知识讲解 磁场对运动电荷的作用 (2)

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1、物理总复习：磁场对运动电荷的作用编稿：李传安 审稿：张金虎考纲要求】1、知道洛伦兹力的特点，会计算其大小并用左手定则确定其方向；2、掌握带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径周期公式，知道常见的分析方法；3、知道带电粒子在有界磁场中运动的多解情况、临界值与极值问题的处理方法，会 熟练求解相关问题。考点梳理】 考点一、磁场对运动电荷的作用力（洛仑兹力） 要点诠释：1、洛仑兹力的大小f = q vsBen,9为v与B的夹角。当9 = 90时，f = qvB，此时，电荷受到的洛仑兹力最大；0当9= 0或180时，f =0,即电荷在磁场中平行于磁场方向运动时，电荷不受洛仑兹力 作用； 当 v=0 时，

2、f =0，说明磁场只对运动的电荷产生力的作用。2、洛仑兹力的方向左手定则：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，且处于同一平面内，让磁感线穿 入手心，四指指向为正电荷的运动方向（或负电荷运动的反方向），大拇指所指的方向是正 电荷（负电荷）所受的洛仑兹力的方向。3、由安培力公式F = BIL推导洛仑兹力公式f = qvB如图所示，直导线长L,电流为I,导线中运动电荷数为n,截面积为S,电荷的电量为 q,运动速度为v,则安培力 F = BIL = nfF BIL所以洛仑兹力f = nn因为 I = NqSv （ N 为单位体积内的电荷数） NqSv - BL NSL 厂“ 厂所以 f =-qvB，

3、式中 n = NSL，故f = qvB。nn洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力，而安培力是导体中所有定向移动的自由电 荷受到的洛伦兹力的宏观表现。4、洛伦兹力和电场力的比较洛伦兹力电场力性质磁场对在其中运动电荷的作用力电场对放入其中电荷的作用力产生条件磁场中静止电荷、沿磁场方向运动 的电荷将不受洛伦兹力电场中的电荷尢论静止，还是沿何万向运 动都要受到电场力方向方向由电荷正负、磁场方向以及 电荷运动方向决定，各方向之间关系 遵循左手定则洛伦兹力方向一定垂直于磁场方 向以及电荷运动方向（电荷运动方向 与磁场方向不一定垂直） 方向由电荷正负、电场方向决定 正电何受力方向与电场方向一致，负电何 受

4、力方向与电场方向相反大小f = qvB （ v 丄 B）F = qE做功情况一定不做功可能做正功，可能做负功，也可能不做功注意：（1）洛伦兹力的方向不是和磁场方向相同或相反，而总是和磁场方向垂直。（2）用左手定则判定洛伦兹力的方向时一定注意四指指的是正电荷运动的方向，审题 时首先判断电荷的正负。考点二、带电粒子在匀强磁场中的运动规律 要点诠释：1、vB时，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。2、v丄B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动（1）运动分析：如图所示，若带电粒子沿垂直磁场方向射入磁场，盟=90时，带电粒 子所受洛仑兹力f = qvB，方向总与速度

5、v方向垂直。洛仑兹力提供向心力，使带电粒子在 匀强磁场中做匀速圆周运动。（ 2）其特征方程为 f =F洛向（ 3）四个基本公式： v2 向心力公式：qvB = mRmv 半径公式：R =qB2 兀 m 1” 周期和频率公式：T =f是频率qB f1p2 （ BqR）2 动能公式：E = mv2 =p是动量k 22m 2mq带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T,只和粒子的比荷（兰）有关，与粒子m的速度v、半径R的大小无关；也就是说比荷（-）相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中,mT、f和相同。考点三、带电粒子做匀速圆周运动的分析方法 要点诠释：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法三

6、步法1、画轨迹：即确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹。2、找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角运动时间相联 系，在磁场中运动的时间与周期相联系。3、用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式，半径公式。（一）圆周运动中的应用三步法的方法技巧：要点诠释：1、圆心的确定：一般有以下两种情况：（1）已知粒子运动轨迹上两点的速度方向，如图甲，作这两速度的垂线，交点即为圆心。（2）如图乙所示，P为入射点、M为出射点，已知入射方向和出射点的位置时，可以通 过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作它的中垂线，这两条垂线的交点就是 圆心。2、半径的确定和计算。 圆

7、心找到以后，自然就有了半径，半径的计算一般是利用几何知识，常用到解三角形的 方法及圆心角等于弦切角的两倍等知识。如图，= P，即偏向角等于圆心角；a = 20即 圆心角等于弦切角的两倍。4* fr3、在磁场中运动时间的确定。利用圆心角与弦切角的关系，或者是四边形内角和等于3600计算出圆心角0 的大小，由 0l公式t = T,可求出运动时间t。有时也用弧长与线速度的比t =。360v在上述问题中经常用到以下关系：（1）速度的偏向角9等于AB所对的圆心角0。（2） 偏向角 9 与弦切角 的关系：180。，9 = 2a ； 9 180。，9二 360。 2a。（3）圆周运动中有关对称规律：如从同一

8、直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速度 与边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。（二）圆周运动中的有关对称或临界问题要点诠释：1、直线边界（进出磁场具有对称性，如图）2、平行边界(存在临界条件，如图)3、圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图)(三) 两类典型的综合问题要点诠释：1、带电粒子在有界磁场中运动的极值问题，注意下列结论，再借助数学方法分析 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。(2) 当速度v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中 运动的时间越长。(3) 当速率v变化时，圆周角越大的，运动时间越

9、长。2、洛伦兹力的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解， 多解形成原因一般包含下述几个方面(1)带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度的条件 下，正负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。( 2)磁场方向不确定形成多解 有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑 磁感应强度方向不确定而形成的多解。( 3)临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可 能穿过去了，也可能转过 180从入射界面这边反向

10、飞出，如图所示，于是形成了多解。（4）运动的往复性形成多解带电粒子在部分是电场，部分是磁场空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解。【典型例题】类型一、带电粒子在磁场中运动的基本概念问题 【高清课堂：磁场对运动电荷的作用 例 1】例 1、 假设有一个带正电的粒子垂直于地球赤道射来，如图所示。在地球磁场的作用 下，这个粒子偏转的方向是（ ）（不考虑磁偏角）C向东D.向西A.向北B.向南【思路点拨】明确地磁场方向从南向北，画出图，用左手定则判断。【答案】C【解析】地磁场方向从南向北，在图中为向上，运动方向垂直于地球 赤道设为向里，为“X”，应用左手定则，大拇指指向右边即向东。 如图所示。西*毬

11、【总结升华】首先要明确地磁场方向从南向北，其次把地磁场方向在图中正确表示出来，这样运用左手定则问题就可以解决了。南举一反三【变式】粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4 倍与 2 倍，两粒子均带正电。让它们在匀 强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动。已知磁场方向垂直纸面向里。以下 四个图中，能正确表示两粒子运动轨迹的是 （）答案】A【解析】两粒子均带正电，以大小相等的速度在磁场中向相反的方向运动，都是由洛伦兹力v 2mv充当粒子做圆周运动的向心力所以有qvB = m , R =，因为粒子甲的质量与电荷RqB量分别是粒子乙的4倍与2倍，所以甲的半径为乙半径的2倍.根据左手定则，甲粒子做

12、圆 周运动的洛伦兹力指向圆心，运动方向一定为逆时针，所以A正确.故选A.例 2、带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹图是在有匀强 磁场云室中观察到的粒子的轨迹，a和b是轨迹上的两点，匀强磁场B垂直纸面向里.该粒列说法正确子在运动时，其质量和电量不变，而动能逐渐减少 的是（）A. 粒子先经过a点，再经过b点B. 粒子先经过b点，再经过a点C. 粒子带负电D. 粒子带正电 【思路点拨】理解“动能逐渐减少”的意思，速度减小，轨迹半径减小。根据曲线运动所受 合力方向指向凹的一侧，用左手定则判断电荷的正负。【答案】AC, mv【解析】粒子在云室中运动时，动能逐渐减少，即速度逐渐减小，

13、根据R=，可知其运qB动轨迹的半径逐渐减小，故粒子运动方向为由a到b,故A正确，B错误；运动方向由a到 b，磁场垂直纸面向里，所受洛伦兹力方向指向运动轨迹内侧，故由左手定则可知该电荷带 负电，故C正确，D错误.故选AC.【总结升华】根据带电粒子在磁场中受力特点以及粒子在磁场中运动的半径公式进行求解是 解决这类问题的基本思路。举一反三【变式】 2016 广东卷）关于电荷所受电场力和洛伦兹力，正确的说法是（ ）A. 电荷在磁场中一定受洛伦兹力作用B. 电荷在电场中一定受电场力作用C. 电荷所受的电场力一定与该处的电场方向一致D. 电荷所受的洛伦兹力不一定与磁场方向垂直【答案】 B【解析】电荷在磁场

14、中不一定受洛伦兹力，当静止时一定没有洛伦兹力，而运动的电 荷，当速度与磁场平行时，没有洛伦兹力作用，A错；电荷在电场中一定受到电场力作用， B 正确；正电荷所受的电场力一定与该处的电场方向相同，负电荷所受的电场力一定与该处 的电场方向相反，C错；电荷所受的洛伦兹力与磁场及电荷运动速度构成的平面垂直，所以 电荷所受的洛伦兹力一定与磁场方向垂直，D错。故选 B。类型二、关于带电粒子在磁场中的运动时间问题例3、如图所示，带异种电荷的粒子a、b以相同的动能同时从O点射入宽度为d的有界匀强磁场，两【思路点拨】求解本题的关键是画出来粒子的轨迹图，并确定圆心、求出半径和圆心 角，然后根据动能相等的条件以及相

15、等的运动时间并结合圆周运动公式联立即可求解求解 有关带电粒子在有界磁场中的运动问题的关键是画出轨迹图，并根据几何知识确定圆心求 出半径和圆心角，再结合圆周运动的有关规律联立即可求解【答案】D【解析】根据题意画出 a、 b 粒子的轨迹如图所示，t则a、b粒子的圆心分别是Oi和%设磁场宽度为d，由图可知，粒子a的半径d2sin 60o2 1粒子b的半径为r =2= d，由E二mv2可得:2 sin 3Ook 21 1v2mvmv、亠m v2 = m v2，即 m v2 = m v2 由 qvB= m 可得：r = ， r =又 a 粒子轨迹2 1 122 21 12 2r1 q B 2 q B12

16、2 x 60 小2 兀 r2 x 30 小 兀 r长度为S二x 2兀r二 1，粒子b的轨迹长度为S二x 2兀r二2，所以136013236023SSv - ， v = T1 t 2 tm 3联立以上各式解得二丁，所以C正确，ABD错误.故选：C.m 42举一反三变式 1】半径为 r 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子（不 计重力）从A点以速度v0垂直磁场方向射入磁场中，并从B点 射出，ZAOB=120，如图所示，则该带电粒子在磁场中运动的时间为（ ）2兀2/3 rA.B.3v3v00兀r3兀rC.D.-3v3v00【答案】D【解析】ZAOB不是圆心角，通过已知条件找到A

17、B弧所对应的圆心O，由图可知圆心角60 f 1 f 兀 m0=60，得t二-T = -T =，题中m、q、B均为未知，但周期公式还有一个表36063qBO达式T =R，其中R为AB弧所对应的轨道半径，图中AOOA是直角三角形，可得R = 3r，所以 t =3voD 选项正确。v【变式 2】如图所示，正负电子垂直磁场方向，沿与边界成30角的方向射入匀强磁场中 求在磁场中运动的时间之比。【答案】 1:51【解析】画出草图。正电子的圆心角为60，在磁场中运动的时间t =7T ；。 1 6负电子的圆心角为300，在磁场中运动的时间t = T，正负电子在磁场中运动的周期相。 2 6等，则它们在磁场中运动

18、的时间之比ti： t2 = 1：5。类型三、粒子在有界磁场中运动的临界问题高清课堂：磁场对运动电荷的作用 例 3】例 4、(1) 电子从坐标原点沿 x 正方向射出，设磁感应强度垂直纸面向里，若电子以不同 大小速度入射，请分别画出运动轨迹。(2)电子从坐标原点以相同速率沿不同方向射出，设磁感应强度垂直纸面向里，请画出不 同速度对应的运动轨迹。 【思路点拨】根据洛伦兹力提供向心力的特点，准确快速画出轨迹圆。【答案】略。【解析】(1)如图1所示；(2)速度方向沿x轴负方向入射，轨迹如图2-1所示；速度方向 沿与x轴正方向有一夹角入射，轨迹如图2-2所示；速度方向沿与x轴正方向夹角大于90【总结升华】

19、快速画出粒子在磁场中运动的轨迹圆，是解决带电粒子在磁场中运动问题的关 键步骤，也是解题的基本功。举一反三【变式】如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B磁场 方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的 各个方向，由小孔 O 射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R =Bq。哪个图是正确的？1RBACV以搭彩匸航严I o D【答案】 A【解析】根据左手定则，从小孔O垂直于边界射入磁场的粒子轨迹是半圆，打在边界上的距 离是直径2R,因此在左边最远；平行于边界向左射入的粒子飞出磁场

20、，平行于边界向右射 入的粒子，轨迹是一个圆，右边最远是半径R,上面最远是直径2R，观察图形可知A对。例5、如图所示，宽度d = 8cm的匀强磁场区域(aa，bb足够长)磁感应强度B = 0.332T, 方向垂直纸面向里，在边界aa上放一 a粒子源S,可沿纸面向各个方向均匀射出初速率相 同的a粒子，已知a粒子的质量m = 6.64x10-27kg,电量q = 3.2x10-19C,射出时初速率v0 = 3.2x106m/s。求(1) a粒子从b端出射时的最远点P与中心点O距离PO(2) a粒子从b端出射时的最远点Q与中心点O的距离QO【思路点拨】求出射时的最远点P与中心点O距离PO,显然要分析出

21、临界条件，只有速度 方向向下的a粒子圆半径最大，穿出磁场时才最远，结合几何关系求出。【答案】（ 1） 16cm（ 2 ） 16cmmv【解析】（1）粒子在磁场中运动的半径为R = 0.2m = 20cmqB速度方向向下的a粒子穿出磁场时最远点为P,设OP距离为x，如图,根据几何关系R2二x2 + （R - d ）2,解得x二16cm。（2）穿出磁场时与边界相切于Q点，距O点最远，设OQ距离为x,如图,根据几何关系R2二x2 + （R - d ）2,解得x二16cm。QR心沁 *V?人-R-d【总结升华】解题的关键点：1、确定临界条件有一定的难度，一般先画出草图再确定， 2、 分析出临界条件：穿

22、出磁场时与边界相切Q点，距O点最远，3、根据几何关系求轨道半径。举一反三 【变式】利用电场和磁场，可以将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技 术等领域有重要的应用。如图所示的矩形区域ACDG（AC边足够长）中存在垂直于纸面的匀强 磁场，A处有一狭缝。离子源产生的离子，经静电场加速后穿过狭缝沿垂直于GA边且垂直于 磁场的方向射入磁场，运动到GA边，被相应的收集器收集。整个装置内部为真空。已知被 加速的两种正离子的质量分别是m和m2（m1m2），电荷量均为q。加速电场的电势差为U离 子进入电场时的初速度可以忽略。不计重力，也不考虑离子间的相互作用。（1）求质量为的离子进入磁场时的速率V

23、；（2）当磁感应强度的大小为B时，求两种离子在GA边落点的间距s；（3）在前面的讨论中忽略了狭缝宽度的影响，实际装置中狭缝具有一定宽度。若狭缝过 宽，可能使两束离子在GA边上的落点区域交叠，导致两种离子无法完全分离。设磁感应强度大小可调，GA边长为定值L,狭缝宽度为d,狭缝右边缘在A处。离子可以 从狭缝各处射入磁场，入射方向仍垂直于GA边且垂直于磁场。为保证上述两种离子能落在GA边上并被完全分离，求狭缝的最大宽度。离子源【答案】丁2qUm2)解析】(1)根据动能定理Uq = m v 2211得 V = .2qUmm v2(2)由牛顿第二定律 qvB=R利用式得离子在磁场中的轨道半径为别为 R1

24、2mUqB 22mUqB 2两种离子在GA上落点的间距s = 2( R8UqB 2-R2)= 如图2所示。(3) 质量为m的离子，在GA边上的落点都在其入射点左侧2R处，由于狭缝的宽度为d, 因此落点区域的宽度也是d。同理，质量为m2的离子在GA边上落点区域的宽度也是d。 为保证两种离子能完全分离，两个区域应无交叠，如图3所示，条件为2(R R ) d 2图3严一m、 丿2) d mi利用式，代入式得2R （1 -1如图4所示，的最大值满足2R二L-d 11 mj m得(L - d )(1-J-2) d m求得最大值d1 1类型四、带电粒子在磁场中运动的多解问题例6、如图所示，宽度为d的有界匀

25、强磁场，磁感应强度为B, MM和NN是它的两 条边界。现有质量为m,电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从 边界NN射出，则粒子入射速率v的最大值可能是。【思路点拨】带电粒子电性没有给，可能是正离子也可能是负离子，正离子磁场左上方射出， 负离子从磁场左下方射出，“要使粒子不能从边界NN射出”的意思是与NN相切。画图 分析。【答案】（2 +12） Bqd / m 或（2 -弋 2） Bqd / m。【解析】这是带电粒子电性不确定而形成的多解问题。题目中只给出“电荷量为q的带电粒 子”，未说明带何种电荷，因此有两种可能。画出草图。若带正电荷，轨迹是如图所示的上 方与NN相切的四

26、分之一圆弧（弦切角为45，则圆心角为90），o0轨道半径 R =，又 d - R R，解得 v = （2 +、；2） Bqd Im。qB2若带负电荷，轨迹如图的下方与NN相切的四分之三圆弧（圆心角为270 ），0f则有 Rf =， d = Rf + Rf，解得 v = （2 一 *2） Bqd / m。qB2所以粒子入射速率v的最大值可能是（2 +叮2）Bqd / m或(2 7 2) Bqd / m。【总结升华】仔细分析题意，考虑问题要全面，找出临界条件，分别用各自的参数(如半径) 求解。本题属于带电粒子电性不确定而形成的多解问题。举一反三【变式】如图所示，ab、cd为一对平行板，板长为l,两

27、板距离也为l,板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。一个质量为m,带电量为+q的带电 粒子以初速vo，从 ab、cd两板的中间，沿垂直于磁力线的方向射入磁场。求气在什么范围内，粒子能从磁场内射出？【答案】卩0v，1 0 1 粒子从右边射出；速度较小的粒子，轨迹半径就小，从左边射出，从a点射出的粒子最大速度为v，当v v，粒子从左边射出。因此本题是2 0 2 临界状态不唯一而形成的多解问题。 第一种情况：若刚好从 b 点射出，如图，根据几何关系：R2 = l2 + (R -)2,解得R = 51。11 21 4根据洛伦兹力提供向心力qvB = m琴Rv = qBR 解得vi二竽1m14 mkXXXXXJXXXXXXXXX第二种情况：若刚好从a点射出，R2 = 4，笃=譽。所以要使粒子不打在极板上，应使气 5qBl0 4m