矩阵理论第五章

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1、第五章第五章 矩阵分析矩阵分析 本章首先引入向量范数与矩阵范数，这在研究数值方法的收敛性,稳定性及其误差估计方面有重要作用；其次，将高等数学中的极限，导数，积分和级数等概念与有关结果推广到矩阵的情形；最后，介绍矩阵序列，矩阵函数的概念及其计算方法，并引入矩阵函数在解微分方程方面的应用。第一节第一节 向量范数向量范数 第二节第二节 矩阵范数矩阵范数定理 设 是矩阵A的任意两种范数，则总存在正数d1,d2，使得AA,12,m ndAAdAAC 诱导范数诱导范数 定义4 设 是向量范数，是矩阵范数，如果对于任何矩阵 A 与向量 X 都有 则称矩阵范数 与向量范数 是相容的。定理5.2 设 是向量的范

2、数，则 满足矩阵范数的定义，且 是与向量范数 相容的矩阵范数。XAAXAXAXX0maxiXAXAXiAX定义定义 上面所定义的矩阵范数上面所定义的矩阵范数 称为由向量范数称为由向量范数 所所诱导的诱导的诱导范数诱导范数或或算子范数算子范数。iAX向量向量 p-范数范数 所诱导的矩阵范数称为矩阵所诱导的矩阵范数称为矩阵p-范数，范数，即即常用的常用的矩阵矩阵p-范数范数为为 ，和和 。pX0maxppXpAXAX1A2AA定理定理 设设 ，则，则（1）称此范数为矩阵称此范数为矩阵A的的列和范数列和范数。（2）表示矩阵表示矩阵AHA的的第第 j 个特征值。我们称此范数为矩阵个特征值。我们称此范数为矩阵A的的谱范数谱范数。m nAC11max(),1,2,mijjiAajn122max(),()HHjjjAA AA A（3）我们称此范数为矩阵我们称此范数为矩阵A的的行和范数行和范数1max(),1,2,nijijAaim第三节第三节 向量序列与矩阵序列的极限向量序列与矩阵序列的极限