极点及系统稳定性

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1、极点对系统性能影响一控制系统与极点 自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离 散控制系统。通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。连 续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。系统的数学模型一般由系统传递函数表达。传递函数为零初始条件下线性系统响应(即 输出)量的拉普拉斯变换(或z变换)与激励(即输入)量的拉普拉斯变换之比。记作(S) =Xo (s) /Xi (s),其中Xo (s)、Xi (s)分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。使传递函数分母等于零即得到系统的特征方程，sn + a sn-i + a s + a = 01n-1

2、n特征方程的根称为极点。如试(S)二C n (S-Pi) /n(S-Qi)中Q1 Q2 Q3 Qi 即为系统的极点。二极点对系统的影响极点-确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。下面对连续系统与离散系统分 别进行分析：连续系统理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式rm设系统函数为：将H(S)进行部分分式展开:系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点 位置决定。每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。稳定性：由上述得知 Y(S)二 C n(S-Pi) /(S-Qi)可分解为 Y(S)二C1/(S-t 1)+ C2/(S- t2)+ C3/(

3、S- t 3)+ Ci/(S-T i)+ 则时间响应为y (t) = C est + C esj + C esnt12n(1)只有一个实根：s =a(2)有一对复根：s =aja 0时，y (t) T 0y (t) = C e(a+j)t + C e(aj)t12y (t) = Cet a = 0时，y(t)=恒量a 0时，y(t) t gJ=C eat cos(t + 申)=v1a = 0时，等幅振荡t fg1a 0时，发散tTg由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。只要有一 个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦

4、即所有的根都在复平面的左半平面。通过复变函数幅角定理将S由G平面映射到GH平面。如果封闭曲线F内有Z个F(s)的零点，有P个F(s)的极点，则s沿F顺时针转一圈时， 在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R为z和p之差，即R = z p。若R为负，表示F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数。F(s)的分母是GO(s)的分母，其极点是GO(s)的极点；其分子是0 (s)的分母，即0 (s)的特 征多项式，其零点是0 (s)的极点。取D形曲线(D围线)如图所示，是整个右半复平面。且设D曲线不经过F(s)的任一极点或零点。s沿D曲线顺时针变化一周，F(s)顺时针包围原点的周数为：n=z-p=

5、F(s)在右半复平面的零点数(闭环传函在右半复平面极点数)-F(s)在右半复平面的极点数(开环传函在右半复平面极点数) 所以闭环系统稳定的充分必要条件是：n=- p =-开环传函在右半复平面的极点数因此：反馈控制系统在s右半平面的闭环极点个数Z二P-2N,式中，P为s右半平面开环极点数, N为开环Nyquist曲线逆时针包围(T ,jO)点的圈数，且有N二N+N-其中N+为：正穿越与半次正穿越次数的和。其中N-为：负穿越与半次负穿越次数的和。正穿越：随着的增大，开环Nyquist曲线逆时针穿越实轴区间(-8 , -1)。半次正穿越：逆时针方向离开(或中止于)实轴区间(- , -1)。负穿越：随

6、着的增大，开环Nyquist曲线顺时针穿越实轴区间(-8 , -1)。半次负穿越：顺时针方向离开或中止于实轴区间(- , -1)。若开环传递函数有积分环节，开环 Nyquist曲线在ro=O +时，幅值无穷大，而相角 为。判断稳定性要求3二0开始逆时针补半径为无穷大，角度为的虚线圆弧。在计算正、负穿越次数时，应将补上的虚线圆弧作为Nyquist曲线的一部分。总结：仁如系统函数H(s)的全部极点落于S域左半平面，则系统稳定。2. 如系统函数H(s)有极点落于S右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，则该系统不 稳定。3. 若系统函数H(s)没有极点落在右半平面，但在虚轴上有一阶极点，则系统临界稳

7、定。4. 系统函数的分子多项式的阶次，不应高于分母多项式的阶次。离散系统离散系统稳定性原理与连续系统一样，由于离散系统本身特征稍有改，离散信号是脉冲序列即时间上离散，离散信号是数字序列即幅值上整量化。r(t)R(z)rIG( z)r *(t)c(t)c*(t)!.G(s)/C(z)因此引入 Z 变换取代拉斯变换只适用与连续函数，离散时间序列 x(n) 的 Z 变换定义 为X(z) =x(n)z-n ,常用序列的Z变换中z = e,a为实变数，3为实变量，j =，所以z 是一个幅度为e6,相位为3的复变量。x(n)和X(z)构成一个Z变换时。理想的单位脉冲序列：8 (t)仝 8 (t - kT)

8、Tk采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号，而单位脉冲串可以作为载波信 号，调制过程可以表示为：x*(t) = x(t)8 (t) = x(t)无8 (t - kT)Tk=-g则：x* (t) = x(t )艺8 (t - kT)k =0=x(0)8 (t) + x(T )8 (t - T) + x(2T )8 (t - 2T) + + x(kT )8 (t - kT) +=区 x(kT )8 (t - kT)Z变换为：k=0x* (t)二 x(t)艺 8 (t - KT)二艺 x(kT)8 (t - KT)k=0k=0X *( s) = L x*(t) = S x(kT )e - k

9、Tsk=0则：定义： z = esTX (z) = X *( s)= X *(+ln z) = S x(kT) z -ksln zTTk=0Zx(t)=Zx*(t)= X(z)=S x(kT)z-k由以上定义得知Z变换，则如何从S平面映射到oZ平面：=x(0) z0 + x(T) z-i + x(2T) z-2 +.z = eTss =c + joz = e 9+jo)t = era ejoTZ = eTaZz =o T当a 0,则对应在s左半平面，系统稳定映射到Z平面上 z 0，则对应在s右半平面，系统不稳定，映射到Z平面上|z| 1对应在Z平面 的单位圆外，脉冲系统不稳定；当0=0，则对应在s平面的虚轴上，系统临界稳定，映射到Z平面上z = 1对应在Z 平面的单位圆上，脉冲系统临界稳定。将 Z 进行映射变换，离散系统稳定判断依旧能够使用劳斯判据判断。总结：稳定系统的系统函数的收敛域，应该包含单位圆(包含在单位圆内)。即稳定系统的系 统函数，其极点不应分布在单位圆上！1. 若H(Z)的全部极点落在单位圆内，则系统稳定。2. 若H(Z)有极点落在单位圆外，或在单位圆上具有二阶以上的极点，则系统部稳定。3. 若H(Z)在单位圆上有一阶极点，但其他极点均在单位圆内，则系统临界稳定。