线性代数含全部课后题详细答案51

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1、1第五章第五章 线性方程组线性方程组一一.高斯消元法高斯消元法二二.齐次线性方程组齐次线性方程组三三.非齐次线性方程组非齐次线性方程组2一一.高斯消元法高斯消元法 设一般线性方程组为设一般线性方程组为11112211211222221122 (1)nnnnmmmnnma xaxaxbaxaxaxbaxaxaxb 称为方程组（称为方程组（1）的）的导出组，导出组，或称为（或称为（1）对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组.当当0 (1,2,)ibim时时,齐次线性方程组齐次线性方程组11112212112222112200(2)0nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax 3举例说

2、明消元法具体步骤：举例说明消元法具体步骤：例例1：解线性方程组：解线性方程组1231231232314254240 xxxxxxxxx 解：解：100021001312213100120011 最后一行有最后一行有301,x 可知方程组无解。可知方程组无解。2131(,)42542140A b 4例例2：解线性方程组：解线性方程组123423412423423410331730 xxxxxxxxxxxxx 解：解：),(bA12341011100024000480 0000002100011101432112341011101303107310 512021010100012000000 10

3、001010100012000000 对应的方程组为对应的方程组为124341020 xxxxx 1243412xxxxx 即即所以一般解为所以一般解为123412xxkxkxk （k为任意常数）为任意常数）6111211,1112212,122,11000000 0 0000 0 00000 0 00rrnrrnrrr rrnrrssssstsssstssstt 化为行阶化为行阶梯形矩阵梯形矩阵(,)B Ab 7则以该矩阵为增广矩阵的方程组与原方程组同解。则以该矩阵为增广矩阵的方程组与原方程组同解。1,1112,122,11100010001 000 0 0000 0 00000 0 00r

4、nrnr rrnrrccdccdccdd 化为行最化为行最简形矩阵简形矩阵8由矩阵（由矩阵（3）可讨论方程组（）可讨论方程组（1）的解的情况）的解的情况 1)若若 ，则方程组无解。，则方程组无解。10rd 2)若若10,rd 则方程组有解，则方程组有解，当当rnrn 有唯一解。有唯一解。有无穷多解。有无穷多解。3)特别地，方程组特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组的导出组，即对应的齐次线性方程组 一定有解。一定有解。当当rnrn 有唯一的零解。有唯一的零解。有无穷多解，即有非零解。有无穷多解，即有非零解。9二二.齐次线性方程组齐次线性方程组有解的条件有解的条件解的性质解的性质基

5、础解系基础解系解的结构解的结构101.齐次线性方程组有解的条件齐次线性方程组有解的条件定理定理1：齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解有非零解110m nnmAx r An定理定理2：齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解110m nnmAx r An 推论：推论：齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解110n nnnAx r An 即即0,A 即系数矩阵即系数矩阵A可逆。可逆。11二二.解的性质解的性质（可推广至有限多个解）（可推广至有限多个解）解向量：解向量：每一组解都构成一个向量每一组解都构成一个向量性质：性质：若若 是（是（2）的解，）的解，12,则则 仍然是（仍然是

6、（2）的解。）的解。1122xkk解空间解空间:0AX 的所有解向量的集合，对加法和数乘的所有解向量的集合，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。线性方程组的解空间。123.基础解系基础解系设设12,n r 是是0AX 的解，满足的解，满足121 ,n r （）线性无关；线性无关；2 0AX （）的任一解都可以由的任一解都可以由12,n r 线性表示。线性表示。则称则称12,n r 是是0AX 的一个的一个基础解系。基础解系。1202010100120000A 1000010100120000 13证明分三步证明分三

7、步:1.以某种方法找以某种方法找 个解。个解。nr 2.证明这证明这nr 个解线性无关。个解线性无关。3.证明任一解都可由这证明任一解都可由这nr 个解线性表示。个解线性表示。1,112,12,1100010001 000 0 0000 0 0000 0 0rnrnr rrncccccc 化为行最化为行最简形矩阵简形矩阵A定理：定理：设设A是是mn 矩阵矩阵,如果如果(),r Arn 则齐次线性方程组则齐次线性方程组0AX 的基础解系存在，的基础解系存在，且每个基础解系中含有且每个基础解系中含有nr 个解向量。个解向量。14注：注：0AX 的基础解系实际上就是解空间的一个基。的基础解系实际上就

8、是解空间的一个基。(1)(2)证明过程提供了一种求解空间基（基础证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。解系）的方法。(3)基（基础解系）不是唯一的。基（基础解系）不是唯一的。(4)当当()r An 时，解空间是时，解空间是 0.当当()r Arn时，求得基础解系是时，求得基础解系是12,n r 则则1122 n rn rxkkk是是0AX 的解，的解，称为称为通解。通解。4.解的结构解的结构0AX 的通解是的通解是1122n rn rxkkk15例例4:求下列齐次方程组的通解。求下列齐次方程组的通解。12341234123240(1)24803620 xxxxxxxxxxx 解：解

9、：124124813620A 1120512413001030011000000000 初等行变换初等行变换16行最简形矩阵对应的方程组为行最简形矩阵对应的方程组为1243412053010 xxxxx 即即12434125310 xxxxx 17先求基础解系，再求通解。先求基础解系，再求通解。12434125310 xxxxx 由由令令2410 xx 得得12100 令令2401xx 得得21503101 则通解为则通解为1122xkk12(,k k为任意常数）为任意常数）1812312312312323036100(2)2570240 xxxxxxxxxxxx 解：解：1233610257

10、124A 123011001000 初等行变换初等行变换 3,r An所以只有零解。所以只有零解。000100010021 00010001000119例例5.5设设B是一个三阶非零矩阵，它的每一列是如是一个三阶非零矩阵，它的每一列是如下齐次线性方程组的解下齐次线性方程组的解1231231232202030 xxxxxxxxx求求的值和的值和|B|例例5.6设设A是一实矩阵，证明是一实矩阵，证明()()Tr A Ar A20111211,1112212,122,11000000 0 0000 0 00000 0 00rrnrrnrrr rrnrrssssstsssstssstt 化为行阶化为行

11、阶梯形矩阵梯形矩阵(,)B Ab 三三.非齐次性线性方程组非齐次性线性方程组11 (1)m nnmAxb 211,1112,122,11100010001 000 0 0000 0 00000 0 00rnrnr rrnrrccdccdccdd 化为行最化为行最简形矩阵简形矩阵22三三.非齐次性线性方程组非齐次性线性方程组11 (1)m nnmAxb 1.有解的条件有解的条件 定理定理3：非齐次线性方程组非齐次线性方程组11m nnmAxb 有解有解 ,r Ar A b并且，当并且，当 ,r Ar A bn时，有唯一解；时，有唯一解；当当 ,r Ar A bn时，有无穷多解。时，有无穷多解。2

12、.解的性质解的性质性质：性质：12,是是 的解，则的解，则12 是是0Ax 11m nnmAxb 对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的解。的解。23分析分析:3.解的结构解的结构若若11(1)m nnmAxb 有解，则其通解为有解，则其通解为*x 其中其中*是（是（1）的一个特解，）的一个特解，是（是（1）对应的齐次线性方程组）对应的齐次线性方程组 的通解。的通解。0Ax 1.证明证明*x 是解；是解；2.任一解都可以写成任一解都可以写成*x 的形式。的形式。24例例6:求解非齐次方程组求解非齐次方程组1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxx

13、x 解：解：1511112133(,)3811119377A b 15111072440000000000 2531 31 310777244017770000000000 1342341 331 3777424777xxxxxx 26令令,043 xx得得 0074713 又原方程组对应的齐次方程组的通解是又原方程组对应的齐次方程组的通解是 432431747271373xxxxxx令令 10,0143xx得基础解系得基础解系 1074713,01727321 所以原方程组的通解是所以原方程组的通解是2211 kk 12(,k k为任意常数）为任意常数）27例例7：k取何值时有唯一解取何值时

14、有唯一解,无穷多解或无解，无穷多解或无解，有无穷多解时求出通解有无穷多解时求出通解.1231232353218522kxxxxxkxkxx 解：解：115,321850122kA bkk321851150122kkk 法法1：28 23218542001251852 133330122kkkkkkk 22321 8501224151 400133333kkkkkk 时时，有有唯唯一一解解且且即即时时3,31,013134 12 nbArArkkkk .,3 )3(,32,1 2无解无解时时有无穷多解有无穷多解时时bArArkbArArk 29法法2：利用利用Cramer法则法则1132(1)(

15、3)012kDkkk 2210131235111),(bA 000022103101有无穷多解，有无穷多解，3231223xxxx 121023321cxxx即即当当 时，时，1k 当当 时，即时，即 且且 时，方程组有唯一解。时，方程组有唯一解。0D 1k 3k 30时，时，当当3 k 221033235113),(bA 400022105113所以方程组无解。所以方程组无解。),()(bArAr 31例例 求求出出它它的的一一切切解解在在有有解解的的情情况况下下，是是有有解解的的充充要要条条件件证证明明方方程程组组.054321515454343232121 aaaaaaxxaxxaxxa

16、xxaxx解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为32 543211000111000011000011000011aaaaaB 5143210000011000011000011000011iiaaaaa 051 iiaBRAR33.051 iia是是方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组 454343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：由此得通解：544543354322543211xaxxaaxxaaaxxaaaax .5为为任任意意实实数数x34作业 A 5,7,9,10,11,14,17 B 2,4,6,8