第四节几类特殊类型函数的积分

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1、第四节 几类特殊类型函数的积分几类特殊类型函数的积分从前面几节的学习，大家可能已经体会到：从前面几节的学习，大家可能已经体会到：求不定积分不象求导数有一个固定的方法。求不定积分不象求导数有一个固定的方法。求不定积分的方法很灵活，怎样将一个不定积分求不定积分的方法很灵活，怎样将一个不定积分求出来，具体用什么方法，因具体的积分而异。求出来，具体用什么方法，因具体的积分而异。不仅如此，另外，还有这样的情况：不仅如此，另外，还有这样的情况：某些函数积不出来！某些函数积不出来！即：它的原函数不能用初等函数的有限形式表示。即：它的原函数不能用初等函数的有限形式表示。例如：例如：dxxdxxxdxxdxex

2、411,sin,ln1,2积不出来！积不出来！于是，人们就想：于是，人们就想：是否有某些类型的函数是否有某些类型的函数按照特定的方法就一定能积出来？按照特定的方法就一定能积出来？答案是肯定的！答案是肯定的！下面就来给大家介绍几类这样的函数。下面就来给大家介绍几类这样的函数。一一.有理函数的积分有理函数的积分dxxQxP)()(有理函数：有理函数：两个多项式的商两个多项式的商)()(xQxP mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxa 11101110.0,0),.,2,1,0(,),.,2,1,0(,00 bamjbniaji且且为常数，为常数，其中其中为真分式为真分式时，称有理函数时，称有

3、理函数 )()(xQxPmn 为假分式为假分式时，称有理函数时，称有理函数 )()(xQxPmn 假分式假分式多项式除法多项式除法多项式多项式+真分式真分式例例1123 xxx112 xx计算步骤：计算步骤：1.将将)()(xQxP化为真分式化为真分式2.用待定系数法将真分式用待定系数法将真分式)()(xQxP分解为部分分式分解为部分分式之和之和(1)将将)(xQ分解为质因式之积，分解为质因式之积，即：因式分解即：因式分解(2)(xQ含有因式含有因式kax)(时，时，的分解式中就对应着的分解式中就对应着k个部分分式：个部分分式：kkaxAaxAaxA)(.)(221 )()(xQxP)(xQ含

4、有因式含有因式)04(,)(22 qpqpxxk时，时，的分解式中就对应着的分解式中就对应着k个部分分式：个部分分式：kkkqpxxCxBqpxxCxBqpxxCxB)(.)(22222211 )()(xQxP（3）确定系数确定系数),.,2,1(,kiCBAiii 3.求积分求积分dxax 1dxaxk )(1dxqpxxCBx 2dxqpxxCBxk )(2)04(2 qp)04(2 qpdxax 1)(1axdax dxaxk )(1)()(1axdaxk dxqpxxCBx 2dxqpxx 2 )2(px 2B)2(BpC )(1 2 22qpxxdqpxxB dxpqpxBpC )4

5、()2(1)2(22)(1 2 22qpxxdqpxxB )2()4()2(1)2(22pxdpqpxBpC 0dxqpxxCBxk )(2dxqpxxk )(2 )2(px 2B)2(BpC )()(1 2 22qpxxdqpxxBk dxpqpxBpCk )4()2(1)2(22)(1 2 22qpxxdqpxxBk ）（)2()4()2(1)2(22pxdpqpxBpCk 0 用递推公式用递推公式例例1 求求dxxxx 23132解解23132 xxx是真分式是真分式232 xx)2)(1(xx设设23132 xxx 1 xA 2 xB即即 13x)1()2(xBxA 13xBAxBA

6、2)(比较系数，得比较系数，得 3 BA12 BA解得解得 4 A7 B 23132xxx2714 xx（*）dxxxx23132 dxxx)2714(dxxdxx 217114)1(114 xdx)2(217 xdx|1|ln4 x|2|ln7 xC 另解：另解：在（在（*）式中，）式中，得得取取,2 xB 7得得取取,1 xA 44 A 4 A7 B例例2 )2()1(2xxdx解解设设 )2()1(12xx2)1(1 xBxA 2 xC即即2)1()2()2)(1(1 xCxBxxA取取1 x代入得代入得B 11 B取取2 x代入得代入得C 1比较比较2x的系数，的系数，得得CA 0CA

7、 1 1 A1 B1 C )2()1(12xx2)1(111 xx 21 x dxxx)2()1(12 dxxdxxdxx21)1(1112)2(21)1()1(1)1(112 xdxxdxxdxCxxx|2|ln)11(|1|lnCxxx|2|ln11|1|ln例例3 dxxxx3243解解3243 xxx是真分式是真分式 323xx323 xxxx)1(3)1(2 xxx)3)(1(2 xxx设设3243 xxx 1 xA 32 xxCBx取取1 x得得A55 1 A比较比较2x的系数，的系数，得得BA 0AB 1 比较比较 常数项，常数项，得得CA 3443 AC1 1 A1 B1 C3

8、243 xxx 11 x 312 xxx 4x)1)()3(2 xCBxxxA dxxxx3243 dxx11 dxxxx312 )1(11xdx dxxx3 2)12(x21 21|1|ln x 3)3(2122xxxxd)21(411)21(1212 xdx|1|ln x|3|ln212 xx 21)21(112arctan112 xC|1|ln x|3|ln212 xx 1112arctan111 xC 例例4 dxxxxx223222解解xxxx 223222是假分式是假分式xxxx 223222 xxxx 2221真分式真分式 xx22)21(2 xx设设 xxx222xA 21 x

9、BBxxAx2)21(22 取取21 x得得B 25取取0 x得得A 22 A xxx222x2 2125 x dxxxxx223222 dxxxxx)221(2 dxxxx)212521()21(2125|ln222xdxxxx Cxxxx|21|ln25|ln222例例5 dxxxxx2223)1(1解解2223)1(1 xxxx是真分式是真分式设设2223)1(1 xxxx 12 xBAx 22)1(xDCx 123xxx)1)(2 xBAx DCx )()(23DBxCABxAx 比较系数，得比较系数，得 A 1B 1CA 1DB 1AC 10 BD 12 1 A1 B0 C2 D)(

10、)(12323DBxCABxAxxxx dxxxxx2223)1(1 dxxx112 dxx22)1(2 dxx1 2x2211 dxx22)1(12 )1(1 1 2122xdx dxx1 1 2 dxx22)1(12 112xx dxx)1(222 xxarctan|1|ln212 2)arctan1(212xxx C|1|ln212 x 12 xxC 注：注：本题用到递推公式。本题用到递推公式。dxxx 103)1(dxxxx 234811怎么积？怎么积？如按上面讲的步骤去积，如按上面讲的步骤去积，将非常繁。将非常繁。1 xt令令dttt 103)1(dttttt)33(10987 dx

11、xxxx 234838 23)()(42424xxx)(4xd414xu 令令duuuu 2341 22 注注:在求有理函数的积分时在求有理函数的积分时,虽然按上面介绍的步骤虽然按上面介绍的步骤一定可以积出来一定可以积出来,但是但是,这种方法不一定是最佳的方法这种方法不一定是最佳的方法,有时有时,甚至很繁甚至很繁.所以所以,我们在求有理函数的积分时我们在求有理函数的积分时,如有更简单的方法如有更简单的方法,就不必用上面介绍的方法就不必用上面介绍的方法.简言之简言之,要灵活要灵活!哪个方法简便哪个方法简便,就用哪个就用哪个.二二.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分dxxxR)cos,(si

12、n定义定义将将xx cos,sin及常数进行有限次四则运算及常数进行有限次四则运算所得的函数称为三角函数的有理式所得的函数称为三角函数的有理式,记为记为)cos,(sinxxR积分方法积分方法:令令2tanxt 则则txarctan2 dx，dtt212，212sinttx 2211costtx dxxxR)cos,(sin ),(R212tt 2211tt dtt212 有理函数有理函数 万能代换万能代换例例6dxx sin211解解 用万能代换用万能代换.令令2tanxt dx，dtt212 212sinttx dxx sin211 21 1 212tt dtt212 4t 122dtt

13、3)2(122dtt 2Ctt|3232|ln321 Ctt|3232|ln31 Cxx|322tan322tan|ln31 )2(3)2(122tdt怎样求下列积分怎样求下列积分?xdx3sin xdx2cos xdx4tan xdxxsinsin2 )(cos)cos1(2xdx dxx22cos1 dxx)2cos2121(xdxx22tantan dxxx)1(sectan22 dxxxdxx222tansectan )(tantan2xxd dxx)1(sec2 )cos1(sinsin1dxxxx dxxx2sin1cos令令2tanxt )(sinsin112xdx 注意灵活注意

14、灵活!规律：规律：求积分求积分 dxxxR)cos,(sin（1）若若)cos,(sin)cos,sin(xxRxxR 用第一换元法，选用第一换元法，选xucos（2）若若)cos,(sin)cos,(sinxxRxxR 用第一换元法，选用第一换元法，选xusin（3）若若)cos,(sin)cos,sin(xxRxxR 用第一换元法，选用第一换元法，选xutan 练习：求下列积分练习：求下列积分dxxx 43cossin .1dxxx 43sincos .2dxxx 62cossin .3三三.简单无理函数的积分简单无理函数的积分1.dxfdxbaxxRn),(困难困难:含有根号含有根号积分

15、方法积分方法:作换元作换元,令令nfdxbaxt 例例7 dxxx31解解令令31xt 31tx dttdx23 dxxx31 dtttt )3(123 dttt )(34 Ctt )52(352 Ctt 532352 Cxx 3532)1(53)1(23例例8 dxxx)1(13解解令令6xt 6tx dttdx56 dxxx)1(1 3 1 )1(2t 3tdtt56 dttt 221 6 dttt 221 1-1 6 dtt)1 1 1(62 Ctt )arctan(6 Cxx )arctan(6662.dxcbxaxxR),(2困难困难:含有根号含有根号积分方法积分方法:先配方先配方,

16、再换元再换元例例9 dxxxx74342解解 先配方先配方,742 xx3)2(2 x dxxxx74342 dxxx3)2(342 2 xt dttt33)2(42 dttt3542 dtt 3 2t 2 25 3122t)3(2 td dtt 3152 2322 t|3|ln52 ttC 342 t|3|ln52 ttC 3)2(42 x|3)2(2|ln52 xxC 7442 xx|742|ln52 xxxC 小小 结结作作 业业P2181,5,6,9,1314,15,17,19,22,23,242424题的提示：题的提示：dxxx 3432)1()1(1dxxxxx )1)(1(1113令令311 xxt