电磁感应和麦克斯韦电磁理论

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1、第十二章 电磁感应和麦克斯韦电磁理论12-1将一条形磁铁插入一闭合线圈，线圈中将产生感应电动势。问在磁铁与线圈相对位置相同的情况下， 迅速插入和缓慢插入线圈中所产生的感应电动势是否相同？感应电流是否相同？因电磁感应所产生的总 电量是否相同？ 答：迅速插入在线圈中产生的感应电动势大，缓慢插入线圈中产生的感应电动势小。感应电流也不相同(因 为I二-:，但电磁感应所产生的总电量是相同的。R(因为q = Jldt = f-dt = J丄型dt =丄A,人相同，所以q相同)RR dt R12-2一闭合圆形线圈在匀强磁场中运动，在下列情况下是否会产生感应电流？为什么？(1)线圈沿磁场方向平移；(2)线圈沿

2、垂直于磁场方向平移；(3)线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行；(4)线圈自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。解：由 =型dt(1)因为空=0dt便=0dt71 d I =RR dt所以没有电流产生2)也没有电流产生)3)二0罟=0没有电流产生4)便H 0dt若转动的角速度为，则晋Rsin ( 为线圈平台与之间的夹角)12-3在一环状铁芯上绕有两组线圈1和 2，如题图所示，这样就构成了一个变压器。当在线圈1中所通电流I増大或减小时，在线圈2中都要感应电动势。判断在这两种情况下，线圈2中的感应电流的方向。1答：（1）当I增大，A增大，由楞次定律，I产生的磁场应阻碍变化，所以I的方向如图所

3、示（从B端流出）感（2）当I减小时，A减小，由楞次定律产生的磁场应阻碍变化 所以1的方向从A端流出。感12-4将一条形磁铁插入电介质环中，环内会不会产生感应电动势？会不会产生感应电流？环内还会发生什么现象？ 答:不会产生感应电流，但会产生感应电动势（很小）。环内还会产生极化现象，因为变化的磁场能产生 电场，因此会使电解质极化。12-5让一块条形磁铁顺着一根很长的竖直铜管下落，若忽略空气阻力，磁铁将作何种运动？答:条形磁铁顺着一根很长得竖直钢管下落，开始时加速度为g，由于条形磁铁运动。穿过钢管的磁通量 会发生变化。由楞次定律知钢管中的感应电流产生的磁场将阻碍此磁通量的变化。即阻碍磁铁下落。故随

4、着磁铁下落，磁铁的加速度将减少。最后加速度为零。（受力平衡。磁铁匀速度向下运动。11-6用题图中的装置可以观察电磁感应现象。导体环A是闭合的，而导体环B有一缺口，两环用细杆连 接，用竖直顶针支其中心点0,使两环可绕点O在水平面内自由转动。当用磁性很强的条形磁铁插入环A时”发现环向后退，而插入环B时，环不动。试解释所观察到的现象。答：A环闭合，当条形磁铁插入时，会产生感应电流，而感应电流产生的磁场会阻碍闭合回路中磁场的变化。因此环会向后退。B环不闭合，当条形磁铁插入时，会产生感应电动势，但不会产生感应电流，因此环不动。11-7在磁感应强度大小为B = 050 T的匀强磁场中，有一长度为l = 1

5、.5 m的导体棒垂直于磁场方向放置，如图11-11所示。如果让此导体棒以既垂直于自身的长度又垂直于磁场的速度v向右运动，则在导 体棒中将产生动生电动势。若棒的运动速率v = 4.0 m s 1,试求:导体棒内的动生电动势e的大小和方向；导体棒两端的电势差。已知：B = 0.50卩1 = 1.5加v = 4.0m - s-i求：K, E, 8 , u解:(1) K 二 二 vxBe方向如图K 二 4.0 x 0.50 二 2.0(2) E的方向与K方向相反，(3) 8 JK.dl = K.l = 2.0x 1.5 = 3.0(V)大小为2.0V - m-1方向由下向上(4 ) u =-8 = 3

6、.Q(V)上端为高电势下端为低电势11-8如图所表示处于匀强磁场中的导体回路ABCD其边AB可以滑动。若磁感应强度的大小为B = 0.5T，电阻为R = 0.2，AB边长为1 = 0.5 m，AB边向右平移的速率为v = 4 m s 1,求：作用于AB边上的外力；(2)外力所消耗的功率；(3)感应电流消耗在电阻R上的功率。已知:如图：B =0.5TR = 0.2l = 0.5 mv = 4m - s-1求：F P P外 外 R解：由安培定律：L x BLdX =业(5 x 5)2 x 4 = 1.25NR dt _R0.2F t =BIL = B - L ( B 丄 L 外RP 二夕卜二 F=

7、 1.25 x 4 = 5()夕卜Pr=12 R=忤-R=容=5（）11-9有一半径为r的金属圆环，电阻为R,置于磁感应强度为B的匀强磁场中。初始时刻环面与B 垂直, 后将圆环以匀角速度绕通过环心并处于环面内的轴线旋转/ 2求:(1)在旋转过程中环内通过的电量；(2)环中的电流；外力所作的功。XXXXXXKXXXXXXXXX羽X X解：如图所示 二BS - cos9 =兀r 2B cos 9g = -= i r2B sin 0 dtg兀 r 2 B sin 0兀 r 2 B sin t= =- = RRq = J Idt 士 牛 d0-罟（cos 吟罟g 2gCi r 2 B sin t -

8、w ）dA = 12 Rdt =dt = I = dt =dtRR兀 2 r 4 B 2 2 sin 2 t，兀 2 r 4 B 2 1 .A = Jdt =J 2 sin2 0d9-R 01 9 一 sin 20 2丿o兀 2 r 4 B 2兀 2r4B2 f 11 - cos 20.=J 2d0 =R 02R12-10 一螺绕环的平均半径为r = 10 cm,截面积为S = 5.0 cm2，环上均匀地绕有两个线圈，它们的总匝数分别为N1 = 1000匝和N2= 500匝。求两个线圈的互感。已知：r = 10cm s = 0.5cm2 N = 1000（匝）N = 500（匝）1 2求：M

9、M12 21解：若在线圈1中通以电流I，则在线圈中产生的磁感应强度为B =卩孚I10 l该磁场在线圈2中产生的磁场通量为O = NBS = N卩N IS =卩兰体IS 22 0 l0 l所以，两线圈的互感为M = NBS = N卩N1N2S =卩S22 0 l0 2ir1000 x 500 故：M = 4k x 10-7 xx5.0x 10-4 = 5.0x 10-4H2兀 x 10 X10-212-11在长为60 eg半径为2.0 cm的圆纸筒上绕多少匝线圈才能得到自感为6.010 3 H的线圈？已知：L = 6.0 x 10-3 H l = 60cm = 0.60m r = 2.0cm =

10、 2.0 x 10-2 m求：N解：在长直螺线圈管内部的磁场可认为是均匀的，并可以使用无限长螺线管内磁感应强度公式：NB =卩H =卩 I/通过每匝的磁通量为：申=BS =卩NISlN 2总磁通量为：=g =卩 ISL =史=卩竺S6.0 x10-3 x 0.604k x10-7 xk x(2.0x 10-2L -1 = S =故：N =:I l=1.5 x103 匝12-12 一螺绕环的平均半径为r = 1.2 10 2m截面积为S = 5.6 10 4m2线圈匝数为N = 1500=2.1x 10-2 H匝，求螺绕环的自感。已知：r = 1.2x 10-2m s = 5.6 x 10-4m

11、2 N = 1500匝求：L解：N2N24k x 10-7 x 15002 x5.6 x 10-4L = U s = U s =l2k r2kx1.2 x10-212-13若两组线圈绕在同一圆柱上，其中任一线圈产生的磁感应线全部并均等地通过另一线圈的每一匝。两 线圈的自感分别为和L2，证明两线圈的互感可以表示为：M = ,TT证： 二 LI = BS二 LI = BS1 1 1 1 1 2 2 2 2 2而：=M I = B S ；=M I = BS f12 12 1 2 1 21 21 2 1 2M12B SBS L B LBS i B ii ii21BS_BS L _B L2 L 1LB

12、S 2 B 22 2 2M M M12 21M 2 M M12 21B B2 L 1L L LB 1 B 2121 2故：M JL LN 1 2证毕12-14 一无限长直导线，其圆形横截面上电流密度均匀。若通过的电流为I,导线材料的磁导率为，证 明每单位长度导线内所储存的磁能为：w -巴2m 16兀证：J （设：圆形截石的半径为R）兀R 2由安培环路定理：J Hdl - 空兀R 2iIr2兀R 2-HB -2故W 1xJw 2兀r dr 出兰Jfdr 上匕丄R4 巴2 mm8 兀 2 R4 04兀 R 4 416 兀证毕12-15 一铜片放于磁场中，若将铜片从磁场中拉出或将铜片向磁场中推进，铜

13、片将受到一种阻力的作用。试解释这种阻力的来源。答：铜片进出磁场时，穿过铜片的磁通量将发生变化，由电磁感应定律知，将产生感应电动势，又铜片是 良导体，因此在铜片中将产生涡旋电流，涡旋电流产生的磁场将阻碍穿过铜片的磁通量的变化，即阻碍铜 片运动。12-16概述超导体的主要电磁特性。答：（1 ）零电阻性，电阻为零的现象称为超导电性，出现超导电现象的温度称为转变温度或临界温度，常 用TC表示。处于TC以上为正常态，处于TC以下为超导态。使有电流，理想超导体内部的电场也等于零。在超导体内部不可能存在随时间变化的磁场。（2）临界磁场，当把超导体放于磁场中，保持温度不变，而逐渐增大磁场，当磁感应强度达到某特

14、定值时，超导态转变为正常态。磁感应强度的这一特定值称为临界 磁场，用 BC 表示。（3）迈斯纳效应，无论是将超导体放置于磁场中并仍保持超导态，还是在磁场中将物 体由正常态转变为超导态,超导体都将把磁感应线完全排斥到体外去这种现象称为迈斯纳（W.F.Meissner,1882-1974）效应，或称完全抗磁性。（4 ）同位素效应，同一种超导材料的不同同位素的临界温度TC与同位素的原子量M有如下关系：T x M -2C12-17 什么是位移电流？试比较它与传导电流的相似和差异之处。答：麦克斯韦根据高斯定理、静电场的环路定理、磁场高斯定理和安培环路定理所得到的反映电磁场基本 规律的四个方程式，存在严重

15、的不对称性，在解决这种不对称性的过程中提出了位移电流的新概念。麦克斯韦将稳恒磁场中的安培环路定理：J Hdl = JJ j dS = I推广到非静情况，并引入空LS1 dta da d -称为位移电流密度，而把j +-D称为全电流密匾用全电流密度/ + -D取代传导电流密度j ，得到方 at at程：J H dl =L(a d j +S1 P 丿dS，这就是适用于一般情况的安培环路定理。O _ _ 一位移电流的确切涵义。将定义式D =e0E+P代入立移电流密度的表达式，得jd普“穿聲 此式右边第二项時是介质的极化状况随时间变化所提供的位移电流因为介质的扱化状况是与极化电荷 相对应的所以这是极化

16、电荷的变化引起的电流。右边第一叫罟是电场随时间的变化所贡献的位移电 流，是位移电流的基本组成部分。因为在真空中P =。，罟，所以S0罟成为位移电流的惟一成分。可 见，位移电流虽然也叫做电流 但并不一定与电荷的移动相对应。位移电流与传导电流一样都能激发磁场，但传导电流的形成需要电荷的移动产生，而位移电流则不一 定与电荷移动相对应并且位移电流可以在任意空间（包括真空）产生。12-18证明平行板电容器中的位移电流可以表示为：I二CdV式中C是电容器的电容，V是两极板间d dt的电势差。如果不是平行板电容器，而是其他形状的电容器，上式适用否？证：电容器中的位移电流，显然是在电容器被充电或放电时才存在的

17、。设电 容器在被充电或放电时，极板上的自由电荷为q，极板间的电位移矢量为D , a da则根据定义，立移电流可以表示为I匕一dS，或者：I H D dS根datd at据电容器形状的对称性，作高斯面刚好将电容器的正极板包围在其内部，并且高斯面的一部分处于电容器 极板之间，如图所示。这样，上式可化为：仃吕D dS冷区J嗥=C另在上面的证明中，虽然图是对平行板电容器画的，肇是证明过程并未涉及电容器的具体形状，并且对 所作高斯面的要求，对于其他形状的电容器都是可以办到的。所以，上面的结果对于其他形状的电容器也 是适用的。 证毕。12-19由两个半径为R的圆形金属板组成的真空电容器，正以电流充电，充电

18、导线是长直导线。求:(1)电容器中的位移电流；(2)极板间磁感应强度的分布。解：设极板上的电荷为q，则充电电流为：I二如dtq极板间的电场强度为：E -三 S o位移电流密度为：j =巴=竺二1 dqd at at s dt位移电流为：I二j s二dq这表示位移电流与充电电流相等。d d dt(2)在极板间与板面平行的平面上作半径为r的圆形环路L，其圆心处于两金属板中心连线上，并运用 安培环路定理，得：J B dl = I =卩JJ dS =卩 JJ dSo d o ato oatLdE因为磁场以金属圆板中心连线为轴对称，所以上式可以化为：2兀rB = 8 dE兀r2 0 0 dt1 dE解得

19、：B = p w r =2 0 0 dt1 1 dqp 8 r-2 0 0 8 S dt0p rI0 2兀R 2当r二R时，即在极板间、板的边缘附近，有：B = 2兀R12-20现有一功率为200 W的点光源，在真空中向各方向均匀地辐射电磁波，试求：(1)在离该点光源25 m处电场强度和磁场强度的峰值；(2)对离该点光源25 m处与波线相垂直的理想反射面的光压。解： (1)尽管由点光源发出的光波是球面波，但在距离光源25 米处的很小波面可近似看为平面，故可作为P 1平面简谐波处理。波平均能流密度可以表示为：S= =-EH4 兀 r 22 0 0另外，电场矢量与磁场矢量的峰值成比例国EH00 电

20、 00以上两式联立求解，可以解得：E 二0=4.4 V - m-1H0P2兀r 28-=1.2 x 10-2 A - m-1P0对理想反射面的光压可以表示为：p = 1E H = 1.8 x 10-10 N - m-2c0012-21 太阳每分钟垂直照射在地球表面每平方厘米上的能量约为8.4 J ，试求：(1)到达地面上的阳光中， 电场强度和磁场强度的峰值；(2)阳光对地面上理想反射面的光压。解： (1)根据已知条件，太阳光射到地球表面上的能流密度为：8.460 x10-4J - m-2 - s-1 = 1.4 x103 J - m-2 - s-11 1根据公式：S = EH = E 22 0 0 2 0c8 E 22 0 0可以求得电矢量的峰值：E =01E磁矢量的峰值为：B = E = 3.4xlO一6T或者：H 二 f 二 2.7A-m-10 c 0o 卩01阳光对理想反射面的光压：p = 一 E H = 9.2 x lO-io N - m-2 c00