球的内切和外接

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1、球的“内切”“外接”问题一、球的体积和表面积公式：4V二一兀R3 :;S =4兀R2球 3球面二、球与多面体的外接和内切定义 1.若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则这个多面体是这个球的内接多面 体;这个球是这个多面体的外接球。定义 2.若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则这个多面体是这个球的外切多面 体;这个球是这个多面体的内切球。与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中 也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认 真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键 而解。三、球与棱柱的组合体问

2、题1. 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中 心。设正方体的棱长为a， 球半径为R。如图1,截面 图为正方形EFGH的内切圆，得R =；22. 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切图1MD1切点为各棱的中点，C1可使这类问题迎刃如图2作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R二#a。3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3,以对角面AA作截面图得，圆O为矩形AACC的1 1 1外接圆，易得R二AO二辽a。1 24.构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面

3、一 顶点构成的直角三角形便可得球半径。例1.已知三棱柱ABC-ABC的六个顶点在球O上，又知球O与此正三棱柱的5个面都相1 1 1 1 2切，求球O与球O的体积之比与表面积之比。12分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。EA图4CiEiBi解：如图4,由题意得两球心0、0是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA和它们的球 12R2 =寻A，正三棱柱的高为H二2R2二T A心作截面，设正三棱柱底面边长为A，则RtAADO 中，得i i5AI 3丿= A 212，二 R1 Y/. S : S = R 2 : R 2 = 5 :1,1 2 1 2典型例题分析： 例1. （2010新课标文科）

4、设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为A.3兀 a2B.6 兀 a2C.12 兀 a2D. 24 兀 a2例2长方体一个顶点上出发的三条棱的长分别是3,4,5，且它的八个顶点在同一个球面上， 这个球的表面积是A. 25/2 兀 B.20：2 兀C. 55 D. 205例3.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2厘米的球面上，如果边正棱柱的底面边长为1 厘米，那么棱柱体积是例4.（2008新课标理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为 例5. （2010新课标

5、理科）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有的棱长都等于a，顶点都在同一 个球面上，则该球的表面积是C.11兀A23D图5例6.半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内， 若正方体的一边长为；6，求半球的表面积和体积。例7. （2009全国卷I理）直三棱柱ABC - ABC的各顶点都在同一球1 1 1面上，若AB二AC二AA二2 , ZBAC二120。，则此球的表面积等1于。四、棱锥的内切、外接球问题例2.棱长为A正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：正棱锥的外接球和内切球的球心都在高上。解：如图5所示，设点O是内切球的球心，由图形的对称性知，点O也是外接球的球心.设 内切球半径为

6、r，外接球半径为R .正四面体的表面积S表=4 x a 2 = .；3a 24正四面体的体积VA-BCD-1 x 込 a 2 x AE-卫 a 2 3412 AB 2 - BE 2-込 a2；a2 -12a 23 a3120 - S - r V3 表A- BCD3V:.r A BCDS表3 x 迢 a 3123a 2、:6a12在 RtABFO 中, BO2 = BE2 + EO2 ,J3 a3丿得 R =乎 a，得 R = 3r练习：一个正四面体内切球的表面积为3n，求正四面体的棱长。（答案为：2 ）【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正h3h四面体高的

7、四等分点，即内切球的半径为2 （ h为正四面体的高），且外接球的半径，从44而可以通过截面图中RtAOBE建立棱长与半径之间的关系。体积分割是处理内切球常用的方法。典型例题分析：例8. （2008福建卷15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为则其外接球的表面积是.例9.在球面上有P,A,B,C如果PA,PB,PC两两垂直，PA=1，PB=PC=迈,则这个球的体积是例10. （2008浙江卷）如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA丄平面ABC，AB丄BC，DA=AB=BC-3，则球0点体积等于例1.四面体S - ABC的三组对棱分别相等，且依次为2点3,5，该球的体积是例12. （2

8、009全国卷I文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球 面得到圆M，若圆M的面积为3兀，则球O的表面积等于例13正四棱锥S - ABCD底面边长和各侧棱长都为x/2,点S, A, B, C, D都在同一个球面上，该球的体积是 例14. （2010辽宁文数）已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA丄平面ABC , AB丄BC ,SA = AB = 1, BC = :2，则球O的表面积等于A.4兀B.3兀C.2兀D.兀例15.（2012新课标理科）已知三棱锥S - ABC的所有顶点都在球O的球面上，AABC是边长为 1的正三角形，SC为球O的直径，且SC = 2 ；则此棱锥的

9、体积为（）例16.（2011全国新课标理）。已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6, BC= 2羽，则棱锥O-ABCD的体积为.例17. （2011辽宁文科）已知球的直径SC=4,。A.,B是该球球面上的两点，AB=2，ZASC=Z BSC=45，则棱锥S-ABC的体积为例18. （2008湖北文科）用与球必距离为1的平面去截面面积为兀，则球的体积为A. 32n3B弓C. 8“2兀D.叵3例19.（2012新课标文科）平面a截球O的球面所得圆的半径为1，球心0到平面a的距离为弋2，则此球的体积为A.：6 nB.4叮3 兀C.4J6兀D. 63 兀【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是 指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截 面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。