第三招特殊几何外接球

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1、秒杀知识点球内接几 何体有一 条侧棱垂 直于底面特殊球内 接三棱锥 或正四棱 锥3 特殊几何体外接球的计算底面为正三角形三棱锥（柱）R2 = -h2 +-a2 （ h为高，a为底边长）43底面是等腰直角三角形三棱锥（柱）R2 =一h2 + a2 （ h为咼，a为底面短边长） 42底面是等腰三角形（30, 30120）三棱锥（柱）R2二一h2 + a2 （ h为咼，a为底面短边长）4底面是直角三角形（30, 60，90三棱锥（柱）R2二一h2 + a2 （ h为咼，a为底面短边长）4底面是矩形四棱锥（柱）1a 2 + b2R2 - h2 +（ a,b为底面短长、宽）44底面是一般直角三角形三棱锥

2、（柱）R2 - h2 +（ a,b为底面两直角边）44侧棱两两垂直的三棱锥R2 - a2 + b2 + C2 （ a，b，c为三侧棱长）4对棱两两相等的三棱锥R2 - a2 + b2 + c2 （ a，b，C为三对对棱长）正三棱锥R2 -（ h为咼，a为底面边长）6h正四棱锥R2 -（ h为咼，a为底面边长）4h秒杀思路分析记忆方法：（1）第一类几何体均有丄h2，三棱柱丄a2，等腰直角三角形1 a2，矩形竺土竺4 3 2 4（2）第二类几何体，两两垂直为1，两两对等为丄.正三棱锥为36,正四棱锥24.48记忆方法：（1）第一类几何体均有丄h2，三棱柱丄a2，等腰直角三角形丄a2，矩形竺土竺4

3、3 2 4【证明】公式，如图，PA丄平面ABC .第二类几何体，两两垂直为+，两两对等为1 正三棱锥为，正四棱锥27设外接球的球心为0，过A，B，C作球小圆圆心为0 ,连接P0并延长交 1则A，q，M共线，连接AO,则0叮+ PA =切.0A=R，A01 七a R2=公式，把三棱锥放入如图所示的长方体内，令长方体长、宽、X 2 + y 2 = c 2则 X 2 + z 2 = a 2 z 2 + y 2 = b2外接球直径(2R)2 =x2+y2+ z2= a2 + b2 + C2，故 R2 =a2+b2+ c2其他公式请同学们自行证明.秒杀思路分析这里给出的几种特殊几何体只是高考中出现频率较

4、高的类型，并不是全部.解题关键就是判断试题给出 的几何体是属于哪种类型，然后再代入公式“速解”，也有可以转化为以上几种类型之一的形式的试题. 只有多练习、强化记忆才能熟练掌握。特别是对于文科学生做图比较困难，空间想象力较差的同学，熟记公 式更能体现“秒杀”效果.【示例1（2008年浙江卷理14）已知球0的面上四点A，B，C，D，DA丄平面ABC ，AB丄BC，DA = AB = BC =、為，则球0的体积为.先判别几何体类型。如题中一棱垂直于底面的三棱锥即为第一大类，底面为等腰直角三角形，即用公式 .【秒杀方法】由公式得，R2 = 1 h2 +丄a2 =丄x3 +丄x3 = 9，则V = nR

5、2 xR = nx x = n .4 2 4 24 球 33 4 2 2【示例2】（2013年辽宁卷理10）已知直三棱柱ABC- ABC的6个顶点都在球0的球面上，若AB = 3，111AC = 4，AB丄AC，AA = 12，则球0的半径为（）1AB. 2.10132D. 3.-10经判别为第一类几何体，底面为直角三角形，利用公式即可秒杀方法】4沪+仅怯+选择 C.【示例3】在三棱锥A -BCD中,AB = CD = 2，AD = BC 忑，AC = BD =、订，则三棱锥A BCD外接球的表面积为此几何体恰为对棱两两相等，即符合公式.【秒杀方法】R2 =a 2 + b2 + c 28=2

6、即 S = 4nR2 = 8n .球方法对比【例 1 （2014年全国大纲卷理8、文10）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ）A.乎nB. 16nC. 9nD.乎n常规方法秒杀方法如图，设球心为O，半径为r，则在RtAAOF中，有公式得：ER2h2 +a 22 x 42 + 229八4h4 x 44n所以S说=-81 n，故选A./球4| 厂AB(4 r )2 + (V2)2=r2，即卩 r =94所以该球表面积S =4 nr 2 = 81 n1 = n球14丿4故选A.【例2（2018年沈阳郊联体一模文11）已知三棱锥S -ABC的所有顶点都

7、在球O的球面上，SA丄平面ABC ,SA = 273，AB=1 ， AC = 2，ZBAC = 60。，则球O的表面积为（)A. 4nB.8nC.12nD. 16n常规方法秒杀方法如图，在ABC中，有余弦定理得：BC2 = AB2 + AC2 2AB - AC cos ABAC1=12 + 22 2 x 1 x 2 x 2=3由 ABAC = 60。, AB =丄 AC，得2AACB = 30。.由公式得 AC2 = AB2 + BC2，艮卩 AB 丄 BC.可知SC为球O的直径，所以(2 R)2 = (21 2+12+G-3) 2 = 16 即S =16n .故选D.球秒杀训练1R 2 =

8、h 2 + a 2 41=x 22 x 3 + 12 4=4即 S =4nR2 = 16n，故选 D. 球【试题1】三棱锥S ABC中，SB丄平面BC，SB = 5， ABC是边长为再的正三角形，则三棱锥S ABC的外接球的表面积为()A. 3nB. 5nc. 9nD. 12n【解析】由公式得：R = 1；7h2+3a2 飞ixG-5)2 + 丄 x G3) 2 = 332所以S = 4nx(I卜9n 故选C .【试题2】在三棱柱ABC ABC中，侧棱AA垂直于底面，AACB = 90。，ABAC = 30。，BC = 1，1 1 1 1柱ABC ABC的体积为3,则三棱柱ABC ABC的外接

9、球表面积为.1 1 1 1 1 1【解析】在RtAABC中，AC = 1 =再tan 30。所以由匕、=Sh =丄 AC - BC - h =丄 x 1 xj3 h = 3,解得 h = 23 .柱 22且三棱由公式得 R:1 h2 + a2三 x （23）2 +12 = 2所以 S = 4n x 22 = 16n.【试题3】在正三棱锥S - ABC中，M , N分别是棱SC , BC的中点，且AM丄MN，若侧棱SA = 2叮3 ,则正三棱锥S - ABC外接球的表面积是.【解析】正三棱锥本身有一个特点：对棱互相垂直，本题中，AC丄SB，又SB丄MN，由已知得AM丄SB， 于是SB丄平面SAC

10、，从而SA丄SC，即此棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度相等，所以由公式得:a 2 + b2 + c 24严、2 + (23)2 + (2*3)2 = 3所以 S = 4n x 32 = 36n .【试题4】在正三棱锥P- ABC中，PA = PB = PC =爲，侧棱PA与底面ABC所成的角为60。，则该三棱锥外接球的体积为( )A. nB.C. 4nD.33【解析】过P点作底面ABC的垂线，垂足为O，则h = PO = PA - sin60o = -，AO = PA - cos60= 3，所以22G) + 3xQa = AB = w3 - AO =.所以由公式得：R = a + 3 =2- =

11、 1，所以 V = nx 13 = 4-，故选D .26h6 x 3332试题 5 九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所 示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（ ）A.坠3nB. 8nC. 6nD.33條视图【解析】易求得底面腰长为迈，则由公式得：R 2 = 1 h2 +1 a 2 = 2 :喀=8n真题回放【试题1 （2016年东北三省三校高三联考）三棱柱ABC- ABC各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直,111ZACB = 120。, CA = CB = 23 , AA1 = 4，则这个球的表面积为.【解析】由公式得：R 1 h2 + a2 二

12、、:1 x424n x 42 = 64n.【试题 2 （2018 年东北三校高三一模文 10）如右图是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为 （）A.鱼B.上3nC.亟5nD.拓n【解析】由已知底面为等腰直角三角形，腰长为2，由公式得R2 =丄h2 +丄a2 =丄x 12 +丄x 2 = d ,42424V = nR2 x R = n x x 丄5 =n .故选择 C.球 33426【试题 3 （2018 年青岛二中高考模拟理15）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为【解析】如图，三棱锥即为P- ABC . BC丄平面PAC

13、，则三棱锥可看成B - PAC.即三棱锥的侧棱BC丄底面PAC 高h = BC = 1，PAC中AC = 1，PA =、辽，PC =常5 易求APAC的外接圆直径2r = 7応过C作CM丄AC，连接为球面上的点，则MC = 3,由公式得R 2 =丄 h 2 + a 2 + b 2 =心旦 + 12 + 32 =11 ,外接球表面积 S = 4nR 2 = lln.44444球【试题4 （2018年哈尔滨三中二模文10）已知三棱锥S - ABC的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，AB是边长为4的等边三角形，三棱锥S-ABC的体积为|，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A68n3B 16 n

14、C64 n3【解析】设棱锥咼为h , S = x4x4x= 43 ,V =丄乂4畧3 x h =abc 2233 h=不妨令SA丄底面，则由公式得：R2 =丄 h2 + 丄 a2 = - x 4 + 丄 x 42 =17， S = 4nR2 =锂.故选择 A.434333球3【试题5 （2016年黑龙江预赛）在ABCD中，AB - BD = 0，沿BD折成直二面角A - BD - C，且4AB2 + 2BD2 = 1，则三棱锥A -BCD的外接球的表面积为（）48迈n24解析】令 AB = a ， AD = b ， DC = a ， BC = b . BD2 = b2 - a 2 。由 4AB

15、2 + 2BD2 = 1 ，由公式得，R2 =丄h2 + a2 + BD2 =丄a2 + a2 + b2-a2 =心匹=丄，S = 4nR2 =匹，444448 球2故选 A.四面体的余弦定理设四面体P- ABC中，NPBC，NPCA，APAB，AABC的面积分别为S，S，S，S，而以PA , abcpPB，PC为棱的二面角大小分别为a，卩，丫，则有:S 2 = S 2 + S 2 + S 2 2S S cos y 2S S cos a 2S S cos Bp a b c a bb ca c一般地有：四面体任意一个面的面积的平方，等于其余三个面面积的平方和，减去这三个面中每两个面 的面积与它们所夹二面角的余弦乘积的两倍.（利用此定理可解有关二面角问题）