练习刚体转动ppt课件

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1、 定轴转动的动力学问题定轴转动的动力学问题 刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应选用的规律，最后列方程求解。选用的规律，最后列方程求解。第一类：第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度求刚体转动某瞬间的角加速度，一般，一般。如质点和刚体组成的系统，对质点。如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角量和

2、线量的关联方程，并联立求解。量和线量的关联方程，并联立求解。解题指导解题指导 第二类：第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它。把它们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统始末状态的总角动量中各项的正负。对始末状态的总角动量中各项的正负。对在有心力在有心力场作用下绕力心转动的质点问题场作用下绕力心转动的质点问题，可直接，可直接。第三类：第三类：在刚体所受的在刚体所受的合外力矩不等于零时合外力矩不等于零时，比，比如木杆摆动，受重力矩作用，求

3、最大摆角等一般如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般应用刚体的转动应用刚体的转动。对于仅受保守力。对于仅受保守力矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律求解。求解。|另另 外：外：实际问题中常常有多个复杂过程，实际问题中常常有多个复杂过程，要分成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求要分成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。解。一质点一质点m，速度为速度为v，如图所示，如图所示，A、B、C 分分别为三个参考点别为三个参考点,此时此时m 相对三个点的距离分别为相对三个点的距离分别为d1、d2、d3例例1 1求求 此时刻质点对三个参考点的动量矩

4、此时刻质点对三个参考点的动量矩vmdLA1vmdLB10CLmd1d2 d3ABCv解解例例2 2 哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是 ,速率速率；它离太阳最远时的速率；它离太阳最远时的速率，这时它离太阳的距离，这时它离太阳的距离 m1075.810 近近日日r1-4sm1046.5 近近日日v1-2sm1008.9 远远日日v？远远日日 r远日远日v近日近日v近日近日r远日远日r解解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了彗星受太阳引力的作用，而引力通过了太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在

5、运太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运行的过程中角动量守恒行的过程中角动量守恒.于是有于是有 远远日日远远日日近近日日近近日日vrvr 远远日日远远日日近近日日近近日日，因因为为vrvr 远日远日近日近日近日近日远日远日所以所以vvrr m1026.512 远远日日r代入数据可代入数据可,得得 求求 角及着陆滑行时的速度多大？角及着陆滑行时的速度多大？mRMO0v0rv解解 引力场（有心力）引力场（有心力）质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒系统的机械能守恒系统的机械能守恒Rmsrmvv)in(00RGMmmrGMmm20202121vvsin4sin000vvvRr2/1200231vvvRG

6、M2/12023141sinvRGM例例 3 3 发射一宇宙飞船去考察一发射一宇宙飞船去考察一 质量为质量为 M、半径为半径为 R 的行星的行星.当飞船静止于空间距行星中心当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度时，以速度v 0发发射一质量为射一质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面 例例4在高速旋转的微型电机里，有一在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转开始起动时，角速度为零起动转轴旋转开始起动时，角速度为零起动后其转速随时间变化关系后其转速随时间变化关系为：为：,式式中

7、中 求求：(1)t=6s 时时电动机的转速电动机的转速(2)起动后，起动后，电动机在电动机在 t=6s 时间内转过的圈数时间内转过的圈数(3)角加速度随时间变角加速度随时间变化的规律化的规律)1(/tme，s0.2sr5401m(2)电动机在电动机在6s内转过的圈数为内转过的圈数为解解(1)将 t=6s 代入代入1sr513950m.)1(/tme66/0011d(1)d22tmNtet(3)电动机电动机转动的角加速度为转动的角加速度为22/srad540ddttmeetr1021.23例例5 5在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动开始时，

8、它的角速度过中心的轴转动开始时，它的角速度 ，经经300s 300s 后，其转速达到后，其转速达到 18000rmin-1 转子的角转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少转？过多少转？00解解 令令 ，即，即 ，积分，积分 ctcttddtttc00dd得得221ct当当 t=300s 时时11srad600minr18000322srad7530060022tc2215021tct221ct由由2150ddtt得得tttd150d020在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数43103)300(45022Nrad4503t设盘

9、厚度为设盘厚度为h,以盘轴心以盘轴心为圆心取半径为为圆心取半径为r,宽为宽为dr的的微圆环微圆环,其质量为其质量为h0drrdrRmr22dm=dvrdrhhRm22它对桌面的它对桌面的为为:例例6 半径为半径为R,质量为质量为m的均的均匀圆盘在水平桌面上绕中心轴匀圆盘在水平桌面上绕中心轴转动转动,盘与桌面间的摩擦系数为盘与桌面间的摩擦系数为,求转动中的摩擦力矩的大小求转动中的摩擦力矩的大小.drRmgrgdmdN22与桌面间的与桌面间的为为:rdrRmgdNdf2232312RRmgRdrrRmgdMM0222090sinrdfdM 该摩擦力的该摩擦力的为为:mgR32drrRmg2226-

10、1.关于刚体对轴的转动惯量关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是，下列说法中正确的是:(A)只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关.(B)取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关.(C)只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关.(D)取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置.6-2.有两个半径相同有两个半径相同,质量相等的细圆环质量相等的细圆环A和和B,A环的质量分布

11、均环的质量分布均匀匀,B环的质量分布不均匀环的质量分布不均匀,它们对通过环心并与环面垂直的轴的它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为转动惯量分别为JA和和JB,则则(A)JA JB.(B)JA JB.(C)JA=JB.(D)不能确定不能确定JA、JB哪个大哪个大.OFF6-3.一圆盘饶过盘心且与盘面垂直的轴一圆盘饶过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度以角速度 按图示方向按图示方向转动转动,若如图所示的情况那样若如图所示的情况那样,将两个大小相等方向相反但不在同将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力一条直线的力F沿盘面同时作用到圆盘上沿盘面同时作用到圆盘上,则圆盘的角速度则圆盘的角速度

12、:必然增大必然增大.(B)必然减少必然减少.(C)不会改变不会改变.(D)如何变化如何变化,不能确定不能确定.6-4.刚体角动量守恒的充分而必要的条件是刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 刚体不受外力矩的作用刚体不受外力矩的作用.刚体所受合外力矩为零刚体所受合外力矩为零.刚体所受的合外力和合外力矩均为零刚体所受的合外力和合外力矩均为零.刚体的转动惯量和角速度均保持不变刚体的转动惯量和角速度均保持不变.6-5.有一半径为有一半径为R的水平圆转台的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动滑轴转动,转动惯量为转动惯量为J,开始时转台以匀角速度开始时转台以匀角速度 0转

13、动转动,此时有此时有一质量为一质量为m的人站住转台中心的人站住转台中心,随后人沿半径向外跑去随后人沿半径向外跑去,当人到达当人到达转台边缘时转台边缘时,转台的角速度为转台的角速度为:(A)J 0/(J+mR2).(B)J 0/(J+m)R2.(C)J 0/(mR2).(D)0.6-6 均匀细棒均匀细棒OA可绕通过其一端可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖立位置的过程中下落，在棒摆动到竖立位置的过程中,角速度角速度 ，角，角加速度加速度 .(填填“从小到大

14、从小到大”，“从大到小从大到小”或或“保保持不变持不变”)OA从小到大从小到大从大到小从大到小6-8 一个作定轴转动的轮子一个作定轴转动的轮子,对轴的转动惯量对轴的转动惯量J=2.0kg m2,正以角速度正以角速度 0匀速转动匀速转动,现对轮子加一恒定的力矩现对轮子加一恒定的力矩M=7.0 m N,经过时间经过时间t=8.0s时轮子的角速度时轮子的角速度 =0,则则 0=.6-7 如图所示，一匀质细杆如图所示，一匀质细杆AB,长为长为l,质量质量为为m.A端挂在一光滑的固定水平轴上端挂在一光滑的固定水平轴上,细杆细杆可以在竖直平面内自由摆动可以在竖直平面内自由摆动.杆从水平位置杆从水平位置由静

15、止释放开始下摆由静止释放开始下摆,当下摆当下摆 时时,杆的角速杆的角速度为度为 .AB ABC6-9 一飞轮以角速度一飞轮以角速度 0绕轴旋转绕轴旋转,飞轮对轴的转动惯量为飞轮对轴的转动惯量为J1;另一静止飞轮突然被同轴地啮合到转动的飞轮上另一静止飞轮突然被同轴地啮合到转动的飞轮上,该飞轮该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍对轴的转动惯量为前者的二倍,啮合后整个系统的角速度啮合后整个系统的角速度 =.6-10 如图所示，如图所示，滑块滑块A、重物、重物B和滑和滑轮轮C的质量分别为的质量分别为mA、mB 和和mC，滑滑轮的半径轮的半径R，滑轮对轴的转动惯量为滑轮对轴的转动惯量为J=mCR 2/2滑块

16、滑块A与桌面间、与桌面间、滑轮与轴滑轮与轴承之间均无摩擦承之间均无摩擦,绳的质量可不计绳的质量可不计,绳与绳与滑轮之间无相对滑动，滑块滑轮之间无相对滑动，滑块A的加速度的加速度a=.例例7 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上.滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计.问：（问：（1）两物体的线加速度

17、为多少？两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？BmCmAmABCAmBmCm 解解 （1）隔离物）隔离物体分别对物体体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析，及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛取坐标如图，运用牛顿第二定律顿第二定律 、转动、转动定律列方程定律列方程.ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BIRFRFT1T2Ra T2FT1FCPCF 第三节第三节 转动定律转动定律2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF令令 ，得，得

18、0CmBABAT2T1mmgmmFF22棒下摆为加速过程，外力矩为棒下摆为加速过程，外力矩为重力对重力对O 的力矩。的力矩。重力对整个棒的合力矩与全部重力集中重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。作用在质心所产生的力矩一样。解：解：xOmgx例例3 一根长为一根长为l 质量为质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆置，求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。()()231mlJ cosmglM

19、21)(2cos331cos212为一变量lgmlmglJMmgxM 重力力矩为：重力力矩为：dddtddddtd ddlg2cos300cos23ddlglgJmglsin3sin例例 一根长为一根长为 l，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置解解cos21mglM 00dcos2dmglMA由动能定理由动能定理0212J0sin2lmglgsin32231mlJ 2/1)sin3(lg求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求

20、解OlmCxmg24 例题例题2 一根质量为一根质量为m、长为、长为 l 的均匀细棒的均匀细棒OA（如图），可绕通过其一（如图），可绕通过其一端的光滑轴端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中点摆到竖直位置时其中点C和端点和端点A的速度。的速度。解解 先对细棒先对细棒OA OA 所受的力作一分析；重力所受的力作一分析；重力 作用在棒的中心点作用在棒的中心点C C，方向竖直下；轴和棒之间没，方向竖直下；轴和棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支承力有摩擦力，轴对棒作用的支承力 垂直于棒和垂直于棒和 轴轴的

21、接触的接触 面且通过面且通过O O点，在棒的下摆过程中，此力点，在棒的下摆过程中，此力 的方向和大小是随时改变的。的方向和大小是随时改变的。GN GAA O C 在棒的下摆过程中，对转轴在棒的下摆过程中，对转轴O O而言，支撑力而言，支撑力N N通通过过O O点，所以支撑力点，所以支撑力N N的力矩等于零，重力的力矩等于零，重力G G的力矩则的力矩则是变力矩，大小等于是变力矩，大小等于mg(l/2)cos mg(l/2)cos ，棒转过一极小的角位移，棒转过一极小的角位移d d 时，重力时，重力矩所作的元功是矩所作的元功是d2dcoslmgW 在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的

22、功是在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是2d2d20lmglmgWWcos2212Jlmg由此得由此得Jmgl棒在水平位置时角速度0=0,下摆到竖直位置时角速度=,由转动动能定理得25代入上式得代入上式得因因231mlJ lg3所以细棒在竖直位置时，端点所以细棒在竖直位置时，端点A A和中心点和中心点C C的速度分别为的速度分别为gllvA3gllvC32122212Jlmg由此得由此得Jmgllg3所以细棒在竖直位置时，端点所以细棒在竖直位置时，端点A A和中心点和中心点C C的速度分别为的速度分别为gllvA3gllvC3212 应该指出应该指出:若系统中只有重力矩做功时

23、,机械能守恒。棒在水平位置时角速度0=0,转动动能为0，重力势能为 （选下摆到竖直位置hc=0），下摆到竖直位置时角速度=,转动动能为 重力势能为0。2lmg221J26例例 7：如图一质量为如图一质量为M 长为长为l的匀质细杆，中间和右端各有一质的匀质细杆，中间和右端各有一质量皆为量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方向成方向成角时角时,杆的角速度是多少杆的角速度是多少?mgl1.研究对象研究对象:杆杆+球球+地球地球=系

24、统系统重力重力mg保守内力保守内力;弹力其功为零弹力其功为零2.分析系统受力及力的功分析系统受力及力的功:3.取重力势能零点取重力势能零点:水平位置水平位置4.运动过程中系统满足机械能守恒的条件运动过程中系统满足机械能守恒的条件:解解:例例8 一长为一长为 l ,质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由转动转动.一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支的子弹射入竿内距支点为点为 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30.问子弹的初速率为问子弹的初速率为多少多少?vamm 解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统.子弹射入竿的过程系统角动量守恒子弹射入竿的过程系统

25、角动量守恒)31(22malmamvoamv302233malmamvoamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1(2lgm)30cos1(mga 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统，机械能守恒，机械能守恒.2233malmamv第四节第四节 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律29例例 9:如图长为如图长为l 的均匀细棒的均匀细棒,一端悬于一端悬于o点点,另一端自由下垂另一端自由下垂,紧紧靠靠o 点有一摆线长为点有一摆线长为l 的单摆的单摆,摆球质量为摆球质量为m,现将单摆拉到水现将单摆

26、拉到水平位置后平位置后,由静止释放由静止释放,设摆球在其平衡位置与摆做弹性碰撞设摆球在其平衡位置与摆做弹性碰撞后摆后摆 球恰好静止球恰好静止,试求试求:细棒的质量细棒的质量M;细棒碰撞后摆动的最大角度细棒碰撞后摆动的最大角度o30(一一)单摆下落过程单摆下落过程(AB):1.研究对象研究对象:摆摆 球球+地球地球=系统系统重力重力mg保守力力保守力力;绳的张力绳的张力T其功为零其功为零2.分析系统受力及力的功分析系统受力及力的功:3.取零点势能取零点势能:B点点4.AB过程系统满足机械能守恒条件过程系统满足机械能守恒条件:1 2122mlmgl lg/2BAmgTC31(二二)单摆与棒碰撞过程

27、单摆与棒碰撞过程(在在B点点):1.研究对象研究对象:摆摆 球球+棒棒+地球地球=系统系统2.设转轴正向垂直向里设转轴正向垂直向里;3.因为系统做弹性碰撞因为系统做弹性碰撞,故碰撞过程机械能和角动量皆守恒故碰撞过程机械能和角动量皆守恒设棒碰撞后的瞬时角速度为设棒碰撞后的瞬时角速度为 2 21 31212222mglmlMl 3 3122mlMl32例例8:如图长为如图长为 l ，质量为，质量为 m的均匀直棒静止在一光滑的水平面的均匀直棒静止在一光滑的水平面上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为m 的小球以的小球以水平速度水平速度 vo 射垂直于棒冲

28、击其一端发生弹性碰撞。求碰撞后射垂直于棒冲击其一端发生弹性碰撞。求碰撞后球的速度球的速度v和棒的角速度和棒的角速度。lmvomo33解解:定转轴正向指上；定转轴正向指上；以子弹和杆为系统，则以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒动能系统的角动量守恒动能守恒。守恒。mvomovm212122mlvmlvmlolmmvmo)3(122222121212121mlvmvmo)3()3(mmvmmvoZ 8.如图所示，一根质量为如图所示，一根质量为M、长为、长为2l 的的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平轴转动，开始时细棒静止于水平的光滑水平轴转动，开

29、始时细棒静止于水平位置位置.今有一质量为今有一质量为m 的小球，以速度的小球，以速度 垂垂直向下落到了棒的端点，设小球与棒的碰撞直向下落到了棒的端点，设小球与棒的碰撞为完全弹性碰撞为完全弹性碰撞.试求碰撞后小球的回跳速试求碰撞后小球的回跳速度度 及棒绕轴转动的角速度及棒绕轴转动的角速度 .uv oMllum解解 分析可知分析可知,以棒和小球组成的系统的角动以棒和小球组成的系统的角动量守恒量守恒.由于碰撞前棒处于静止状态，所以由于碰撞前棒处于静止状态，所以碰撞前系统的角动量就是小球的角动量碰撞前系统的角动量就是小球的角动量 ;lmu由于碰撞后小球以速度由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒获得的角回跳

30、，棒获得的角速度为速度为 ，所以碰撞后系统的角动量为，所以碰撞后系统的角动量为 231Mllmv 由角动量守恒定律得由角动量守恒定律得 231Mllmvlmu 由题意知，碰撞是完全弹性碰撞，所以由题意知，碰撞是完全弹性碰撞，所以碰撞前后系统的动能守恒，即碰撞前后系统的动能守恒，即 222231212121 Mlmvmu联立以上两式，可得小球的速度为联立以上两式，可得小球的速度为uMmMmv 33棒的角速度为棒的角速度为luMmm 36 0 v要保证小球回跳要保证小球回跳 ，则必须保证，则必须保证 .mM3 讨论讨论:例例1 质点与质量均匀的细棒相撞质点与质量均匀的细棒相撞(如图如图)解：过程解

31、：过程1 质点与细棒相碰撞质点与细棒相碰撞 碰撞过程中系统对碰撞过程中系统对o 点点 的合力矩为的合力矩为0MolMm0设，完全非弹性碰撞设，完全非弹性碰撞求：棒摆的最大角度求：棒摆的最大角度所以，系统对所以，系统对o点的角动量守恒。点的角动量守恒。即，即，21LL 131220mlMllmP.38/34第3章 刚体力学基础 质量为质量为M、长为、长为2l的均的均质细棒，在竖直平面内可绕中心质细棒，在竖直平面内可绕中心轴转动轴转动.开始棒处于水平位置，开始棒处于水平位置，一质量为一质量为m的小球以速度的小球以速度u垂直垂直落到棒的一端上落到棒的一端上.设碰撞为弹性设碰撞为弹性碰撞，求碰后小球的

32、回跳速度以碰撞，求碰后小球的回跳速度以及棒的角速度及棒的角速度.OulmJmulv由系统角动量守恒由系统角动量守恒机械能守恒定律机械能守恒定律222212121JmmuvmMmMu3)3(vlmMmu)3(6解得解得解法二解法二y取向上为取向上为y正方向正方向设碰撞时间为设碰撞时间为 t由动量定理：由动量定理：)(mumtFv角动量原理：角动量原理：0JtlF消去消去 tlmJmulv由机械能守恒定律由机械能守恒定律222212121JmmuvmMmMu3)3(vlmMmu)3(6解得解得P.39/34第3章 刚体力学基础例例11 一质量为一质量为M长度为长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动

33、。的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v 和和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。试求杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。试求:1.碰撞后系统的角速度；碰撞后系统的角速度；2.碰撞后杆子能上摆的最大角度。碰撞后杆子能上摆的最大角度。）LmML43v解：解：碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒)JJ(LmvMm 43243)L(mJm 231MLJM 223116943MLmLmvL 上摆过程机械能守恒，得上摆过程机械能守恒，得：)cos(LMg)cos(Lmg)JJ(mM 121432

34、12 gL)Mm)(Mm(vmcosarcmax311692143329122 注意：橡皮注意：橡皮泥和杆子的泥和杆子的零势点取得零势点取得不同。不同。例例2 已知：细棒如图已知：细棒如图 olM求：任意位置时，轴给细棒的作用力求：任意位置时，轴给细棒的作用力解：设任意位置时，细棒角速度为解：设任意位置时，细棒角速度为 设轴给细棒的作用力为设轴给细棒的作用力为 Fn Ft作细棒受力图作细棒受力图nFtFMgco 1coscnnMaMgF 2sincttMaMgF22lacn2lact 431sin22MllMgolMnFtFMgco(3)联立联立得解得解420)312(212222Mlmllm

35、sinsin2sin2mgllmglMgsin)415()3(12glMmmM43 例例10:如图长为如图长为 L 的均匀直棒其质量为的均匀直棒其质量为M,上端用光滑水平轴吊上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹质量为起而静止下垂。今有一子弹质量为m,以水平速度以水平速度vo 射入杆的射入杆的悬点下距离为悬点下距离为 d 处而不复出。处而不复出。(1)子弹刚冲入杆中时杆的角速度为子弹刚冲入杆中时杆的角速度为多大多大?（2）子弹冲入杆的过程中）子弹冲入杆的过程中(经历时间为经历时间为t),杆杆的上端受轴的水平和竖直分力各多大的上端受轴的水平和竖直分力各多大?(3)要想使杆不受轴水平力要想使杆

36、不受轴水平力,则子弹应在何则子弹应在何处击中杆处击中杆?mvodoL44mvodoLcfFyFxMgactacn解解:1.定转轴正向指外，建立直角坐标系如图；定转轴正向指外，建立直角坐标系如图；2.隔离物体分析力；隔离物体分析力；mgf（1）子弹冲入杆的过程中，以子弹和杆为）子弹冲入杆的过程中，以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒。系统，则系统的角动量守恒。)31(22mdMLdmvo设子弹刚冲入杆中，子弹和杆共同的设子弹刚冲入杆中，子弹和杆共同的角速度为角速度为，则由角动量守恒定律可得，则由角动量守恒定律可得2233mdMLdmvooXY45（2）子弹冲入杆的过程中，子弹受杆的阻力）子弹冲入

37、杆的过程中，子弹受杆的阻力tmvmvfotmvmdo杆受子弹的冲力杆受子弹的冲力:fftmdmvo对杆用质心运动定律对杆用质心运动定律:X方向方向:ctxMafFtLM2tLMfFx2tmvtmdMLo)2(mvodoLcfFyFxMgactacnmgf杆受轴水平方向的分力杆受轴水平方向的分力:46mvodoLcfFyFxMgactacnmgfY方向方向:cnyMaMgF22LMMgLMFy22杆受轴竖直方向的分力杆受轴竖直方向的分力:(3)当杆不受轴水平方向的分力时当杆不受轴水平方向的分力时:0)2(tmvtmdMLFoxLd3247 0例例2 一个飞轮的质量为一个飞轮的质量为69kg，半径

38、为半径为0.25m,正在以每分正在以每分10001000转转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为最后停下来。摩擦系数为0.46。求闸瓦对轮子的压力求闸瓦对轮子的压力N为多大？为多大？（J=mR2 ）解：解：飞轮制动时有角加速度飞轮制动时有角加速度t0 2rad/s.920 外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。0Nfr 2mRJNRRfMr 2mRNR NmRN784 st 50 rad/s./710410000 分分转转 421149,P作作业业：P.48/34第

39、3章 刚体力学基础 一半径为一半径为R、质量为、质量为m的的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上均匀圆盘平放在粗糙的水平面上.若它的初速度为若它的初速度为 0，绕中心，绕中心O旋旋转，问经过多长时间圆盘才停转，问经过多长时间圆盘才停止止.(设摩擦系数为设摩擦系数为)ORdrr解：解：考察半径为考察半径为r宽度为宽度为dr的圆环的圆环rmgrFMddd22d2d2dRrmrrrRmm22d2dRrgrmMmgRRrmgrMMR32d2d022摩擦力矩为摩擦力矩为:由转动定律由转动定律tJMddtmRmgRdd21322d43dgRt000d43dgRttgRt430P.49/34第3章 刚体力学基础.一

40、半径为一半径为R、质量为、质量为 M 的的转台，可绕通过其中心的竖直轴转转台，可绕通过其中心的竖直轴转动动,质量为质量为m 的人站在转台边缘，最的人站在转台边缘，最初人和转台都静止初人和转台都静止.若人沿转台边缘若人沿转台边缘跑一周跑一周(不计阻力不计阻力)，相对于地面，人，相对于地面，人和台各转了多少角度？和台各转了多少角度？R轴对转盘轴对转盘的摩擦力的摩擦力矩可忽略矩可忽略选地面为参考系，设对转轴选地面为参考系，设对转轴人：人：J,;台：台：J ,系统对转轴角动量守恒系统对转轴角动量守恒0JJ其中其中2221MRJmRJMm2得得人对转台的角速度为：人对转台的角速度为：MmM2 人沿转台边人沿转台边缘跑一周缘跑一周 2dt2d2ddttMmMt人相对地面转过的角度人相对地面转过的角度:MmMt22d台相对地面转过的角度台相对地面转过的角度:Mmmt2)2(2d