兰州交通大学数学建模讲座插值与拟合

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1、插值与拟合插值与拟合一、插值的基本原理一、插值的基本原理二、拟合的基本原理二、拟合的基本原理三、插值与拟合的关系三、插值与拟合的关系四、插值的四、插值的MATLABMATLAB实现实现五、拟合的五、拟合的MatlabMatlab实现实现数学建模网站http:/ 我们经常会遇到大量的数据需要处理，我们经常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，例如而处理数据的关键就在于这些算法，例如数据拟合、参数估计、插值等数据处理算数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。此类问题在法。此类问题在MATLAB中有很多现成的中有很多现成的函数可以调用，熟悉函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法

2、，这些方法都能游刃有余的用好。都能游刃有余的用好。一、一、数据拟合在很多赛题中有应用，与图形数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与插值和拟合有关系，处理有关的问题很多与插值和拟合有关系，例如例如9898年美国赛年美国赛A A题，生物组织切片的三维插题，生物组织切片的三维插值处理，值处理，9494年年A A题逢山开路，山体海拔高度的题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，插值计算，20032003年吵的沸沸扬扬的年吵的沸沸扬扬的“非典非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理，向进行处理，20052005年的雨量预报的评价的插年的雨量

3、预报的评价的插值计算。值计算。20012001年的公交车调度拟合问题，年的公交车调度拟合问题，20032003年的饮酒驾车拟合问题。年的饮酒驾车拟合问题。喝两瓶酒的拟合曲线喝两瓶酒的拟合曲线喝喝1-5瓶酒的拟合曲线瓶酒的拟合曲线 在实际中，常常要处理由实验或测量所在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一些离散数据。插值与拟合方法就是得到的一些离散数据。插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻求某个近似函数，使所得到的近似函数或寻求某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合精度。数与已知数据有较高的拟合精度。如果要求这个近

4、似函数（曲线或曲面）如果要求这个近似函数（曲线或曲面）经过所已知的所有数据点，则称此类问题为经过所已知的所有数据点，则称此类问题为插值问题插值问题。（不需要函数表达式）（不需要函数表达式）二、二、如果不要求近似函数通过所有数据点，如果不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反映数据变化规律的近而是要求它能较好地反映数据变化规律的近似函数的方法称为似函数的方法称为数据拟合数据拟合。（必须有函数。（必须有函数表达式）表达式）近似函数不一定（曲线或曲面）通过所近似函数不一定（曲线或曲面）通过所有的数据点。有的数据点。1 1、联系、联系都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够都是根据实际中一组

5、已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数的方法。反映数据变化规律的近似函数的方法。2 2、区别、区别插值问题插值问题不一定得到近似函数的表达形式，仅不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。通过插值方法找到未知点对应的值。数据拟合数据拟合要求得到一个具体的近似函数的表达式。要求得到一个具体的近似函数的表达式。三、插值与三、插值与四、四、当数据量不够，需要补充，且认定已有数当数据量不够，需要补充，且认定已有数据可信时据可信时,通常利用函数插值方法。通常利用函数插值方法。实际问题当中碰到的函数实际问题当中碰到的函数 f(x)是各种各是各种各样的，有的表达式很复杂，有的

6、甚至给不出数样的，有的表达式很复杂，有的甚至给不出数学的式子，只提供了一些离散数据，警如，某学的式子，只提供了一些离散数据，警如，某些点上的函数值和导数值。些点上的函数值和导数值。4.1 4.1 引言引言 选用不同类型的插值函数，逼近的效选用不同类型的插值函数，逼近的效果就不同，一般有：果就不同，一般有：（1）拉格朗日插值（）拉格朗日插值（lagrange插值）插值）（2）分段线性插值）分段线性插值（3）Hermite（4）三次样条插值。）三次样条插值。4.2 4.2 插值方法插值方法 Matlab 实现：实现分段线性插值不需实现：实现分段线性插值不需要编制函数程序，它自身提供了内部的功要编制

7、函数程序，它自身提供了内部的功能函数能函数interp1(一维插值一维插值)intep2(二维二维)interp3(三维三维)intern(n维维)4.3 MATLAB 4.3 MATLAB实现插值实现插值用用MATLAB作插值计算作插值计算一维插值函数：一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值点被插值点插值节点插值节点xi处的处的插值结果插值结果nearest 最邻近插值；最邻近插值；linear 线性插值；线性插值；spline 三次样条插值；三次样条插值；cubic 立方插值；立方插值；缺省时缺省时 分段线性插值分段线性插值 注意：所有的插值

8、方法注意：所有的插值方法都要求都要求x是单调的，并且是单调的，并且xi不不能够超过能够超过x的范围的范围例：从例：从1 1点点1212点点的的1111小时内，每隔小时内，每隔1 1小时测量一次温小时测量一次温度，测得的温度的数值依次为：度，测得的温度的数值依次为：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，3030，2222，2525，2727，2424试估计每隔试估计每隔1/101/10小小时的温度值时的温度值ToMATLAB(temp)hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=inter

9、p1(hours,temps,h,spline);plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:)%作图作图xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)xy机翼下机翼下轮廓线轮廓线例例 已知飞机下轮廓线上数据如下，求已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变每改变0.1时的时的y值值To MATLAB(plane)返回返回二维插值的定义二维插值的定义 xyO O第一种（网格节点）：第一种（网格节点）：已知已知 m n个节点个节点),2,1;,.,2,1(),(njmizyxijji 其中其中jiyx,互不相同，不妨设互不相同，不妨设bxxxa

10、m 21dyyycn 21 构造一个二元函数构造一个二元函数),(yxfz 通过全部已知节点通过全部已知节点,即即再用再用),(yxf计算插值，即计算插值，即).,(*yxfz ),1,0;,1,0(),(njmizyxfijji 第二种（散乱节点）：第二种（散乱节点）：yx0 0已知已知n个节点个节点),.,2,1(),(nizyxiii 其中其中),(iiyx互不相同，互不相同，构造一个二元函数构造一个二元函数),(yxfz 通过全部已知节点通过全部已知节点,即即),1,0(),(nizyxfiii 再用再用),(yxf计算插值，即计算插值，即).,(*yxfz 返回返回 注意：注意：最邻

11、近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。最邻近插值最邻近插值x y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O O二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。返回返回将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：分片线性插值分片线性插值xy (xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)O Of(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,yj+1)=f4插值函数为：jii1ij1jy)xx(xxyyy)yy)(ff()xx)(ff(f)y,x(fj23i121

12、第二片(上三角形区域)：(x,y)满足iii1ij1jy)xx(xxyyy插值函数为：)xx)(ff()yy)(ff(f)y,x(fi43j141注意注意：(x,y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的；分两片的函数表达式如下：第一片(下三角形区域)：(x,y)满足返回返回双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。双线性插值函数的形式如下：)dcy)(bax()y,x(f其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数。双线性插值双线性插值x y(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O O返

13、回返回 要求要求x0,y0单调；单调；x，y可取可取为矩阵，或为矩阵，或x取行向量，取行向量，y取为列向量，取为列向量，x,y的值分别不能的值分别不能超出超出x0,y0 0的范围的范围z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值点插值方法用用MATLAB作网格节点数据的插值作网格节点数据的插值插值节点被插值点的函数值nearest 最邻近插值；最邻近插值；linear 双线性插值；双线性插值；cubic 双三次插值；双三次插值；缺省时缺省时 双线性插值双线性插值.例：测得平板表面例：测得平板表面3 35 5网格点处的温度分别为：网格点处的温度分别为：82 81 80 82

14、 84 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 79 63 61 65 81 84 8484 84 82 85 86 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形的图形输入以下命令：输入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲线图先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲线图.2以平滑数据以平滑数据,在在 x、y方向上每隔方向上每隔0.2个单位的

15、地方进行插值个单位的地方进行插值.再输入以下命令再输入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)画出插值后的温度分布曲面图画出插值后的温度分布曲面图.To MATLAB (wendu)通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较值效果进行比较To MATLAB (moutain)返回返回 插值函数插值函数griddata格式为格式为:cz=griddata（x，y，z，cx，cy，method）用用MA

16、TLAB作散点数据的插值计算作散点数据的插值计算 要求要求cx取行向量，取行向量，cy取为列向量取为列向量被插值点插值方法插值节点被插值点的函数值nearest最邻近插值最邻近插值linear 双线性插值双线性插值cubic 双三次插值双三次插值v4-MATLAB提供的插值方法提供的插值方法缺省时缺省时,双线性插值双线性插值 例例 在某海域测得一些点在某海域测得一些点(x,y)处的水深处的水深z由下表由下表给出，船的吃水深度为给出，船的吃水深度为5 5英尺，在矩形区域（英尺，在矩形区域（7575，200200）（-50-50，150150）里的哪些地方船要避免进入）里的哪些地方船要避免进入To

17、MATLABhd1返回返回4.作出水深小于作出水深小于5的海域范围的海域范围,即即z=5的等高线的等高线.2.在矩形区域在矩形区域(75,200)(-50,150)进行插值。进行插值。1.输入插值基点数据输入插值基点数据 3.作海底曲面图作海底曲面图%程序一：插值并作海底曲面图程序一：插值并作海底曲面图 x =129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5;y=7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3.0 56.5 -66.5

18、84.0 -33.5;z=4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9;x1=75:1:200;y1=-50:1:150;x1,y1=meshgrid(x1,y1);z1=griddata(x,y,z,x1,y1,v4);meshc(x1,y1,z1)海底曲面图海底曲面图%程序二：插值并作出水深小于程序二：插值并作出水深小于5 5的海域范围。的海域范围。x1=75:1:200;y1=-50:1:150;x1,y1=meshgrid(x1,y1);z1=griddata(x,y,z,x1,y1,v4);%插值插值z1(z1=5)=nan;%将水深大于将水深大于5的置为的置为nan，这，

19、这样绘图就不会显示出来样绘图就不会显示出来meshc(x1,y1,z1)水深小于水深小于5 5的海域范围的海域范围实验作业实验作业1 1 山区地貌：山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：在某山区测得一些地点的高程如下表：(平平面区域面区域12001200 x 4000,12004000,1200y 3600)3600)，试作出该山区的，试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较返回返回5.1 5.1 引言引言 对于情况较复杂的实际问题（因素不易对于情况较复杂的实际问题（因素不易化简，作用机理不详）可直接使用数据组建化简，作用机理不详

20、）可直接使用数据组建模，寻找简单的因果变量之间的数量关系，模，寻找简单的因果变量之间的数量关系，从而对未知的情形作预报。这样组建的模型从而对未知的情形作预报。这样组建的模型为拟合模型。为拟合模型。拟合模型的组建主要是处理拟合模型的组建主要是处理好观测数据的误差，使用数学表达式从数量好观测数据的误差，使用数学表达式从数量上近似因果变量之间的关系。拟合模型的组上近似因果变量之间的关系。拟合模型的组建是通过对有关变量的观测数据的观察、分建是通过对有关变量的观测数据的观察、分析和选择恰当的数学表达方式得到的。析和选择恰当的数学表达方式得到的。五、五、5.2 5.2 拟合模型的分类拟合模型的分类 5.2

21、.1 5.2.1 直线拟合直线拟合5.2.2 5.2.2 曲线拟合曲线拟合5.2.3 5.2.3 观察数据修匀观察数据修匀 对于已给一批实测数据，由于实测方法、对于已给一批实测数据，由于实测方法、实验环境等一些外界因素的影响，不可避免实验环境等一些外界因素的影响，不可避免地会产生随机干扰和误差。我们自然希望根地会产生随机干扰和误差。我们自然希望根据数据分布的总趋势去剔除观察数据中的偶据数据分布的总趋势去剔除观察数据中的偶然误差，这就是所谓的数据修匀（或称数据然误差，这就是所谓的数据修匀（或称数据平滑）问题。平滑）问题。直直 线线 拟拟 合合 问问 题题 引引 例例 1 1温度温度t(C)20.

22、5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻电阻R()765 826 873 942 1032已知热敏电阻数据：已知热敏电阻数据：求求6060C C时的电阻时的电阻R R2040608010070080090010001100设设R=at+ba,b为待定系数为待定系数曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 引引 例例 2 2t(h)0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c(g/ml)19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射注射300mg)

23、求血药浓度随时间的变化规律求血药浓度随时间的变化规律c(t).在直角坐标系下作图如下在直角坐标系下作图如下(plot)0()e,ktc tcc k为待定系数MATLAB(aa1)曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 的的 提提 法法已知一组（二维）数据，即平面上已知一组（二维）数据，即平面上 n个点个点（xi,yi)i=1,n,寻求一个函数（曲线）寻求一个函数（曲线）y=f(x),使使 f(x)在某种准则下与所有在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好数据点最为接近，即曲线拟合得最好+xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点（xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)的距离的距离曲线

24、拟合问题最常用的解法曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路线性最小二乘法的基本思路第一步:先选定一组函数先选定一组函数r1(x),r2(x),rm(x),mn,令令f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+amrm(x)（1）其中其中a1,a2,am为待定系数为待定系数 第二步:确定确定a1,a2,am的准则（最小二乘准则）：的准则（最小二乘准则）：使使n个点个点（xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)的距离的距离 i 的平方和最小的平方和最小 记记)2()()(),(211211221iiknimkkininiiimyxrayxfaaaJ 问题归结为，求问题归结为，求a1,a2,a

25、m 使使 J(a1,a2,am)最小最小线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+amrm(x)中中函数函数rr1 1(x),(x),r rm m(x)(x)的选取的选取 1.1.通过机理分析建立数学模型来确定通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx 2.2.将数据将数据 (xi,yi)i=1,n 作图，通过直观判断确定作图，通过直观判断确定 f(x)：用用MATLAB作线性最小二乘拟合作线性最小二乘拟合1.1.作多项式作多项式f(x)=a1xm+amx

26、+am+1拟合拟合,可可利用已有程序利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)输入同长度输入同长度的数组的数组x，y拟合多项拟合多项式次数式次数2.2.多项式在多项式在x处的值处的值y可用以下命令计算：可用以下命令计算：y=polyval（a，x）1）输入以下命令：）输入以下命令：x=0:0.1:1;y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,k+,x,z,r)%作出数据点和拟合作出数据点和拟合曲线的图形曲线的图形2）计算结果：）计算结

27、果：=-9.8108 20.1293 -0.0317用多项式拟合的命令用多项式拟合的命令MATLAB(zxec2)00.20.40.60.81-20246810120317.01293.208108.9)(2xxxf如何预报人口的增长如何预报人口的增长 人口的增长是当前世界上引起普遍关注人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，并且我们会发现在不同的刊物预报的问题，并且我们会发现在不同的刊物预报同一时间的人口数字不相同，这显然是由于同一时间的人口数字不相同，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果。用了不同的人口模型计算的结果。我国是世界第一人口大国，基本上地球每九我国是世界第一人口大国，基本

28、上地球每九个人中就有一个中国人。有效地控制我国人个人中就有一个中国人。有效地控制我国人口的增长是使我过全面进入小康社会、到口的增长是使我过全面进入小康社会、到2121世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要。而有效控制人口增长的前提是要认的需要。而有效控制人口增长的前提是要认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报。出较准确的预报。例例:如何预报人口的增长如何预报人口的增长例如：例如：19491949年年19941994年我国人口数据资料如下：年我国人口数据资料如下：年年 份份xi 1949 1954

29、1959 1964 1969 1974 xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1979 1984 1989 1994 人口数人口数yiyi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 9.8 10.3 11.3 11.8 建模分析我国人口增长的规律建模分析我国人口增长的规律,预报预报19991999年我年我国人口数。国人口数。模型一：假设人口随时间线性地增加模型一：假设人口随时间线性地增加 模型：模型：参数估计观测值的模型：参数估计观测值

30、的模型：拟合的精度拟合的精度:误差平方和。误差平方和。可以算出：可以算出：a=-283.2320 b=0.1480模型：模型：y=1.93+0.146 x bxaynibxayii,2,1,)(22iiiibxayeQ则可看成是线性方程则可看成是线性方程,用用 polyfit命令计算得：命令计算得：模型二：指数增长模型模型二：指数增长模型 bxaey bxay lnln可变为可变为xey0179.033.2YA=+BXa=2.33,b=0.0179则所求模型为则所求模型为:程序如下：程序如下：x=1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994

31、;y=5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8;a=polyfit(x,y,1);x1=1949:10:1994;y1=a(2)+a(1)*x1;b=polyfit(x,log(y),1);y2=exp(b(2)*exp(b(1)*x1);plot(x,y,*)hold on plot(x1,y1,-r)hold on plot(x1,y2,-k)legend(原曲线原曲线,模型一曲线模型一曲线,模型二曲线模型二曲线)结论的比较如下表：结论的比较如下表：年年 份份 xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984

32、1989 1994 xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 人口数人口数 yiyi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 模型一值模型一值 5.24 5.97 6.70 7.43 8.16 8.90 9.62 10.36 11.09 11.82 5.24 5.97 6.70 7.43 8.16 8.90 9.62 10.36 11.09 11.82 误误 差差 0.16 0.03 0.00 -0.

33、43 -0.06 0.20 0.18 -0.06 0.01 -0.02 0.16 0.03 0.00 -0.43 -0.06 0.20 0.18 -0.06 0.01 -0.02 模型二值模型二值 5.55 6.06 6.62 7.23 7.90 8.64 9.44 10.31 11.26 12.31 5.55 6.06 6.62 7.23 7.90 8.64 9.44 10.31 11.26 12.31 误差误差 -0.15 -0.06 0.08 -0.23 0.20 0.46 0.36 -0.01 -0.13 -0.51-0.15 -0.06 0.08 -0.23 0.20 0.46 0.

34、36 -0.01 -0.13 -0.51结果分析：结果分析：（1）Q1 =0.2915 x=0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=2.3201 2.647 2.9707 3.2885 3.6008 3.909 4.2147 4.5191 4.8232 5.1275;a=lsqcurvefit(f1,1;2;2;2,x,y)最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：0246810121416180510152025已知数据点spline三次多项式插值0246810121416180510152025已知数据点linest三次多项式插值0246810121416180510152025已知数据点nearest三次多项式插值