流体力学第十一章流体绕过物体的流动

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1、流流 体体 力力 学学 退 出中国科学文化出版社第十一章 流体绕过物体的流动 平面势流 流体绕过圆柱体的流动 流体绕过球体的流动 第一节第二节第三节退 出返 回第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 工程上经常遇到的流体绕过物体的流动，称为绕流。如流体绕过平板、换热器壳程流体绕过换热管、河水绕过桥墩等的流动。显然，在绕流过程中，物体会影响流体的流动，导致流场中流体质点的速度和压力重新分布。同时流体也会对被绕流的物体产生作用力。本章主要研究流体绕过不同形状物体时，物体表面附近的流速、压力分布及流体对被绕流物体的作用力。平面势流是指流场中所有流体质点在每一时刻的速度都平行于同一固定平面，并

2、且在该平面的任意一根垂直线上所有点处的流体质点速度都相同的流动。严格说来，自然界中平面势流并不存在。实际流场边界附近总是存在着不符合平面势流的偏差，这主要是由流体粘性引起的。但在很多情况下，为了简化问题，通常先把某些流动作为平面势流来处理，然后再按照实际边界条件对其进行适当的修正。退 出返 回第第1页页第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第2页页021wywxwxwzwzwywxyzxyz一、势函数与流函数（一）势函数势流即无旋流动，有即（11.1）zyx,zwywxwzyxzyxddd,dzzyyxxzyxddd,d此时存在一速度势函数 ，满足显然式（11.1）是存

3、在此全微分的充分和必要条件，又由于第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第3页页比较 ，对应的系数，可得式（11.2）说明，速度矢量在三个坐标轴上的投影，等于速度势函数对相应坐标方向的偏导数。速度势函数的这一重要性质，对任何方向来说都是xdydzd图11.1 流速沿任一曲线方向的分量zyxMwlwlozwywxwzyxMwlwl（11.2）正确的。即任意点 上的速度 沿任一曲线l方向的分量 ，等于该点速度势函数 沿l方向的方向导数 ，如图11.1所示。第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第4页页下面分析势函数的一些性质及物理意义。（1）不可压缩

4、无旋流动的速度势满足拉普拉斯方程。不可压缩流体的连续方程为rwrwr1rww0zwywxwzyxw类似地，在平面极坐标中有（11.3）式中，为径向速度；为切向速度。02222222zyxxyz022222yx将式（11.2）代入上式则得（11.4）此式即为拉普拉斯方程。因此，不可压缩流体无旋运动的速度势函数 是坐标 、的调和函数。对于平面势流，不可压缩流体的连续方程可写成（11.5）第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第5页页平面极坐标中不可压缩流体的连续方程为平面极坐标中的拉普拉斯方程为（2）在势流情况下，沿任何一条曲线 的速度环量等于 、两点的速度势之差，与曲线形

5、状无关。速度环量为01wrrwrwrr011222222rrrrABABBAzyxzwywxwddd（11.6）ABBABAzzyyxxddddABAB将式（11.2）代入上式可得（11.7）若 点和 点重合，则 为封闭曲线，环量为零。由此可知：若速度势函数是单值函数，则在无旋流动中，沿任意封闭曲线的环量等于零。若势函数不是单值的，上述结论不成立。w（3）速度 在任意方向的分量为势函数对该方向的偏导数。第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第6页页（二）流函数流函数是流体力学研究中的另外一个重要的工具。下面讨论不可压缩稳定平面势流的流函数。平面流动的流线微分方程为上式存

6、在全微分的条件是 ，显然该式就是连续性方程 yxwywxdd0ddywxwxy或（a）xwywxy0ywxwyxyyxxdddxwywyx（b）满足（11.8），所以存在全微分0dddddywxwyyxxxy及式（a）。将式（11.8）代入（b）式得到（11.9）其中 是任意常数。方程（11.10）是流线族的方程，取某一确定的值，就可得到流线族上某一确定的流线。函数 称为流函数。第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第7页页1,Cyx1C1C积分上式就可得到流线方程（11.10）xywyxwyxrrwrrwr11（11.11）（11.12）同理可得，平面极坐标中流速与流

7、函数和势函数的关系为2,Cyx（11.13）使速度势函数等于任意常数，即 对比式（11.2）及式（11.8），可得直角坐标系中流速与流函数和势函数的关系第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第8页页可以得到一簇曲线称为等势线，取某一确定的值，就可得到等势线族上某一确定的等势线。下面讨论流函数 的性质和物理意义。（1）在稳定的平面势流中，流线族和等势线族相互正交。式（11.11）交叉相乘后有2C0yyxx可见流线和等势线是正交的。利用此性质可根据流动的势函数来求其流函数，反之亦然。图11.2 流速的法线方向分量ByxMwdlAno（2）势流时的流函数亦为调和函数，满足拉普

8、拉斯方程式。利用平面势流的条件 得 0 xwywyxxyyx2202222yx 。再利用式（11.11）得nw，此即拉普拉斯方程式。第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第9页页（3）流经任意曲线 的流量（亦即流经单位宽度曲面 的流量），等于曲线两端点上流函数值之差，而与曲线形状无关。如图11.2所示，在一平面势流中，为任意曲线，在其上任取一点 ，外法线为 。通过 点附近单位宽度、线段长为 的微元面的流量为ABABABMnMl dlwQndd 其中 为点 法线方向的分速度 而法线 与坐标轴夹角的余弦为nwMlwwQyxd,cos,cosdjninjnin,cos,cos

9、yxnwwwnlydd,cosinlxdd,cosjn由此，考虑到式（11.11）得yyxxllxxlyyQddddddddd（11.14）式（11.14）表明，流函数的微分就等于单位时间内流经单位宽度、长度为 的微元曲面的流量。因此流过曲线 的流量为l dABABBAQd（11.15）第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第10页页式（11.15）表明，若曲线 本身是某一根流线，而沿流线 常数，则流过 曲线的流量 ；流经二条流线 和 间任意曲线的流量均是定值，为 ，而与二流线上 、点的位置无关。若 和 两点重合，即一封闭曲线，则在流函数 为单值时，流量 。若 不是单值

10、函数，则流经封闭曲线的流量将不等于零。ABAB0QACBCABABCCQABAB0Q（一）均匀直线流动深度极大的流体平行流过平面时，除临近平面处的边界层外，各点的速度都是大小相等、方向相同的。这种流动称为均匀直线流动。假定流动方向与 轴成 角，如图11.3所示。令任意点的速度为 ，且 为定值，则 、方向的分速度为 图11.3 均匀直线流动yxoxwwxysincoswwwwyx二、简单流动分析（a）CC 第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第11页页xwywxwywywxwywxwyxyxdsindcosddddsindcosddd21sincossincosCxyw

11、Cyxw0cossinsincoswwwwyyxx其速度势函数及流函数可由下式求出（b）积分上式可得到势函数 和流函数 （11.16）由x021CwyCwxy 9021CwxCwy可知，等势线是一簇与流线相垂直的平行线。若流动平行于 轴（），则函数 及 成为（11.17）若流动平行于 轴时（），则（11.18）式中常数 是 的函数，因为对 积分时，是固定的。将式（11.19）代入上式，可得第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第12页页22yxaa0a xCyxdCxyx xCaxyxCyax2d2已知一二元流动的速度势函数为（二）直角内的流动（11.19）其中 是实数

12、，且 。根据上述分析，可由势函数 确定流函数 。由式（11.11）可得到（b）（a）为确定任意函数 ，将式（b）对 求导得 xxCayxdd2考虑式（11.11），式（c）可写成 xxCayydd2ayy2（c）又由式（11.19）可得 因而有 ，即 。将 值代入式（b）中，得到流函数 ，由此得流线方程为 0ddxxC 1CxC xC12Caxy Cxy（11.20）xCx图11.5 直角内的流动yxBAo当 时，、或者 、，曲线在第一或第三象限。当 时，、或者 、，曲线在第二或第四象限内。若 ，则两坐标轴 和 就是流线，称为零流线。在坐标原点处，故原点为驻点。根据速度矢量可判定流场中任意点的

13、速度方向。例如取 轴上某一点 ，其坐标为 ，其速度为 ，亦即点 的速度方向是沿着 轴的正方向。第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第13页页图11.4 直角内流动的 流线和等势线MyxoC1C2C即流线是一双曲线族，、坐标轴是其渐近线，如图11.4所示。xy0C0 x0y0 x0y0C0 x0y0 x0y0C0 x0y0yxwwxM0 x0y02 axwx0ywMx由式（11.19）可知，等势线亦是一双曲线族，坐标轴 、的等分角线为其渐近线，等势线与流线是正交的。对于理想流体，由于没有粘性，可以把零流线 、轴的正轴部分当作是固体壁面，故该流动可用来表示直角内的流动（图

14、11.5）。xyxy第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第14页页对于过 和 两端点的任意曲线，流过的流量为这是由于 和 点都处在零流线上的缘故。0,xAyB,0022ABABaxyaxyQAB由式（11.19）可知，等势线亦是一双曲线族，坐标轴 、的等分角线为其渐近线，等势线与流线是正交的。对于理想流体，由于没有粘性，可以把零流线 、轴的正轴部分当作是固体壁面，故该流动可用来表示直角内的流动（图11.5）。xyxyQ,rMrQwr2设流体从平面内o点源源不断流出，并均匀地向四周扩散，这样的流动称为点源流动，o点称为源点，如图11.6所示。以源点o为坐标原点取极坐标系

15、，若其体积流量为 ，则任意点 的流速为（a）速度方向与半径 方向一致，其x、y方向的速度分量为r222222sin22cosyxyQryrQwwyxxQrxrQwwryrx（b）（三）点源和点汇第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第15页页 图11.6 点源流动yxMroC22dd2dddyxyyxxQywxwyx2222d4yxyxQ1122ln2ln4CrQCyxQ（11.21）由此得到积分上式可得势函数为 2221d2dd2dddxyxyQyxxyyxQxwywyx2212tg2CQCxyQ又积分上式得流函数为（11.22）式（11.21）表明，等势线方程为 或

16、 ，即等势线是以源点o为圆心的同心圆。由式（11.22）可知流线方程为 或 ，它是以源点o为起点的半辐射线，与等势线正交，如图11.6所示。1ln2CrQ1Cr 22CQ2C第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第16页页2ln2QrQ（11.23）由式（a）可知，点源流动在源点或点汇流动在汇点o处流速等于无穷大，故源点和汇点都是速度不连续的点，且流经包围源点和汇点的任何封闭曲线上的流量都等于 。Q 如果把流出流体的点源o改为吸收流体的汇集点o，即四周流体沿平面均匀地汇集到o点，由汇集点o将流体吸收，这种流动称为点汇，o点称为汇点。显然这种流动正好是点源流动的逆过程，其

17、各种表达式与点源流动的形式相同，只是符号相反，可直接写出下式当 ，即在柱体表面处 ，由此可得 或 。任意点 的速度 在x、y方向的分速度为第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第17页页 如图11.7所示，设有一圆柱体绕其中心轴旋转，其周围的流体将被带动跟着做旋转运动。假定圆柱体无限长，半径为 ，旋转角速度为 。流场中任一点的速度 的方向与极半径 相垂直，其大小与极半径 成反比。当 趋近于 时，该处流体将不受圆柱体旋转的影响，即 趋近于0。这种平面流动称为纯环流流动。图中任意点 的速度可以写成 ，其中 是常数。图11.7 纯环流流动xMr0owy（四）纯环流流动0rwr

18、rrw,rMrKw K0rr 0rw 20rK rrw20Mw222020222020cossinyxxrrxrrwwyxyrryrrwwyx0rxwyw 由式（11.24）可知，当 时，。因此原点是个不连续点。但由于（11.24）第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第18页页0022222202220yxyxxryyxyrxywxwyx2020202ddrrrrllw222222yxxwyxywyx所以除原点外，纯环流流动符合连续流动条件，包围原点的任意曲线的环量应等于常数，其值为（11.25）故式（11.24）可写成（11.26）22dd2dddyxxxyyxwy

19、wyx1122ln2ln4CrCyx（11.27）纯环流流动除原点外有流函数 存在积分得设有二个势流，其速度势为 和 ，分别满足拉普拉斯方程，即第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第19页页除原点外，纯环流运动是无旋运动，这种流动又称点涡流动。其速度势满足积分得 由式（11.27）、（11.28）可知纯环流流动的流线是以原点为中心的同心圆，其等势线则是以原点为起点的半辐射线（图11.8）。对比式（11.21）、（11.22）及式（11.27）、（11.28），可知，图11.8 纯环流流动的流线和等势线yxMrw o2221d2dd2dddxyxyyxyxxyywxwy

20、x2212tg2CCxyQ（11.28）只要把点源流动的流函数及势函数互换一下并把 换成 ，就可得到描述纯环流运动的流函数及势函数。C三、势流的叠加原理12002212（11.29）第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第20页页 02122121212121yyyxxxwwyyywwwxxxw将上式中两方程相加得（11.30）可见两个速度势之和（11.31）也满足拉普拉斯方程，表明速度势 可代表某一新的不可压缩流体的平面势流。复合流动的速度分量（11.32）21同样可证明，对流函数也有（11.33）即复合流动的流函数等于两个原始流动流函数的代数和。由此可得出结论：几个

21、势流可叠加得到新的势流，只需把各原始流动的流函数或势函数简单地代数相加即可。同样，在复杂势流问题下，亦可把复杂流动分解成几个简单的流动，分别求解这些简单流动的流函数和势函数，然后叠加即可得到复杂流动的解，使问题大大简化。下面根据这一原理来分析几个较典型的流场。第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第21页页2ln211QrQrln2222（一）源环流动源环流动是点源流动与纯环流动的叠加。点源流动的流函数及势函数为（a）纯环流流动的流函数及势函数为（b）rQrQln222ln22121图11.9 源环流动yxo1lnCrQ这两个简单流动叠加的结果为（11.34）速度势方程

22、为CC 第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第22页页QCr1e2lnCrQQCr2e（11.35）或流线方程为或（11.36）等势线与流线是两族正交的对数螺旋线，如图11.9所示。在离心式水泵的叶轮内，流体的流动符合式（11.36）所表示的流动规律。因为当水泵叶轮不转动而供水管照常供水时，叶轮内的流动为点源流动；当叶轮转动而供水管不供水时，叶轮内的流动为纯环流流动；当叶轮转动、供水管又照常供水时，叶轮内的流动为点源流动与纯环流流动的叠加。为防止流动时叶轮内流体与叶轮发生碰撞，离心泵的叶轮叶片应制成式（11.36）所示的流线型式。第十一章 流体绕过物体的流动 第一节

23、平面势流 退 出返 回第第23页页（二）汇环流动汇环流动是点汇流动与纯环流流动叠加的结果。其流函数与势函数为这种流动的特点与源环流动很接近，只是后者是由中心向外流，前者是由四周向中心流，流线均为对数螺旋线。如旋风燃烧室、旋风除尘器等设备中的旋转气流就是一种汇环流动。（三）偶极流rQrQln222ln22121QCr e其流线方程为（11.38）把源点及汇点间距离为无穷小的点源及点汇（其流量各为 和 ）叠加起来形成的流动称为偶极流。QQ设源点与汇点间距离为 ，平面内任意点 至点源和点汇的距离分别为 和 ，如图11.10所示，2yxM,1r2r（11.37）第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平

24、面势流 退 出返 回第第22页页yxQ-Q12r1r2图11.10 偶极流oyxM,M则点 处的势函数为2121lnln2rrQ21ln2rrQ222221yxryxr即（a）由图11.10可知（b）22222222ln4ln2yxyxQyxyxQ2241ln4yxxQ0321ln32ZZZZ将式（b）代入式（a）可得（c）若使源点和汇点无限接近，即 时，可将式（c）按级数2244yxxQ的型式展开，并近似取第一项，由此可得（d）假定 时 ，则 趋于极限值 。称为偶极流的偶极矩，为一向量，其方向由点源指向点汇。把 值代人式（d）、（f），并使 ，则得到偶极流的势函数和流函数为第十一章 流体绕过

25、物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第23页页图11.10中所示流动的流函数为21212Qxy1tgxy2tg2222121212tgtg1tgtgtgyxy2221212tgyxy（e）由于，而所以式（e）可改写成利用展开式 当 时，式（e）成为22212tg2yxyQ53tg531ZZZZ022222yxyQ（f）0QQ2MMM0第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第24页页222yxxM222yxyM122Cyxy212124121CCyx（11.40）（11.39）偶极流的流线方程为或图11.11偶极流的流线与等势线yxo可见，流线是圆心为（0，）、半

26、径为 的圆周族，并在坐标原点与 轴相切（图11.11）。因此流体是沿着上述圆周由坐标原点流出，重新又流入原点。显然经过任意包围偶极点的封闭曲线的流量等于零，因为该曲线的端点总是在偶极流的同一流线上。121C121Cx第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第25页页等势线族的方程为 222224121CyCx图11.12 平行直线流动与点源的叠加xoSxsy外轮廓线外轮廓线是圆心为（，0）、半径为 的圆周族，与流线正交，在坐标原点与 轴相切，如图11.11中的虚线所示。221C221Cy4222821rMpwpp（11.41）偶极流的压力场为（四）平行直线流动与点源的叠加

27、将坐标原点取在点源处，平行直线流动的速度为 ，方向自左向右平行于 轴，如图11.12所示。由式（11.17）可知，平行直线流动的势函数 和流函数 为wxywxw第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第26页页2sinln2cosQrwrQrw212sinln2cosCQrwCrQrw将式（11.21）、式（11.22）表示的点源流动的势函数 和流函数 与上式叠加得到复合流动的势函数 和流函数 分别为等势线和流线方程分别为（11.42）sin12coswrwrQwrwr2222224cosrQrQwwwwwr其速度场为（11.43）（11.44）在这种复合流动中，接近点源

28、时的流速很大，但流速随离点源距离的增大而减小，理论上点源的影响将在无穷远处消失。由于有不变的平行于 轴的流速 ，因此在 轴负方向上某点 的流速将为0，即点源流动的流速与平行流动的流速刚好大小相等、方向相反，相互抵消。此点 离原点o的距离为第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第27页页wr0rwwrr ww222121wwpp上式表明，随 的减小而增大，当 时，；随 的增大而减小，当 ，。此势流的压力场为（11.45）xwxSSwQxS2（11.46）从点源流出并运动到 点的流体质点不能继续向左运动，而只能从 点向上和向下运动并沿着把点源流和平行流分开的流线向右运动。这

29、种流动类似于平行流体绕过某一特殊形状物体头部的流动。上述经过 点的流线可认为是该物体的外轮廓线（图11.12），其方程也就是通过 点的流线方程。SSSS第十一章 流体绕过物体的流动 第一节 平面势流 退 出返 回第第28页页SwQxrS222sinQQrw22sinQQrw由于 点的坐标为 ，因此有故物体的外轮廓线方程为（11.47）由上式可得 时，时，但综上所述，由点源和平行直线流动叠加所形成的物体外轮廓是有头无尾的所谓半物体。可用它来研究轴对称物体上游端的流动状况，如桥墩、支柱、鱼雷和飞机机身等。2wQyr40rwQr2sin第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退

30、出返 回第第1页页 图11.13 理想流体绕过圆柱体的流动yxMror0wwr wAB工程上，如在换热设备中，常常遇到流体横向绕过圆柱体的流动。圆柱形测速管也是根据流体绕过圆柱体的流动原理来测量流速的。一、理想流体绕过圆柱体的流动一半径为 的无限长圆柱体垂直放置于作均匀直线流动的平面流场中。流体横向绕过圆柱体流动，如图11.13所示。可见，流体在流近柱体前是均匀的，不受任何干扰，流线是一组平行的直线。流近柱体时，由于柱体的阻碍，使流线逐层发生弯曲，绕过柱体最大横向尺寸后，流线又弯曲合拢。在柱体后一定距离处流线又恢复为一组平行直线。流线的这种绕流弯曲及合拢现象，随离开 轴而变得越来越平坦。显然在

31、 处，流体不会受到柱体阻碍及干扰，流线仍是平行直线。0rxy第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第2页页流体沿 轴流向圆柱体时，在 点处与柱体发生“碰撞”，点是驻点，该处流体速度 。然后流体改变方向，贴着圆柱表面流动。因此半径为的圆就是一条流线。最后流体又沿 轴方向流动。在 点处由于流体要急转成水平方向，该处流体速度也只能等于零，因此 点也相当于是一个驻点。点称前驻点，点称后驻点，紧贴圆柱的那一条流线由半径为 的圆周与圆周以外的 轴组成。x0w0rxAA0rxBAB理想流体绕过圆柱的流动是平行于 轴的均匀直线流动与以坐标原点o为偶极点的偶极流叠加的结果。速

32、度为 、方向与 轴平行的均匀直线流动的势函数与流函数分别为xwxxw1yw1，（a）222222222222rMyyxMyrMxyxMx（b）以坐标原点为偶极点的偶极流的势函数与流函数分别为B第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第3页页2222rMyywrMxxw00ywMr20rr 叠加后的复合流动的势函数和流函数为（c）流函数 表示一条零流线，由式（c）可得到两个解：及 ，前者表示x轴，后者为一圆柱面。当 时偶极矩为202rwMrrrwrrxw20220cos1rrrwrryw20220sin1（d）代入式（c）得（11.48）（11.49）22222

33、20yxyxrwwxwx222202yxxyrwywy其速度场为第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第4页页r wwx0ywxwcos1220rrwrwrsin11220rrwrw由上两式知，当时 ，。这实际上表明远离圆柱体处，速度是平行 轴方向的，且等于未受干扰处的速度 。利用式（11.48）也可得到流动的径向及切向速度 图11.14流体绕过圆柱体流动的流线yxABo由此可知，当 时，。表明在圆柱体表面处流动紧贴圆柱表面，不发生分离，即各处的流动速度均沿圆柱的切线方向。0rr 0rwsin2ww如图11.14所示，前驻点 处，；后驻点 处，；处，流速达到

34、最大值，该值与圆柱体半径无关，等于无穷远处速度的二倍。A0wB00w2ww2000000第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第5页页根据伯努利方程式可以确定理想流体绕圆柱流动时柱体表面上各处的压力分布规律。设无限远处未被柱体干扰的流体的静压力为 ，柱体表面上任一点处的速度为 ，静压力为 ，则 pSwSp2222SSwpwp（e）22sin412wppSSp22wpppSS2sin41Sp（11.49）工程上常用 表示柱体上任一点处的无因次压力，其定义为（11.50）由此可得理想流体绕流圆柱体时，柱体表面上无因次压力的分布规律为（11.51）wp可见无因次压

35、力分布不受流体速度 及静压力 的影响。第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第6页页图11.15 流体绕过圆柱体 区段后的边界层yx转点转点x脱离区脱离区转点转点转点转点o 二、实际流体绕过圆柱体的流动2由于实际流体存在粘性，流体绕流圆柱体时，在柱体表面上形成边界层。当流体流近柱体前驻点时，受柱面影响，流体速度逐步降低，至前驻点 处（图11.14）流体速度为零，该处边界层还来不及发展，边界层厚度是较薄的。随着流体沿柱体表面进一步向上下两侧绕流，边界层越来越厚。由于沿柱体表面的边界层中存在压力梯度，当流体绕柱体前半圆周时，沿ASw 流向 越来越大，而流体压力越

36、来越低，表明这是降压增速流动。由于边界层内由流体粘性摩擦引起的能量消耗，可由外侧主流供给，主流与边界层内的动量交换供给边界层能量，使边界层内的速度不会降低，因此边界层虽然不断增长，却是稳定的。但当流体绕过柱体角的区段后，主流变成增压减速流动。minSpmaxwSp第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第7页页这时主流的动能要转化为压力能，速度不断下降，无力补充边界层中能量的消耗，而边界层厚度 却越来越大（图11.15）。主流进一步向柱体的背部流去，则增压减速更为严重，最后使边界层靠近柱体表面处的流体完全静止，流体物质在原地堆积起来，而主流必须绕过这部分堆积物

37、，离开柱体表面流动，这时便发生了边界层脱离固体表面的现象，称为绕流脱体，如图11.16（a）所示。主流脱体后，向圆柱体两侧分流，并引射边界层堆积的流体物质进入主流，使柱体背后形成涡流区，如图11.16（b）所示。这时 点不再是驻点，沿圆柱表面压力分布也不再符合式（11.51）的规律。B图11.16 圆柱体后边界层的脱离AA(b)(a)BB的柱体有一个沿流向的推力，由柱体前侧指向后侧，这是由柱体前后压差引起的。（3）实际压力分布与绕流的雷诺数 以及柱体表面上边界层的性质有关。当绕流雷诺数较低时，柱体表面的边界层属于层流边界层，脱离点较靠前，压力分布线较平坦。第十一章 流体绕过物体的流动 第二节

38、流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第8页页 图11.17所示的曲线为沿圆柱表面的无因次压力分布线。曲线1是理想流体绕流圆柱的压力分布曲线；曲线2、3是由实验测得的，分别对应于较高和较低的绕流雷诺数。绕流雷诺数为 。dwRed图11.17表明：（1）实际流体绕流与理想流体绕流的柱面压力分布曲线有一定差别。只是在与来流方向成30的区域内，即 时，两者是基本相同的。在其它区域差别较大。30Sp图11.17 圆柱体表面的无因次压力分布-3-2-112 6090120180240 27003003601231理想流体 2Red大于临界值时的绕流（Red=6.7105）3低Red数绕流（Red=1.86

39、105）0 （2）对理想流体绕流，不管流体速度多大，整个圆柱体在流体中是不受力的。对实际流体绕流，流动的流体对被绕流dRe第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第9页页当雷诺数超过临界值时，边界层由层流转变为紊流。由于紊流边界层与主流进行动量交换的能力要比层流边界层强，保证了由主流向边界层供应能量，提高了克服粘性阻滞的能力，使边界层脱离点向柱体后部推移，从而流体对柱体的绕流得到改善。这就使实际压力分布曲线更接近于理论分布曲线，而且柱体后部压力得到提高。这说明雷诺数不同，绕流情况是不同的，绕流雷诺数越大，绕流情况越好。超过临界雷诺数后，绕流状况大为改善。wAD

40、Cf2式中 为最大迎流面积，对于绕流圆柱体，=圆柱直径圆柱长度AA图11.18给出了粘性流体绕流圆柱体时的阻力系数 。阻力系数为（11.52）fC第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第10页页100图11.18 粘性流体绕流圆柱体的阻力系数10010110210310410510610-12 4 682 4 682 4 682 4 682 4 682 4 682 4 68 100.6 80 60 40 20 8 6 4 2 10.80.40.20.1RedCf第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第11页页由图11.18

41、可见，当 2105，阻力系数 突然减小，这表明当 超过临界值后，柱体表面的边界层转变成紊流边界层，使边界层脱离点推后，绕流得到改善，柱体后压力提高，前后压力差减小，使阻力D减小，阻力系数 大幅度下降，出现所谓的“阻力危机”。dRefCdRefC图11.19所示为试验观察得到的粘性流体绕柱流动时圆柱背后形成旋涡的现象。由图可见，圆柱背后的旋涡有一定的释放规律，且雷诺数 不同，旋涡释放情况不同。当 很小时，流动不发生脱离。随着 提高，柱体背后的绕流尾迹拉长。当 40，开始形成旋涡，并且在圆柱体两侧，周期性地、交替地向下游释放旋涡流。dRedRedRedRe图11.19 雷诺数对旋涡释放的影响Re=

42、32Re=55Re=65Re=102Re=255由于绕柱流动在柱后所产生的涡流具有这种整齐的反对称的排列，工程上称为涡列或涡街，或称卡门涡街（卡门涡流）。卡门得到的涡街稳定条件为 。同时发现，柱后释放的涡流除了以绕流速度 向下游流动外，又以一定速度 流向柱体，故涡流向下游流动的绝对速度为 。第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第12页页图11.20 卡门涡街h/2xh/2l/2l/2yo匈牙利人冯卡门于1911年在德国专门研究了这种圆柱体背后的涡流运动规律，并作了如下假定：（1）理想流体；（2）圆柱体无限长（平面问题）；（3）各单个旋涡都是垂直于流动方向的

43、“势涡”，其环量都相等，且两侧旋涡的旋转方向是相反的；（4）旋涡以外的流动都是势流，而且是无限的。由这些假定推得，只有当旋涡按图11.20所示的方式排列时才是稳定的，不受微小扰动的影响。281.0lhwwww 卡门的研究结果表明，当流体绕过单个圆柱体流动时，在 20050000范围内，柱后涡流的脱体频率和绕流速度 成正比，而和圆柱体的直径 成反比，可用下式表示第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第13页页dRewddwStfK（11.53）式中 为卡门涡流释放频率，为斯特劳哈数。时，。随着绕流雷诺数 的进一步提高，涡流脱离点突然后移，使涡街宽度突然缩小，而

44、使 增大。但当 ，超过临界值时，柱后尾流完全紊乱，有规则的涡流脱落不再存在。这种情况只持续到 后，又会形成卡门涡流，这时 。卡门涡流的释放频率可由下式计算KfSt300dRe510220.0StdReSt5103.3dRe6105.3Re27.0St dKRedwf20120.0（11.54）式（11.53）和（11.54）可用于确定绕流单根圆柱时卡门涡流的释放频率。第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第14页页涡流脱落时，流体对圆柱体有一个周期性交变的作用力，其频率与涡流脱落频率相同。这是由于柱体两侧交替释放卡门涡流时，刚释放完涡流的一侧柱面，绕流改善，

45、侧面总压力降低；将释放涡流的另一侧柱面，绕流较差，侧面总压力较高，从而形成一个作用在圆柱上，方向总是指向刚释放完涡流那一侧的作用力。这个交变力可以分解为横向分力（垂直于流动方向）与纵向分力（沿流动方向）。在低绕流雷诺数情况下，涡流脱落点靠前，横向交变作用力总是比纵向交变作用力大得多，后者可以不考虑。随着绕流速度的增加，涡流脱离点后移，由于涡流脱落施加的交变作用力逐渐由横向转移到纵向。因此绕流单个圆柱体时，当雷诺数小于临界值时，施加在柱体上的交变力始终是垂直于流动方向的。这个作用力可按下式计算 tAwCFKKsin22（11.55）KFKCRe0.1KCAKfKf2t式中，卡门涡流作用力；卡门力

46、系数，当 102107时，圆柱投影面积；圆频率，由 决定，；时间。第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第15页页这种方向交变的横向力，频率很高，每秒可达几百次。如果横向交变力的频率与圆柱体的固有频率相等，就会引起柱体的共振，使柱体的振幅越来越大，直到破坏。如潜艇在水下航行时，伸出水面的潜望镜相当于一个受水流绕流的圆柱体。当潜艇的航速达到某一数值时，镜筒受到的横向激动力的频率与其固有频率一致，则将造成潜望镜共振破坏。卡门涡流的破坏作用在各种换热设备中十分常见。为消除这种破坏，需要进行一系列计算，判明各种设备中是否会发生共振。必要时应当加固各种管（柱），改变其

47、固有频率，使之与卡门涡流的激动力频率错开，避免发生共振。应该指出，卡门涡流不仅仅在流体绕流圆柱体时才产生，只要流体绕流不良流线形物体时产生边界层脱体，都会出现卡门涡流，产生横向激动力。日常生活中常碰到的风吹电线嘘嘘发响的现象也是由卡门涡流周期性脱落时引起风压脉动所造成的。工程设备中，与绕流圆柱体相垂直的横向空间中的流体相当于笛子中的气柱，有它自己固有的振动频率，如果卡门涡流造成的声波频率刚好与这一气柱的固有频率相等，就会发生声学共振，第十一章 流体绕过物体的流动 第二节 流体绕过圆柱体的流动 退 出返 回第第16页页产生严重的噪声，并使器壁在脉动压力作用下弯曲变形，造成严重的破坏。这是卡门涡流

48、造成的第二类破坏，称为声振。当气柱固有频率、管子固有频率与卡门涡流脱落频率三者相同时，将造成设备的严重破坏。消除声学共振破坏的常用方法是提高设备中气柱的固有频率。可顺着流体流动方向加若干块隔板，将设备中横向尺寸分隔成若干段，提高其声学共振频率，使之与卡门涡流的声振频率错开，具体问题必须通过试验或计算来解决。以上讨论的只是流体绕流单个圆柱体的情况，实际工程设备中往往是排得很密的管排，这种情况下卡门涡流的释放过程将更为复杂，可根据管子排列方式查阅有关资料来得到的值，然后由式（11.53）计算卡门涡流的释放频率。在研究绕球流动前，先分析空间点源、点汇及偶极流流动。对强度为 的空间点源，在任意半径为

49、的球面上有第十一章 流体绕过物体的流动 第三节 流体绕过球体的流动退 出返 回第第1页页 流体绕过圆球的流动是一个空间问题。由于空间流动的复杂性，找不到合适的流函数，因此空间问题的理论和试验研究要比平面问题困难得多。一般空间问题不存在流函数，只有轴对称流动才有流函数。轴对称流动在所有包含旋转对称轴线的平面内均相同，所以只要确定任一含旋转轴的平面内的流动即可。对于绕流球体，采用球坐标系，取球心为坐标原点，绕流流体速度与对称轴平行，流动参量与径度无关，因而绕球流动就成为一个轴对称问题。利用本章第一节对平面势流的处理方法就可近似地进行分析。QRRRwRQr2244RQ4RQ4一、理想流体绕过球体的流

50、动由此得到空间点源流动的速度势为（11.56）同样，对于点汇流动，其势函数为（11.57）第十一章 流体绕过物体的流动 退 出返 回第第2页页第三节 流体绕过球体的流动(a)zMRdzzQMrQR2R1+(b)图11.21 空间偶极流 z21114RRQ（11.58）把流量相等的空间点源和点汇置于同一根轴 上，如图11.21（a）所示，则其复合流动的速度势为式中 和 分别是流场中任意一点 至源点和汇点的距离。如图11.21（b）所示，如让源点和汇点无限靠近，并假定随着两者距离 的减小，同时增大，使得 保持一有限值，就得到空间偶极流，其势函数为 1R2RMzdQMzQdzRzQRQd1d4d 1

51、d4第十一章 流体绕过物体的流动 退 出返 回第第3页页第三节 流体绕过球体的流动22zrRcos1dd1d1d232RRzzRRzR图11.22 均匀直线流与空间偶极流的叠加wwrwMBARoz从而得空间偶极流的速度势为cos42RMM因为 ，所以（11.59）其中 称为空间偶极流的偶极矩。w与平面势流中绕柱流动相似，绕球流动可看成是平行于 轴而速度为 的均匀直线流动与沿 轴的偶极流的叠加，如图11.22所示。因此绕球流动的速度势为zwzcos4221RMzwcos42RMRwcos23RMwRwr即其速度场为（11.60）（a）第十一章 流体绕过物体的流动 退 出返 回第第4页页第三节 流

52、体绕过球体的流动sin413RMwRw0RR 0rw302RwMcos21130RRRw30211RRzw（b）在球壁面 处，径向分速度 ，由式（a）可得（c）将式（c）代入式（11.60），得到绕球流动的势函数为（11.61）2302sin121RRRw0RR z0sin23ww由式（11.12）、（11.61）可得到绕球流动的流函数（11.62）上式表明，在 的球面及整个 轴上 ，为零流面（线）。由式（b）和式（c）可得到球面上的速度变化规律（11.63）第十一章 流体绕过物体的流动 退 出返 回第第5页页第三节 流体绕过球体的流动AB0w2ww23max222wwpps222sin491

53、12wwwpppss由上式可知，图11.22中的 、两点分别是前后驻点，。最大速度是在 处的最大迎流面上，为来流速度的1.5倍，而绕圆柱流动的柱表面上最大流速为来流速度的2倍。球面上的压力分布为表示成无因次压力形式Sp 0204060801000120 140 160 180-0.6-0.4-1.0-0.8-1.4-1.20.20.4-0.2 00.60.81.0T2T3T43214M1M4S2S4S1M3M2S3图11.23 球面压力分布曲线1Red=157200 2Red=2513003Red=298500 4Red=424500二、实际流体绕过球体的流动 由于存在粘性边界层及其绕流边界层

54、的脱离，实际粘性流体绕流圆球的情况相当复杂，无法进行理论分析，故只能依靠试验确定。第十一章 流体绕过物体的流动 退 出返 回第第6页页第三节 流体绕过球体的流动 图11.23为试验得到的球面压力分布曲线。由图可见，在与来流方向成 的区域内，即 时，式（11.64）表示的理想流体绕流的压力分布与实际流体十分接近。随着 的增大，压力分布曲线的形状随 而改变，此时边界层的性质开始影响压力分布。当 很小（）时，边界层不会明显脱离，流动状态非常接近理想流体的绕流。当 逐渐增大时，边界层在 点处与球面分离，如图11.24所示。对照图11.23及11.24可看出，分离点通常在最低压力点 的下游，一般位于 处

55、。边界层分离使球体背部处于涡流区，产生较大的阻力损失。4545dRedRe10dRedReSM83 在 点上分离的层流边界层被主流引射走后，很不稳定，到 点处就转变为比较稳定的紊流状态。点为层流变为紊流的转捩点。随着 进一步增大，位于球体外的 点逐渐向球面靠近，最后可与脱离点 重合。从而 点附近的边界层就变成紊流边界层。于是脱离点 开始向下游（球后部）移动。STTdReTSSS第十一章 流体绕过物体的流动 退 出返 回第第7页页第三节 流体绕过球体的流动引起 点后移的原因是紊流边界层中流体的混合作用比层流边界层强烈，从外侧主流获得能量的能力较强，促使边界层在减速增压流动中克服摩擦阻力的能力大大提高，从而改善了绕流情况。S试验发现，随着 增大到超过临界值，分离点由 处逐步移至 处（图11.25），球体绕流状况得到较大改善，造成如图11.23所示球后压力的增大，与绕流圆柱的情况相似，这种压力的增大也会引起“阻力危机”。dRe83140