2013版高中数学-(主干知识+典例精析)4.3平面向量的数量积课件-理-新人教B版ppt

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1、第三节 平面向量的数量积 三年三年2727考考 高考指数高考指数:1.1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系面向量的垂直关系.1.1.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应

2、用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直，是重点也是难量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直，是重点也是难点；点；2.2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主点交汇则以解答题为主.1.1.平面向量的数量积平面向量的数量积(1)(1)向量的夹角向量的夹角定义：如图，已知两个定义：如图，已知两个_ _ 和和 ，作，作则向量则向量 与与 的夹角是的夹角是_,_,记作记作 .abOA,OB ab，ab,a b非零向量非零向量 或或AOB AOB 范围：向量范围：向量 与与 的夹角的范围是的夹角的范围是 .当当

3、0 0时时,与与 .当当180180时时,与与 .当当=90=90时时,与与 .ab0 0180180ababab同向同向反向反向垂直垂直(2)(2)向量在轴上的正射影向量在轴上的正射影已知向量已知向量a和轴和轴l,作作 =a，过点，过点O O，A A分别作轴分别作轴l的垂线，垂足的垂线，垂足分别为分别为O O1 1，A A1 1，则，则_叫做向量叫做向量a在轴在轴l上的正射影上的正射影(简称简称_)_)，该射影在轴，该射影在轴l上的坐标，称作上的坐标，称作a在轴在轴l上的上的_或在或在轴轴l的方向上的的方向上的_._.=a在轴在轴l上正射影的坐标记作上正射影的坐标记作a al，向量，向量a的

4、方向与轴的方向与轴l的正向所的正向所成的角为成的角为，则由三角函数中的余弦定义有，则由三角函数中的余弦定义有a al=_.=_.OA11O A 向量射影射影数量数量数量数量OA|cosa(3)(3)平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义向量向量 和和 的数量积为的数量积为 ,记作记作 =.=.(4)(4)数量积的运算律数量积的运算律交换律：交换律：;数乘结合律：数乘结合律：=;分配律：分配律：=.ab|cos,a ba ba b|cos,a ba ba bb aa b()ab()a bca ba c()a b【即时应用即时应用】(1)(1)思考：思考：(ab)c与与a(bc)相等吗？相等吗？

5、提示：提示：不一定相等，不一定相等，,均为实数，均为实数，()()，,所以所以 与与 不一定相等不一定相等.a bb ca b cc()a b ca()a b ca b c(2)(2)已知正三角形已知正三角形ABCABC的边长为的边长为1 1，则，则 =；在在 方向上的正射影的数量为方向上的正射影的数量为 .【解析解析】在在 方向上的正射影的数量为方向上的正射影的数量为|cosA=1|cosA=1cos60cos60=.=.答案：答案：AB AC AB AC 1AB ACABAC cosA1 1 cos60.2 AB AC AB 121212(3)(3)已知已知|=1|=1，|=2|=2，=1

6、=1，则向量，则向量a、b的夹角的夹角等于等于 .【解析解析】cos=cos=又又0 0180180,=60,=60.答案：答案：6060aba b11,1 22a ba b2.2.平面向量数量积的性质及坐标表示平面向量数量积的性质及坐标表示 =(),=()=(),=()ab1x,1y2x,2y结论结论几何表示几何表示坐标表示坐标表示模模数量积数量积夹角夹角x1x2+y1y2=0 的充要条件ab|与的关系a ba b|a|aa ba bcos,a bcos,a ba b|（当且仅当 时等号成立）a ba bab222212121122x xy yxyxya a2211xy|cos,a ba b

7、1212x xy y|a ba b121222221122x xy yxyxy0【即时应用即时应用】(1)(1)思考：若思考：若 00 00 0 9090(0(09090 0(0(0()0，即即(2k-1)(k+1)0,k0,k k 当当2 2 与与 共线时，共线时，3(k+1)-(2k-1)3(k+1)-(2k-1)0=0,0=0,k=-1k=-1，又，又k-1,k-1,2 2 与与 不共线，不共线，故故k k的取值范围为：的取值范围为：k-1kkaabababababababab1,2abababab1.2【反思反思感悟感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，求两个向量的夹角时，需

8、求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cos,cos,进而求进而求，要注意，要注意0,0,.【变式备选变式备选】已知已知A(2A(2，0)0)，B(0B(0，2)2)，C(cosC(cos，sin)sin)，O O为坐标原点，为坐标原点，(1)(1)求求sin2sin2的值的值.(2)(2)若若 且且(-,0),(-,0),求求 与与 的夹角的夹角.1AC BC3 ,|OAOC|7,OB OC【解析解析】(1)=(cos(1)=(cos，sin)-(2sin)-(2，0)0)=(cos-2=(cos-2，sin)sin)，=(c

9、os=(cos，sin)-(0sin)-(0，2)=(cos2)=(cos，sin-2)sin-2)，=cos(cos-2)+sin(sin-2)=cos(cos-2)+sin(sin-2)=cos=cos2 2-2cos+sin-2cos+sin2 2-2sin=1-2(sin+cos)=-2sin=1-2(sin+cos)=sin+cos=1+2sincos=sin+cos=1+2sincos=sin2=-1=sin2=-1=AC BC AC BC 13,23,49,495.9(2)=(2,0),=(cos,sin)(2)=(2,0),=(cos,sin)，=(2+cos,sin)=(2+

10、cos,sin)，|=|=即即4+4cos+cos4+4cos+cos2 2+sin+sin2 2=7,=7,4cos=24cos=2即即cos=cos=-0,=-0,=又又 =(0,2),=(),=(0,2),=(),coscos =OAOC OAOC OAOC 22(2cos)sin7,1.2.3OB OC 13,22OB,OC OB OC033,22|OB|OC|OB,OC 5.6【满分指导满分指导】平面向量主观题的规范解答平面向量主观题的规范解答【典例典例】(12(12分分)(2011)(2011陕西高考陕西高考)叙述并证明余弦定理叙述并证明余弦定理.【解题指南解题指南】利用向量数量积

11、证明，由利用向量数量积证明，由a a2 2=把把()()2 2展开利用展开利用 cosAcosA代入，即可证明代入，即可证明.22BC(ACAB),ACAB AC AB|AC|AB|【规范解答规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在或：在ABCABC中，中，a,b,ca,b,c分别为角分别为角A A，B B，C C的对边，有的对边，有a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA,-2bccosA,b b2 2=c=c2 2+a+a

12、2 2-2cacosB,-2cacosB,c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC.-2abcosC.4 4分分证明：如图，证明：如图，8 8分分=b=b2 2-2bccosA+c-2bccosA+c2 2，即即a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA，1010分分同理可证同理可证b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2cacosB,-2cacosB,c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC.-2abcosC.1212分分2aBC BC(ACAB)(ACAB)22AC2AC ABAB 22AC2|AC|AB|cosAAB 【阅

13、卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)余弦定理用文字语言叙述不完整、不规范，用符号语言余弦定理用文字语言叙述不完整、不规范，用符号语言表述时三个只写一个表述时三个只写一个.(2)(2)用用 证明时计算失误证明时计算失误.22BC(ACAB)备备考考建建议议解决平面向量数量积问题时，还有以下几点容易造成解决平面向量数量积问题时，还有以下几点容易造成失分失分,在备考时要高度关注：在备考时要高

14、度关注：(1)(1)公式记错；公式记错；(2)(2)对向量的夹角理解错误；对向量的夹角理解错误；(3)(3)混淆向量平行与垂直的充要条件混淆向量平行与垂直的充要条件.另外熟练掌握数量积问题的常见求法，才能快速正确另外熟练掌握数量积问题的常见求法，才能快速正确解决平面向量的数量积问题解决平面向量的数量积问题.1.(20111.(2011重庆高考重庆高考)已知向量已知向量 =(1,k),=(2,2),=(1,k),=(2,2),且且 与与 共共线，那么线，那么 的值为的值为()()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析解析】选选D.=(3,2+k),D.

15、=(3,2+k),因为因为 与与 共线，所以共线，所以2+k-3k=0,2+k-3k=0,解得解得k=1,k=1,所以所以 =1=12+12+12=4.2=4.ababaa bababaa b2.(20122.(2012潍坊模拟潍坊模拟)已知已知 =(-3,2),=(-1,0)=(-3,2),=(-1,0)，向量，向量与与 垂直，则实数垂直，则实数的值为的值为()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选A.=(-3,2),=(-1,0)A.=(-3,2),=(-1,0)，=(-3,2)+(-1,0)=(-3-1,2)=(-3,2)+(-1,0)=(-3-1,2)，=

16、(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2)=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2)，又又 与与 垂直，垂直，-1(-3-1)+2-1(-3-1)+22=02=0，=abab2ab17171616abab2abab2ab1.73.(20113.(2011辽宁高考辽宁高考)若若 均为单位向量，且均为单位向量，且 =0,=0,0,0,则则|的最大值为的最大值为()()(A)-1 (B)1 (C)(D)2(A)-1 (B)1 (C)(D)2【解析解析】选选B.B.由由 0,0,得得 0,0,又又 =0=0且且 均为单位向量，得均为单位向量，得 -1,-1,=3+2()3-2=1,=3+2()3-2

17、=1,故故|的最大值为的最大值为1.1.,a b ca b()()acbcabc22()()acbc2a ba cb cca b,a b ca cb ca cb c22222|()2()abcabcabca ba cb cabc4.(20114.(2011上海高考上海高考)在正三角形在正三角形ABCABC中，中，D D是是BCBC上的点上的点.若若AB=3AB=3，BD=1BD=1，则，则 =.【解析解析】=9+9+3 33 3cos60cos60=答案：答案：AB AD 11ADABBDABBCAB(ACAB)33 21ABAC,33 22121AB ADAB(ABAC)ABAB AC3333 231315.2152