第14讲依测度收敛

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1、目 的：理 解 依 测 度 收 敛 概 念，掌 握Lebesgue定理与 Riesz定理。重点与难点：Lebesgue定理与 Riesz定理及其证明。基本内容：一依测度收敛定义 鲁津定理实际是说，任意可测函数都可以用连续函数在某种意义下逼近。我们可以将定理2改述成：若 是E上的可测函数，则对任意 ，存在 上的连续函数，使得)(xf0 1R。)()(|xgxfxmE注意到所以对任意n，有进一步，对任意 ，有取 ，则存在 上的连续函数 ，使1|)()(|)()(|1 nnxgxfxExgxfxE，1|)()(|nxgxfxmE0|)()(|xgxfxmE0 n1Rng 得 这种收敛性与前面的几乎处

2、处收敛概念 不同的。我们称它为依测度收敛，具体说 来即下面的。定义2 设E是可测集，都是E上几乎处处有限的可测函数，如 。)(0|)()(|nxgxfxmEnn，)()()(21xfxfxf 果对于任意 ，都有 则称 在E上依测度收敛到 ，记作下面的定理说明：几乎处处收敛蕴含依测度收敛。0 0|)()(|lim xfxfxmEnn)(xfn)(xf。ffn二Lebesgue定理（1）Lebesgue定理的叙述定理4（lebesgue定理）设E是测度有限的可测集，是E上几乎处处有限的可测函数，若 则必有，)()()(21xfxfxf，.)()(Eeaxfxfn。)()(xfxfn证明：由叶果洛夫

3、定理，对任意 ，存在E的可测子集 ，使得 且 在 上一致收敛到 ，于是对任意 ，存在 ，当 时，有 于是 ，任 0 E，)(EEm)(xfnE)(xf0 NNn )(|)()(|Exxfxfn EExfxfxEn|)()(|意 ，从而由 的任意性立得 。证毕。问题问题1 1：LebesgueLebesgue定理中定理中E E为有限测度集为有限测度集的条件可否去掉？为什么？的条件可否去掉？为什么？Nn )(|)()(|EEmxfxfxmEn)()(xfxfn问题问题2 2：LebesgueLebesgue定理的逆是否成立？举定理的逆是否成立？举例说明例说明。（3）反例 定理4的逆一般是不对的，即

4、依测度收敛不一定意味着几乎处处收敛，下面的例子说明了这一点。例 设 ，对任意正整数k，将 区间k等分，并定义令 1,0(E 10 (，),2,1(),10),11)()(kikikixkikixxfki )()(),()(,)()2(23)2(12)1(11xfxxfxfx 于是 是E上的处处有限的可测函数。对任意 ，若 则 显然有 若 ，则当 是第k次等分 区间后所对应的函 )()(),()(),()()3(36)3(25)3(14xfxxfxxfx )(xn0，0，|)(|xxEn0|)(|lim xxEnn1 n)1,0 数组中第i个函数时有 所以 注意到当 时，做 这说明 。然而，对任

5、意),1|)(|kikixxEn 。/1)(|kxxmEn n k0|)(|lim xxmEnn0n),1,00 x 总有无穷多个函数在该点等于1，也有无穷多个函数在该点等于0，所以 在 上处处不收敛于0。虽然几乎处处收敛强于依测度收敛，但我们可以从依测度收敛的函数序列中找一个几乎处处收敛的子序列。这就是著名的黎斯（Riesz）定理。)(xn)(xn)1,0三Riesz定理（1）Riesz定理的叙述*定理5（Riesz定理）设 是E上的可测函数，如果 ，则存在子序列 ，使得（2）Riesz定理的证明),2,1(,nffnffnjnf。.)()(Eeaxfxfin证明：首先设 。注意到对任何可测

6、 函数序列 ，它不收敛到某个函数 的点集是因此我们只要找到 的一个子序列 使得ngg NnnNkkxgxgxE1|)()(|11nfjnf NinNkkxfxfxEmj01|)()(|11 mE 即可。这等价于说对任意的k，有 对每个k，由 ，知 故对任意i及k存在 ，当 时，有 NinNkxfxfxEmj01|)()(|1ffn)(01|)()(|nkxfxfxmEnininn inkxfxfxmE211)()(|特别地 由于此处 都是任意的，所以在上述不等式中可以取 ，即 如果必要，还可以使 满足inkxfxfxmEj211)()(|ki,ki inixfxfxmEj211)()(|in

7、innn21 于是对任意的k，只要 ，就有 ，从而这说明 ki ki11 iniixfxfxmEj21)()(|1)()(|kxfxfxmEjn inixfxfxmEj211)()(|NinkxfxfxEmj1|)()(|因此 进而 1|)()(|kxfxfxEmjnNi )(,211kNN NinNkxfxfxEmj01|)()(|lim NinNkxfxfxEmj01|)()(|1所以下设 ，令则 是测度有限的可测集，且对任意 。由前面的证明，对 ，存在 的子序列 ，使.)()(Eeaxfxfin mE,1,|)(1nimxxxxIinm mmIEE .mnEeafmf 1Enf)1(nf

8、 ，当然在每个上仍有 。同理可从 中取子列 ，使 ，依此类推，由归纳法可作出一串子序列 ，任得对任意m，是 的子序列，且 。令.1)1(Eeaffn),3,2(mEmffn)1()1(nf)2(nf.2)2(Eeaffn)(mnf)(mnf)1(mnf.)(mmnEeaff则 显然仍是 的子序列。记 则 ，且对任意 ，存在M，使得 时，于是 ，显然当 时，是，21 )()()(ixfxfiinj)(xfin)(xfn，)()(|)(0 xfxfExEmnmm mmEE00 00 mE0EEx Mm 0EExm )()()(xfxfmnmi inf 的子序列，故也有 ，即 。证毕。问题问题3 3

9、：一个依测度收敛的函数列是否有唯一个依测度收敛的函数列是否有唯一的极限？如果极限不唯一，这些极限一的极限？如果极限不唯一，这些极限有什么关系？有什么关系？)(mnf)()(xfxfin.Eeaffjn三依测度收敛函数列极限的唯一性 下面的定理说明：依测度收敛的可测函数序列在几乎处处相等意义下有唯一的极限。定理6 设 是E上的可测函数，若 ，且 ，则 证明：因为 所以对任意正整数k，有ffn,)()(xfxfn)()(xgxfn。.)()(Eeaxgxf|)()(|)()(|)()(|xgxfxfxfxgxfnn 但因21|)()(|21|)()(|1|)()(|kxgxfxEkxgxfxEkx

10、gxfxEn ,021|)()(|lim21|)(|lim kxgxfxEkxfxmEnnn所以由于故换言之，证毕作业：P78 21，22，0/1|)()(|kxgxfxmE 1,1)()(|)()(|kkxgxfxExgxfxE，0)()(|xgxfxmE.)()(Eeaxgxf 习题三1、设f 是E上的可测函数，证明：对任意实数a，是可测集。2、设f 是E上的函数，证明：f 在E上可测当且仅当对一切有理数r，是可测集。)(|axfxE)(|rxfxE 3、设f是R1上的可测函数，证明：对任意常数a，仍是R1上的可测函数。4、设 是E上的可测函数，证明：在E上也可测。5、若a,b上的函数 在

11、任意线段上可测，试证它在整个闭区间a,b上也可测。)(axf)(xf)(3xf)(xf6、设f 是R1上的可测函数，证明：（当 时，规定 ）都是R1上的可测函数。7、设f 是E上的可测函数，证明：（i）对R1上的任何开集O，f-1(O)是可测集；（ii）对R1上的任何闭集F，f-1(F)是可测集；)1(),(),(32xfxfxf0 x0)01(f（iii）对R1上的任何 型集或 型集M，f-1(M)是可测集。8、设 是E上几乎处处有限的非负可测函数，证明对任意 存在闭集 ，使 ，而在F上，有界。GFfmE,0 EF )(FEm)(xf9、设 是E上的非负可测函数序列.证明：如果对任意 ，都有

12、 则必有10、证明：如果 是Rn上的连续函数，则 在Rn的任何可测子集E上都可测。11、证明：如果 是Rn上的可微函数，nf0，|)(|1 nnxfxmE。.0)(limEeaxfnn )(xf)(xf)(xf 证明 都是Rn上的可测函数。12、设 是E上的两个可测函数序列，且 都是E上的有限函数），证明：（i）对任意实数，若 ，则还有),1(nixfi ,nnhfhfhhffnn,(,hafhafnn ,mE（ii）若 ,且 在E上几乎处处不等于0，则（iii）13、设 是E上的可测函数，则当 且f 是有限函数，对任意 ，,fhhfnnhhn,mE,fhhfnnnf mEffn0 P 有 (

13、i)(ii)对E上任意可测函数h，有14、设f是a,b上的函数，则f可测当且仅当下列几个条件之一成立。ppnff|ppnhfhf|（i）存在多项式序列 ，在a,b上，（ii）若 ，存在三角多项式序 列 ，在 上15、设f 是R1上的可测函数，且在某个点 to处连续，若对任意 有)(xPn.eafpn)2,0(,banT,ba.)()(eaxfxTn,121Rtt 证明必有常数c，使得 。16、Egoroff定理中的条件 能否去 掉？17、设 ，是E上几乎处处有限 的可测函数序列，若 ，)()()(2121tftfttf cttf)(mEnf mE.0)(Eeaxfn 试证存在E的可测子集列 使 ，且 ，而在每个 上，都一致收敛到0。18、证明任意有界闭集上的连续函数都有 界。19、设 是E上的可测函数序列，且存,kE,2,1,1 kEEkkmEmEkk limkEnfnf 在常数k，使得对任意 ，有 ，若 试证20、设 是E上的可测函数，证明：的充要条件是，对任意 子列 ，都存在 ，使得1 n.|Eekafn,ffn.|)(|EeKaxf ffn,)()(xfxfnknfjknf21、Lebesgue定理中的条件 可否 去掉？mE。.Eeaffjkn