二伯努利模型中的一些分布教学课件

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1、二、伯努利模型中的一些分布二、伯努利模型中的一些分布一、伯努利模型一、伯努利模型三、直线上的随机游动三、直线上的随机游动第第2.32.3节节 伯努利试验与直线上伯努利试验与直线上 的随机游动的随机游动四、推广的伯努利试验与多项四、推广的伯努利试验与多项分布分布一、伯努利模型一、伯努利模型1 1 n n 重伯努利试验重伯努利试验.1)(),10()(.,:pAPppAPEAAE 此时此时设设为伯努利试验为伯努利试验则称则称及及只有两个可能结果只有两个可能结果设试验设试验伯努利资料伯努利资料 ,.nEnnE将将独独立立地地重重复复地地进进行行次次 则则称称这这一一串串重重复复的的独独立立试试验验为

2、为试试验验记记做做 重重伯伯努努利利实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将若将硬币抛硬币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否“出现出现 1 点点”,就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.2 2 n n 重伯努利试验的特征重伯努利试验的特征(1)每次试验只有两种结果之一：每次试验只有两种结果之一：A或或(2)每次试验事件每次试验事件A的概率都为的概率都为p;A(3)各次试验相互独立；各次试验相互独立；(4)共进行共进行n次试验次试验.3 3 n n 重伯努利试验的样本空间重伯努利试验的样本空

3、间 每次试验只有两种结果，因此每次试验只有两种结果，因此n n 重伯努利试验共重伯努利试验共有有 样本点样本点.样本空间为样本空间为2n 而其样本点为而其样本点为12(,)n 其中其中,1,2,.iAA in 是是 或或者者例如例如(,),A A A AA(,)kn kA AA AA 等等都是样本点，其概率分别等等都是样本点，其概率分别为为(1),(1),n kkn kpppp 为了简单上述两个样本点简记为为了简单上述两个样本点简记为,AAAAAkn kAAAAA ，其他情形可以类似标记，其他情形可以类似标记4 4 可列重伯努利试验可列重伯努利试验 在在n重伯努利试验中，当重伯努利试验中，当

4、时，这样就时，这样就构成了可列重伯努利试验记做构成了可列重伯努利试验记做 n nE而其样本点为而其样本点为12(,)n 其中其中,1,2,.iAA in 是是 或或者者二、伯努利模型中的一些分布二、伯努利模型中的一些分布(1)伯努利分布伯努利分布(两点分布）两点分布）一次伯努利试验只有两种结果之一，则其概率一次伯努利试验只有两种结果之一，则其概率为为(),()1.P ApP Ap(2)二项分布二项分布,发发生生的的次次数数重重伯伯努努利利试试验验中中事事件件表表示示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X.,2,1,0n,)0(时时当当nkkX .次次次试验中发生了次试验中发生了在在

5、即即knA 次次kAAA,次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次试验中发生次试验中发生在在得得knA,种种 kn且两两互不相容且两两互不相容.称上式为称上式为二项分布二项分布.记记为为).,(pnkBX次次的的概概率率为为次次试试验验中中发发生生在在因因此此knAknkppkn )1(pq 1记记knkqpkn 0()1,nkn knkn kknnp qpqp qkk由由于于可可以以看看出出刚刚好好是是二二项项展展开开式式的的通通项项，因因此此此此分分布布称称为为二二项项分分布布.经计算得经计算得10,4,6,4,(0,1,2,3,4).m m 设

6、设某某考考卷卷上上有有道道选选择择题题 每每道道选选择择题题有有 个个可可供供选选择择的的答答案案 其其中中一一个个为为正正确确答答案案 今今有有一一考考生生仅仅会会做做 道道题题 有有 道道题题不不会会做做 于于是是随随意意填填写写 试试问问能能碰碰对对道道题题的的概概率率例例),()()()(,432104341444 mCBPmBmmmmm则则道题这一事实道题这一事实道题中碰对道题中碰对表示表示设设解解31604341040040.)()()(CBP04804341343343.)()()(CBP20%,5,5(1)3,(2)3.一一批批产产品品有有的的次次品品 进进行行重重复复抽抽样样

7、检检查查共共取取 件件样样品品 计计算算这这 件件样样品品中中恰恰好好有有 件件次次品品的的概概率率至至多多有有 件件次次品品的的概概率率例例0123,50,1,2,3,A A A AA解解设设分分别别表表示示 件件样样品品中中恰恰好好有有 件件件件件件件件次次品品表表示示至至多多有有件件次次品品 则则3533538020 ).().()(CAPiiiiCAPAPAPAPAAAAPAP 5530321032108020).().()()()()()()(例例(p76例例1)若若N件产品中有件产品中有M件废品，现进行件废品，现进行n次有次有放回的抽样检测，问共抽到放回的抽样检测，问共抽到k件废品

8、的概率是多少？件废品的概率是多少？解解 n次有放回的抽样可以看作次有放回的抽样可以看作n重伯努利试验，重伯努利试验，设设A=每次抽到废品每次抽到废品,则则()MpP AN设设B=进行进行n次有放回的抽样次有放回的抽样,共抽到共抽到k件废品件废品()(,)1kn knMMMP Bb k nNkNN ,首次发生的次数首次发生的次数伯努利试验中事件伯努利试验中事件表示表示若若AX,21的可能取值为的可能取值为则则X(3)几何分布几何分布.,次出现次出现首次在第首次在第即事件即事件当当kAkX .,发生发生次次第第发生发生次均是次均是前前次次则试验总共进行了则试验总共进行了AkAkk1 ppAPAPA

9、PBPAAAABiAkiABkkkkkkkik111121121 )()()()()(,),(,则则次试验中发生次试验中发生第第在在记事件记事件以以记这一事件记这一事件若以若以称上式为称上式为几何分布几何分布.记作记作 1(,),1,2,kg k pqp k注意到几何分布恰好是几何级数的一般项，这也是注意到几何分布恰好是几何级数的一般项，这也是几何分布名称的来历。同时几何分布名称的来历。同时1111(,)11kkkg k pqppq,1,.nkn(p78(p78例例3 3）一一个个人人开开门门 他他共共有有 把把钥钥匙匙 其其中中仅仅有有一一把把能能打打开开这这个个门门 他他随随机机地地选选取

10、取一一把把钥钥匙匙开开门门 即即每每次次每每把把以以的的概概率率被被选选中中 求求该该人人在在第第 次次打打开开门门的的概概率率例例则则次打开门次打开门表示第表示第令令解解,kBk1111()(,)(1),1,2,kkP Bg kknnn说明说明 在几何分布里面，其涉及到可列次伯努利试在几何分布里面，其涉及到可列次伯努利试验，其样本空间是不可列的，因此不能将它的一验，其样本空间是不可列的，因此不能将它的一切子集都看作事件。切子集都看作事件。(4)帕斯卡分布帕斯卡分布 帕斯卡分布将主要研究出现第帕斯卡分布将主要研究出现第r次成功与试验次成功与试验次数的关系的概率。次数的关系的概率。,()(,),

11、kkCrkP Cf k r p设设第第 次次成成功功出出现现在在第第 次次试试验验-1-1-kCkrk rk发发生生等等价价于于前前面面的的次次试试验验中中，次次成成功功，次次失失败败，而而第第 次次成成功功，利利用用二二项项分分布布以以及及独独立立性性可可得得111()(,)11rk rrk rkkkP Cf k r ppqpp qrr帕斯卡资料帕斯卡资料注意到注意到011(,)11rk rrlk rk rlkrlf k r pp qp qrr 0(1)(1)1lrlrrlrp qpql1(1).lrrlll 其其中中(,)1f k r pr 将将称称为为帕帕斯斯卡卡分分布布，当当时时，帕帕

12、斯斯卡卡分分布布就就退退化化为为几几何何分分布布。德德 梅尔问题梅尔问题甲乙两个赌徒按照某种约定进行赌博，规定先胜甲乙两个赌徒按照某种约定进行赌博，规定先胜t局者赢得全部赌注，但进行到甲胜局者赢得全部赌注，但进行到甲胜r局，乙胜局，乙胜s局（局（rt,st),因故中断比赛，试问如何公平合理分配赌因故中断比赛，试问如何公平合理分配赌注？注？,ntr mtsAmnA 设设 出出现现 次次乙乙胜胜之之前前出出现现 次次甲甲胜胜 即即事事件件 表表示示甲甲获获胜胜，由由帕帕斯斯卡卡分分布布可可知知101()mnkknkpP Ap qk甲甲（第第k+n次甲胜，前次甲胜，前k+n-1甲胜甲胜n-1次。乙胜

13、次。乙胜k次次）1()kmk nmkpP Ap qk甲甲(第第m+k次乙胜，前次乙胜，前k+m-1甲胜甲胜k次次,即乙胜之前，甲已胜即乙胜之前，甲已胜)111()m nkm nkk nmnpP Ap qk 甲甲(在在n+m-1次比赛中，甲获胜次输不少于次比赛中，甲获胜次输不少于n,乙获胜次数不乙获胜次数不大于大于m)同一个事件不同的角度来理解，但可以证明结论是同一个事件不同的角度来理解，但可以证明结论是一样的一样的例例(p80例例4)数学家的左、右衣袋里各放由一盒装有数学家的左、右衣袋里各放由一盒装有N根火柴的火柴盒，每次抽烟时，任取一盒用一根，根火柴的火柴盒，每次抽烟时，任取一盒用一根，试求

14、发现一盒用光时，另一盒有试求发现一盒用光时，另一盒有r根的概率。根的概率。巴拿赫火柴盒问题巴拿赫火柴盒问题解解 设设A=左边空而右边剩左边空而右边剩r根根,事件事件A等价于取过等价于取过左边左边N+1次，其中前次，其中前N次用了次用了N根火柴，第根火柴，第N+1 次次摸到空盒，取过右边摸到空盒，取过右边N-r次，即前次，即前2N-r次中取到左次中取到左边边N次，取到右边次，取到右边N-r次，第次，第2N-r1次取到左边，次取到左边，21211()(21,1,)2 2N rNrP AfNrNN 而所求事件的概率为而所求事件的概率为2()P A三、直线上的随机游动三、直线上的随机游动1 1 随机游

15、动随机游动 在在x轴上有一质点，它只在整数点上，轴上有一质点，它只在整数点上，t=0时，它时，它位于位于a点，之后每隔单位时间它会受到外力的作用，点，之后每隔单位时间它会受到外力的作用，分别以概率为分别以概率为p与与1-p向右左方向移动一个单位，这向右左方向移动一个单位，这样的移动称为质点在直线上的样的移动称为质点在直线上的随机游动随机游动 在随机游动中，当在随机游动中，当t=n时，质点在某一位置的概时，质点在某一位置的概率是多少？率是多少？随机游动问题可以用伯努利试验进行描述，因随机游动问题可以用伯努利试验进行描述，因为为每次试验只有两种可能，每次试验只有两种可能，t=n相当于相当于n重独立

16、试验重独立试验.011xa0t 2 2 无限制随机游动无限制随机游动 若质点可以在整个数轴的整数点上游动，称这种若质点可以在整个数轴的整数点上游动，称这种随机游动为随机游动为无限制随机游动无限制随机游动.,0,()2,()2,nknStnkkkSnknknknk设设随随机机游游动动时时刻刻质质点点位位于于可可以以为为正正整整数数，也也可可以以为为负负整整数数.假假设设事事件件等等价价于于在在 次次移移动动过过程程中中，质质点点向向右右移移动动的的次次数数比比向向左左移移动动的的次次数数多多 次次.总总的的次次数数为为,二二者者之之差差为为，则则可可以以计计算算得得到到，向向右右移移动动向向左左

17、移移动动由由二二项项分分布布可可得得22 ()()2n kn kknnP Spqnk当当n与与k的奇偶性不同时，概率为的奇偶性不同时，概率为o3 3 两端带有吸收壁的随机游动两端带有吸收壁的随机游动在随机游动中，在某一点处有一吸收壁，则质点到在随机游动中，在某一点处有一吸收壁，则质点到达该点时，质点被吸收，不在游动，这样的随机游达该点时，质点被吸收，不在游动，这样的随机游动称为动称为有吸收壁的随机游动有吸收壁的随机游动设设t=0时，质点位于时，质点位于x=a,而在而在x=0以及以及x=a+b处各有处各有一个吸收壁，问质点被一个吸收壁，问质点被x=0或或x=a+b吸收掉的概率吸收掉的概率是多少？

18、是多少？被被x=a+b点吸收掉的概率点吸收掉的概率,1-1nnAxnxabnabAxab设设质质点点位位于于被被吸吸收收 其其中中，事事件件等等价价于于下下一一次次向向右右移移动动一一次次或或向向左左移移动动一一次次被被吸吸收收，因因此此11(),1,2,1nnnnP Aqpqqqnab00,1,na bqxnxabqq其其中中表表示示初初始始位位置置为为而而最最终终被被吸吸收收的的概概率率.同同时时注注意意到到由由上上述述方方程程可可知知1111()(),1,2,1,()(),1,2,1,nnnnnnnnp qqq qqnabqqqqqnabp即即当此随机游动为当此随机游动为对称对称时，即时

19、，即p=q，则，则111011,1,nnnnna bnaqqqqqqqqnqnaqqqabab即即同同时时则则而而当此随机游动为当此随机游动为不对称不对称时，即时，即 ，则，则pq110111001()1nknnnkkkkqpqqqqqqqqpp而而00,1a bqq因此因此11nna bq pqq p11aaa bq pqq p类似的我们也可以讨论质点被类似的我们也可以讨论质点被x=0吸收的情况吸收的情况0110,(),1,0,nnna bnnnBxnxpP Bpppppqp设设质质点点在在处处，而而在在被被吸吸收收同同时时注注意意到到类类似似的的也也可可以以建建立立差差分分方方程程当此随机

20、游动为当此随机游动为对称对称时，即时，即p=q，则，则abpab当此随机游动为当此随机游动为不对称不对称时，即时，即 ，pq11aaa bp qpp q4 赌徒输光问题赌徒输光问题甲、乙两个人进行赌博甲、乙两个人进行赌博，他们的赌资分别为他们的赌资分别为a与与b，设定每局赌注为设定每局赌注为1，而甲乙两人赢的概率分别为，而甲乙两人赢的概率分别为p与与q，试求甲或乙输光赌本的概率。试求甲或乙输光赌本的概率。显然上述问题可以归属为两端带有吸收壁的随机游显然上述问题可以归属为两端带有吸收壁的随机游动问题，当两人赌技相当时，即动问题，当两人赌技相当时，即p=q,则甲输光的概则甲输光的概率为率为abpa

21、b而甲赢取全部赌资的概率为而甲赢取全部赌资的概率为aaqab即赌资越大，赢取的可能性更大。即赌资越大，赢取的可能性更大。四、推广的伯努利试验与多项分布四、推广的伯努利试验与多项分布1 多项分布多项分布设每次试验结果为设每次试验结果为r个，分别为个，分别为12,nA AA12(),1,2,1iirP Ap irppp其其概概率率为为且且 将这样的试验独立重复进行将这样的试验独立重复进行n次，则在次，则在n次试验中，次试验中，1122rrAkAkAk出出现现 次次，出出现现次次，出出现现次次的的概概率率为为121212!rkkkrrnp ppkkk120,2irkkkknn其其中中且且称称此此分分

22、布布为为，时时，就就退退化化为为二二多多项项分分布布项项分分布布.例例(p85例例5）人类血型分为）人类血型分为O,A,B,AB四型，假定某四型，假定某地区的居民中有这四种血型人的百分比为地区的居民中有这四种血型人的百分比为0.4,0.3,0.25,0.05，若从此地区居民中随机的抽取，若从此地区居民中随机的抽取5个人，试求两个个人，试求两个为为O型，其他三个分别为型，其他三个分别为A,B,AB型的概率。型的概率。解解 此问题可以归结到多项分布问题，因此它的概此问题可以归结到多项分布问题，因此它的概率应为率应为25!0.40.3 0.25 0.050.0362!1!1!1!p 作业作业习题二习题二 28、29、31、32、36帕斯卡资料帕斯卡资料帕斯卡帕斯卡(1623-1662)帕斯卡法国数学家、物理学家、近代概率论的奠基者。他提出一个关于液体压力的定律，后人称为帕斯卡定律。他建立的直觉主义原则对于后来一些哲学家，如卢梭和伯格森等都有影响。Jacob BernoulliBorn:27 Dec 1654 in Basel,SwitzerlandDied:16 Aug 1705 in Basel,Switzerland伯努利资料伯努利资料