空间角的几何求法

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1、M为PC的中点。求证：BM平面PAD ；(2) 在侧面PAD内找一点N,使MN丄平面PBD ；(3) 求直线PC与平面PBD所成角的正弦。【变式】如图，在三棱锥V - ABC中，VC丄底面ABC,PAC丄BC , D是文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持.空间角的几何求法c兀一、异面直线所成角(线线角)范围：Oe CO,-先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。 【典例分析】例1.已知多面体ABCDE中，AB丄平面ACD, DE丄平面ACD, AC二AD二CD二DE二2, AB = 1, F为CD的中点. 求证：AF丄平面

2、CDE; 求异面直线AC, BE所成角余弦值；【变式】在长方体ABCD - ABCD中，AB = BC = 1 , AA1 =氏，则异面直线AD与DB所成角的余弦值为。1111 1 1 1_ 兀_二、直线与平面所成角(线面角) 范围：0 e 0,-【典例分析】例1.如图，已知多面体ABCA1B1C1, A* BB, C0均垂直于平面ABC,乙ABC=120,A A=4, C C=1, AB=BC=B B=2 .11 1 证明：AB】丄平面A1B1C1 ；(2)求直线AC】与平面ABB】所成的角的正弦值.【变式】如图，四边形ABCD是正方形，PB丄平面ABCD, MA/PB, PB=AB=2MA

3、,(1) 证明：AC/平面PMD ；(2) 求直线BD与平面PCD所成的角的大小； 例2如图所示，四棱锥PABCD中，AB丄AD, CD丄AD, PA丄底面ABCD, PA=AD = CD = 2AB=2,CAB的中点，(n且 AC 二 BC 二 a , ZVDC =0 0 0.k2丿(1) 求证：平面VAB丄平面VCD ;n(2) 试确定角0的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为-.6三、平面与平面所成角(面面角)范围：0 e 0,兀(1)定义法：当点A在二面角a-0-卩的棱0上时，可过A分别在a、卩内作棱0的 垂线，AB、AC,由定义可知ZBAC即为二面角a-0-P的平面角。(2)三垂线

4、法：当点A在二面角a-0-卩的一个面a内时，可作AO丄卩于O,再作OB丄0于B,连结AB,由三垂线定理可得AB丄0,故ZABO即为二面角a-0-卩的平面角。(3)垂面法：当点A在二面角a-0-卩内时，可作AB丄a于B, AC丄卩于C,设1过AB、AC的平面与0交于点O,连结OB、OC,可证平面，S射影S原ABOC是0的垂面，贝显丄OB, 0丄OC,ZBOC即为二面角a-0-卩的平面角。(4)射影面积法：cosa【典例分析】BD丄CD，若AB = BC = 2BD，求二面角B AC D的正弦值+例1如图，AB丄平面BCD，例2.把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时

5、停止，并记为点P. (1)求证：面ABP丄面ABC；(2)求二面角C-BP-A的余弦值.例3.在正三棱柱ABC ABC中，E g BB，截面A EC丄侧面AC .1 1 1 1 1 1(1)求证：BE二EB ； (2)若 AA二AB，求平面A EC与平面ABC所成二面角(锐角)的度数.1 1 1 1 1 1 1 1 变式】1.E是正方形ABCD的AB边中点，将 ADE与ABCE沿DE、CE向上折起，使得A、B重合为点P,那么 二面角DPEC的大小为.亠2在正四面体ABCD中，求相邻两个平面所成的二面角的余弦值3已知：二面角a l 卩且A ea , A到平面0的距离为2爲,A到l的距离为4 ,求

6、二面角a l 卩的大小.例3.已知斜三棱柱ABC A1B1C1, ZBCA = 90 , AC BC 2 , A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D ,又知BA1丄AC1。(1)求证：AC】丄平面A1 BC ;求CC1到平面A1 AB的距离；(3)求二面角A 一 A1B 一 C的大小。【变式】如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AA】=AB=1.(1) 求证：AC平面 AB1D ；(2) 求二面角BAB1D的大小；(3) 求点C到平面AB1D的距离.巩固练习】1. 已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为SE与

7、平面ABCD所成的角为02，二面角S-AB-C的平面角为03，贝A. 0戸2現_03三02玄1CT玖現.02現三0172. 已知圆锥的顶点为S，母线SA , SB所成角的余弦值为石，SA与圆锥底面所成角为45,若ASAB的面积为5历5,8BC的中点.则该圆锥的侧面积为(第曲题3. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,点P, Q分别为A耳(1) 求异面直线BP与AC】所成角的余弦值；(2) 求直线Cq与平面AQC1所成角的正弦值.2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持. 4.如图，四棱锥P-ABCD中，ZAB

8、C=ZBAD=90。，BC=2AD, PAB与氐PAD都是等边三角形.(1) 证明：CD丄平面PBD ；(2) 求二面角C-PB-D的平面角的余弦值.5如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF .(1)证明：平面PEF丄平面ABFD ；求DP与平面ABFD所成角的正弦值.AC，6.如图，在三棱柱ABC- ABC中，CC丄平面ABC, D, E, F, G分别为AA ,1 1 1 1 1AC，BB的中点，1 1 1AB二BC=、：5，AC= AA =2 . 求证：AC丄平面BEF； (2)求二面角B- CD- J的余

9、弦值；7.如图，在直三棱柱 ABC - ABC中，平面ABC丄侧面A ABB，且1 1 1 1 1 1 AA = AB = 2 .1(1)求证:AB丄BC ； (2)若AC = 2迈，求锐二面角A - AC - B的1 小.&如图，在四棱锥 A BCDE 中，平面 ABC 丄平面 BCDE ; ZCDE = ABED = 90。, AB = CD = 2 , DE = BE = 1,AC = . (1)证明：AC丄平面BCDE ； (2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.9.如图，四棱锥P- ABC 中，PA 丄地面 ABCD, AD BC , AB = AD = AC = 3 , PA

10、 = BC = 4, M为线段AD上一点，AM = 2MD , N为PC的中点(1)证明MN 平面PAB ；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.10.如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是ZDAB = 600且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形,面垂且平面PAD垂直于底面ABCD .(1) 若G为AD的中点，求证：BG丄平面PAD ；(2) 求证：AD丄PB ;(3) 求二面角A BC P的大小.11.如图，四棱锥P- ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底直，底面ABCD是AADC = 60的菱形，M为PB的中点.(1) 求PA与底面ABCD所成角的大小；(2

11、) 求证：PA丄平面CDM ;(3) 求二面角D - MC - B的余弦值.12.如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE丄平面ABC ,ZACB=90 ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证：EF丄平面ACFD；(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.13. 如图，在三棱锥P ABC 中，AB = BC = 2込，PA = PB = PC = AC = 4,BC(1)求证：EF/平面PAD；求异面直线DE与A1D所成的角；A1B 上的点O为AC的中点.证明：PO丄平面ABC ；(2)若点M在棱BC上，且二面角M - PA - C为30。，求PC与平面PAM所成角的正弦

12、值.14. 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C , D的点.(1)证明：平面AMD丄平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.15在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时，直线EF丄平面PCD?16.如图，在长方体ABCD ABCD 中，AD AA 1，AB 2,点 E在线段 AB 上.(2)若二面角D1 EC - D的大小为45。，求点B到平面D1EC的距离. 17如图，已知正三棱柱ABCA1B1C的各棱长都为a, P为 试确定AP的值，使得PC丄AB；PB若AP = 2，求二面角PABC的大小；PB 3(3) 在(2)条件下，求q到平面PAC的距离