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1、第五章 大数定律和中心极限定理我们知道，概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学分之。但是，只 有对大量随机现象进行观测时，随机现象的统计规律性才会呈现出来。为了考察 “大量”的随机现象，就导致了极限定理的研究。概率论中极限定理的内容是很 广泛的，其中最主要的是大数定律和中心极限定理。大数定理在引入大数定理之前，我们先证明一个重要的定理.切贝雪夫不等式对于任何具有有限方差的随机变量X都有产|盂一应苟|其中是任一正数。证设是盅的分布函数，则显然有 r A计叫切贝雪夫不等式也可以表示成* 。由于切贝雪夫不等式只利用随机变量的数学期望改担及方差级就可对X的概率分布进行估计， 因此它在理论研究及
2、实际应用中有价值。从切贝雪夫不等式还可以看出，当方差 越小时，事件冋加圻矽乘觀发生的概率也越小，从而可知，方差确实是一个 描述随机变量与其期望值离散程度的一个量。例1设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为，假定灯的开、 关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200 盏之间的概率。解 令/表示在夜晚同时开着的灯数目，则/服从门=10000, p=的二项分布，这，由切贝雪夫不等式可得(6800 X 7200 =(|Z-7000| 4 = 0 有心0它等价于叱吟I贝努里大数定律是研究这种极限定理的第一个定律，也是一个从理论上证明随机 现象的频率具有稳定
3、性的定律。下面我们给出由贝奴里在1713年发表的这个定 律的证明。证 设逅是第次试验中事件卫发生的次数，由逅服从参数为0的(0-1)分布,_段,D(XJ) - pq，其中p - l-pi -1,23电X,左2扎相互独立且卩，从而知巩色=D(竺扣=壮匹住廿叟由切贝雪夫不等式有因此In辽尸|些尹|3禺=0 亦即PL-pC 訥=1贝努里大数定律证明了在大量重复实验时，随机事件的频率在它的概率的附近摆动，若事件丄的概率很小，则正如贝努里定律所指出的，事曲的频率也很小, 或者说事件丄很少发生。“概率很小的随机事件在个别试验中是几乎不能发生的”这一原理称为小概率事 件的实际不可能性原理。它在国家经济建设中
4、有着广泛的应用。至于“小概率” 小到什么程度才能看作实际上不可能发生，则要视具体情况的要求和性质而定。 例如，自动车床加工零件出现次品的概率为，若零件的重要性不大而价格又低， 则完全可允许有1%的次品率，即可忽视100个零件中出现一个次品的可能性。 但如果制造一批降落伞出现的次品的概率为，显然在这种情况下，这 1%的忽视 也是绝对不允许的，因为它可能危及这百分之一跳伞者的生命。贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法。既然频率芒与概率 戸有较大偏差的可能性很小，那么我们就可以通过做试验确定某事件发生的频 率并把它作为相应概率的估计，这种方法称为参数估计，它是数理统计中主要的 研究课题
5、之一。参数估计的一个重要理论基础就是大数定律。设人舔V血是一个互相独立的随机变量序列，“是一个常数，若对于任意正 数，有鹽円FzK幼-1，则称序列儿止托，,依概率收敛于a。因此，由贝奴里大数定律可得：设用是抿次独立试验中事件丄出现的次数，而四是事件虫在每次试验中出现的概率，则频率七依概率收敛于概率戸。人们在事件中还发现，除了频率具有稳定性之外，大量观察值的平均值也具有稳 定性。这就是切贝雪夫大数定律。切贝雪夫大数定律 设随机变量 况，相互独立,每一随机变量都有数学期望和有限的方差D（，,，并且它们有公共上界c,即5”,则对任意的，皆有珥|工耳-_丫氓坦）|1.29相互独立，所以1 K1K1厂璋
6、 i-1“ 2.11 1 联2复）=*（禺）又因，由切贝雪夫不等式可得1 K卫代|工忑-工区）|J:-lH i-1所以咗检挣eg叩二p曰 弋K 于疋，卫1 ra咗厂詔辱心I在1866年由俄国数学家切贝雪夫证明的大数定律是关于大数定律大的一个相当 普遍的结论。贝努里大数定律就是切贝雪夫大数定律的一个特例。切贝雪夫大数定律表明相互独立的随机变量的算术平均值与数学期望的算术平均值的差在旅充分大时是一个无穷小量，这也意味着在旅从分大时,经算术平均后得到的随机变量蛊8的值将比较紧密地聚集在它的数学期望 丑的附近。有切贝雪夫大数定律还得益的下面的推论:设独立随机变量况，.服从同一分布，并且有数学期望“及方差；，则1 K耳為也的算术平均值耳二F在股 8时,依概率收敛与数学期望戊,即对任意正数上述推论，是我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。如我们要测量某一 物理量氏，在不便条件下重复进行报次，得盛个测量值X,显然它们 可以看成是旅个相互独立的随机变量，具有相同的分布，并且有数学期望蹈。由 大数定理可知，当旅充分大时，推次测量值得平均值可作为卫得近似值：心圣十乜则由此所因发的误差是很小的。
第五章大数定律和中心极限定理
