材料力学公式汇总

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1、1 截面的几何参数序号公式名称公式符号说明(1.1)截面形心位置J zdAJ ydAz =，y =cAcAZ为水平方向 Y为竖直方向(1.2)截面形心位置乙z A乙y Azc，yc =(1.3)面积矩pipiS =J ydA，S =J zdAZy(1.4)面积矩S 丄Ay，S =乙Az7i iyi i(1.5)截面形心位置SSz，yc Ac A(1.6)面积矩S = Az，S 二 Ayyczr c(1.7)轴惯性矩I = J y2dA， I = J z2dA zyA / A(1.8)极惯必矩I = J p 2dA PA(1.9)极惯必矩I = I +1P7V(1.10)惯性积I = J zyd

2、AzyA(1.11)轴惯性矩I = i2 A，I = i 2 Azzvv(1.12)惯性半径（回转半径）厂丁 lz J1 牙，2y = t?(1.13)面积矩轴惯性矩极惯性 矩惯性积S =2S，S =工SzziyyiI =乙 I，I =乙 IzziyyiI =21 ，I =乙 IPPizvzvi(1.14)平行移轴公式I = I + a 2 AzzcI =I + b 2 AyycI = I + abAzvzcvc2 应力和应变序号公式名称公式符号说明(2.1)轴心拉压杆横截面上的应力NC =A(2.2)危险截面上危险点上的应力N b=maxA(2.3a)轴心拉压杆的纵向线应变Al = l(2.

3、3b)轴心拉压杆的纵向绝对应变Al = l l = .1 1(2.4a)(2.4b)胡克定律b = Eb =E(2.5)胡克定律A7 N.IAl = EA(2.6)胡克定律Al二二/丄侔11EA(2.7)横向线应变Ab b b =bb(2.8)泊松比（横向变形系数）V = = V(2.9)剪力双生互等定理T = Txy(2.10)剪切虎克定理t = gy(2.11)实心圆截面扭转轴横截面上 的应力T二邛P I0(2.12)实心圆截面扭 转轴横截面的圆周上的应力TRT=maxJP(2.13)抗扭截面模量（扭转抵抗矩）IW = T R(2.14)实心圆截面扭 转轴横截面的圆周上的应力TT=maxW

4、T(2.15)圆截面扭转轴的变形T .1Q二 GIP(2.16)圆截面扭转轴的变形yy T1Q =iiiGI0.(2.17)单位长度的扭转角o =Q e = T1 GIP(2.18)矩形截面扭转轴 长边中点上的剪应力TTTmax WBb3TWT是矩形截面 W的扭转抵抗矩 T(2.19)矩形截面扭转轴 短边中点上的剪应力T YT1max(2.20)矩形截面扭转轴 单位长度的扭转角TTe T GIGab 4TI是矩形截面的 TI相当极惯性矩T(2.21)矩形截面扭转轴 全轴的扭转角H 7T .1q e i -Gab 4a, p，丫与截面咼宽 比力/ b有关的参数(2.22)平面弯曲梁上任一点上的线

5、应变-2P(2.23)平面弯曲梁上任一点上的线应力Eyc P(2.24)平面弯曲梁的曲率1 M P EI(2.25)纯弯曲梁横截面 上任一点的正应力Myc I(2.26)离中性轴最远的 截面边缘各点上的最大正应力M: yC maxmaxIz(2.27)抗弯截面模量（截面对弯曲的抵抗矩）W 二 1z ymax(2.28)离中性轴最远的 截面边缘各点上 的最大正应力Mb=maxWz(2.29)横力弯曲梁横截 面上的剪应力VS *T =z-IbzS *被切割面积对中性z轴的面积矩。(2.30)中性轴各点的剪 应力VS *T= z maxmaxI b(2.31)矩形截面中性 轴各点的剪应力z3VT=m

6、ax2bh(2.32)工字形和T形截 面的面积矩S* = Y A* y*zi ci(2.33)平面弯曲梁的挠 曲线近似微分方程EIv = - M (x)zV向下为正X向右为正(2.34)平面弯曲梁的挠曲线上任一截面 的转角方程EI v = EI0 = -J M (x)dx + Czz(2.35)平面弯曲梁的挠曲线上任一点挠度方程EI v = -JJ M (x)dxdx + Cx + D z(2.36)双向弯曲梁的合成弯矩M = JM 2 + M 2zy(2.37a)拉（压）弯组合矩形截面的中性轴在Z轴 上的截距i 2a = z = 一亠 z 0zpz,y是集中力作用点 pp的标(2.37b)拉

7、（压）弯组合矩形截面的中性轴在Y轴 上的截距i 2a = y =-p y 0 y3应力状态分析序号公式名称公式符号说明(3.1)单兀体上任意截面上 的正应力b +bb -bb =+y cos 2a -t sin 2aa22x(3.2)单兀体上任意截面上 的剪应力b -bt =sin2a +t cos2aa2x(3.3)主平面方位角一 2ttan 2a l (a 与t 反号)0b -b0xxV(3.4)大主应力的计算公式b +bb x+ 1max2V(b -b、xyI 2丿2+ T 2x(3.5)主应力的计算公式b +bbmax2(b -b、xyI 2 J2+ T 2x(3.6)单兀体中的最大剪

8、应 力b -bT 13max2(3.7)主单元体的八面体面 上的剪应力t j(b -b J2 + (b -b J2 + (b -b J23121323(3.8)a面上的线应变8+8 8-8 丫8 y + y cos 2a +sin 2aa 2 2 2(3.9)a面与a +90 o面之间Y-(e -e )sin2a +ycos 2a的角应变xyxyxy(3.10)tanY主应变方向公式- xy0b bxye +e/e 2 Y2(3.11)最大主应变&_xy-+.Iy+max2J 2丿4e +e/e e 2 Y2(3.12)最小主应变&-+max2J 2丿4(3.13)丫的替代公式Y 2ee -e

9、xyxy450xy2eee(3.14)tan2a0450主应变方向公式45 we xeyy&+ e1(e -e )2/ e -e2(3.15)最大主应变& 亠A C0+45045 11max2 J2 JJ2丿&+ e:re -e 2/ e -e2(3.16)最小主应变Pxy 450+450丿imax2 J2丿J2丿(3.17)简单应力状态下的虎 克定理& xax ， eEyVa飞，ezvaxE1lne a v a +ax Exyz(3.18)空间应和状态下的虎e -丄a v(a +a克定理y Eyzx1r(3e a v a +az Ezxye 丄(a -va )xE 丄(axy(3.19)平面

10、应力状态下的虎e 5 va )克定理（应变形式）yEyxv亍）e (a +czExyEa _（e 亠ve 、l o1 V O )x1 -V 2xy(3.20)平面应力状态下的虎 克定理（应力形式）a E-(e +ve )y1V2 yxa07e la v(a +a)1 E123(3.21)按主应力、主应变形式e Li v(a +a)写出广义虎克定理2 E231e ty v(a +a)3 E312(3.22)二向应力状态的广义 虎克定理1/、8=一(C-VC)1 E121/、8=(C-VC)2 E21V8 =(C +C )3 E 12(3.23)二向应力状态的广义 虎克定理E /、C -(8 +V

11、8 )1 1-V2 12EC -(8 +V8 )1 1-V2 12E /、C -(8 +V8 )2 1-V2 21C 03(3.24)剪切虎克定理t -Gyxyxyt -Gyyzyzt-GyZXizx4内力和内力图序号公式名称公式符号说明(4.1a)(4.1b)外力偶的 换算公式NT 9.55 enNT 7.02en(4.2)分布荷载集度 剪力、弯矩之 间的关系dV (x),q( x) dxq（x）向上为正(4.3)dM (x)V (x) dx(4.4)d 2 M (x).,q( x)dx 25 强度计算序号公式名称公式(5.1)第强度理论：最大拉应力理 论。C - f （脆性材料）当 1ut

12、时当C f *.（塑性材料）时丁1u材料发生脆性断裂破坏。(5.2)第二强度理论：最大伸长线应变 理论。C -V （C +C ） f （脆性材料）当 123ut1 时卄C -V（ C +C ） f *（塑性材料） 123u材料发生脆性断裂破坏。(5.3)第三强度理论：最大剪应力理 论。C -C f （塑性材料）当 13 y时当C -C f （脆性材料）时13uc材料发生剪切破坏。(5.4)第四强度理论：八面体面剪切理论。2当一12-c+ (a+ (a -c=f (塑性材料)121323y-a+(0 -a+(0 -a=f (脆性材料)121323uc时,材料发生剪切破坏。(5.5)(5.6)(5

13、.7)第一强度理论相当应力第二强度理论相当应力a * = aa * = a -v ( a +a )123第三强度理论相当应力-a(5.8)第四强度理论相当应力I1-a-a-a(5.9a)(5.9b)(5.9c)(5.9d)(5.10a)(5.10b)由强度理论建立的强度条件由直接试验建立的强度条件轴心拉压杆的强度条件=Ta * a a a t maxta I a c maxcT T maxat maxac maxN r = a A tIn= a A c(5.11a)(5.11b)(5.11c)(5.11d)max at （适用于脆性材料）maxmax-a-v (0-T)二(1 +v)T a m

14、axmaxa 1 +vmax（适用于脆性材料）-(-Ta max二 2t a max由强度理论建立的扭转轴的强度条件max（适用于塑性材料）（5.11e）由扭转试验建立的强度条件（5.12a）平面弯曲梁的正应力强度条件T2-a-a-aV2max=y3tmax a max+ (-T-TmaxmaxT = W- 畧（适用于塑性材料）max W3T = T maxM r , a = a t maxJWt|M|G二 _ Q c maxJWcZ(5.13)平面弯曲梁的剪应力强度条件VS厂T= Z max T maxI bZ(5.14a)(5.14b)平面弯曲梁的主应力强度条件G * =品 2 + 4t

15、2 Q 3G * 二 Jg 2 + 3t 2 Q 4(5.15a)(5.15a)圆截面弯扭组合变形构件的相 当弯矩M2 + M2 + T2 m *G * = G G =Zy =3-313WW 1G* = t G+(G G 1 +(G G 14计 2121323yM2 + M2 + 0.75T2 m *一Zy 一 _4WW(5.16)螺栓的抗剪强度条件4 NT - T nKd 2(5.17)螺栓的抗挤压强度条件G b G b c d 工 tc(5.18)贴角焊缝的剪切强度条件T - T w 0.7h 工 lf-.fw6刚度校核序号公式名称公式符号说明(6.1)构件的刚度条件AAmax 1Il.1

16、(6.2)扭转轴的刚度条件6 - T 6 maxGIp(6.3)平面弯曲梁的刚度条件vvmax 1 ll7 压杆稳定性校核序号公式名称公式符号说明(7.1)两端铰支的、细长压杆 的、临界力的欧拉公式兀2 EIP 一cr12I取最小值(7.2)细长压杆在不同支承情 况下的临界力公式冗2 EI P 一cr(|Ll.l )2l l .l0l0 计算长度。l 长度系数；一端固定，一端自由：1 一 2 一端固定，一端铰支：1 一 7 两端固定：1 一 5(7.3)压杆的柔度al.l九i厅i 一是截面的惯性半径 A（回转半径）(7.4)压杆的临界应力PG crcu A兀2 Ec =cu九2(7.5)欧拉公

17、式的适用范围、1 E入n入=兀1一P 也(7.6)抛物线公式e当九W九一兀时，当c0.57 f时九yc 一 f l a(厂)2 cry九c九P 一 c A 一 f 1 a()2.A crcry九cf 压杆材料的屈服极限；ya 常数，一般取a - 0.43(7.7)安全系数法校核压杆的稳定公式PP F 一 P kcrw(7.8)折减系数法校核压杆的稳定性Prc 一一 pcA申一折减系数C 申一 TV，小于1c 8 动荷载序号公式名称公式符号说明(8.1)动荷系数“PNcAdPNcAjjjjP-荷载 N-内力 c -应力 A -位移 d-动 j-静(8.2)构件匀加速 上升或下降 时的动荷系数aK

18、 一 1 + - dga-加速度g-重力加速度(8.3)构件匀加速 上升或下降 时的动应力c - K c - (1 + a )cdd jgj(8.4)动应力强度条件c K c c d maxd j maxc 杆件在静何载作用下的容许应力(8.5)构件受竖直方向冲击时的动荷系数i2 HK 1 + 1 + 2 d”AH-下落距离(8.6)构件受骤加荷载时的动荷系数K 1+ J1 + 0 2 dH=0(8.7)构件受竖直方向冲击时的动荷系数1V 2K 1 + ,11 + d斗4v-冲击时的速度(8.8)疲劳强度条件cc c f maxpKcp -疲劳极限c p-疲劳应力容许值 K-疲劳安全系数9 能

19、量法和简单超静定问题序号公式名称公式(9.1)外力虚功：W = PA + PA + M 9 +.=PAe112 2e3 3i I(9.2)W =工 JMd9 寸VdAy -Sf NdAl 工 JTdp1111(9.3)虚功原理：变形体平衡的充要条件是：W + W二0e(9.4)虚功方程：变形体平衡的充要条件是：W二-We(9.5)莫尔定理：A 二工fMd9 + 刃卩dAy +ZJn dAl + 工f Tdp1lll(9.6)莫尔定理：A V f M M, S f KV V r S f NN r S f T T ,A Jdx + Jdx + Jdx + Jdx1 EI1 GA1EAGIp(9.7

20、)桁架的莫尔定理：A S NN】A S 1EA(9.8)变形能： U W （内力功）(9.9)变形能：U W （外力功） e(9.10)外力功表示的变形能：U -PA + - P A +PA -S PA2 112 2 22 i i 2i I(9.11)内力功表示的变形能：A Sf M 2( x)dx + Sf KV 2( x) dx + Sf N 2(x) dx + Sf T 2(x) dx 1 2 EI1 2GA1 2 EA12GIp(9.12)卡氏第二定理： aQUA i QP(9.13)卡氏第二定理计算位移公式：A S f M QM 7 S f KV QV 7 S f N QN , S

21、f T QT , A 厶Jdx + 厶Jdx + 厶Jdx + 厶JdxiEI QPGA QPtEA QPGI QPiiipi(9.14)卡氏第二定理计算桁架位移公式：A S N QN , A 乙1iEA Q P(9.15)卡氏第二定理计算超静定问题：A - Sf M QMdx - 0 ByiEI QRB(9.16)莫尔定理计算超静定问题：A Sf MMdx - 0By1 EI(9.17)一次超静定结构的力法方程：5 X + A 011 11P(9.18)X 1方向有位移A时的力法方程：6 X + A = A1111P自由项公式：(9.19)A 一刃吓Z-AJ丄P CXA1Pi EI主系数公式：(9.20)6心11i EI桁架的主系数与自由项公式：(9.21)6Xi11i EAA 一刃 N Npl1Pi EA