，9，14，171(2)12 a101212012012aaaa解:由题意得,