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1、1第四节第四节 解线性方程组的解线性方程组的 超松弛迭代法超松弛迭代法2 2009,Henan Polytechnic University2 SOR迭代法迭代法是是GaussSeidel 迭代法的一种修正，迭代法的一种修正，可由下述思想得到可由下述思想得到.设已知设已知x(k)及已计算及已计算x(k+1)的分量的分量xj(k+1)(j=1,2,i-1).).()1()()1()()1()()1(kikikikikikixxxxxx (1)首先用首先用GaussSeidel 迭代法迭代法定义辅助量定义辅助量 ,)1(kix./)(1)(11)1()1(iinijkjijijkjijikiaxa
2、xabx (2)再由再由 与与 加权平均定义加权平均定义 ，即，即)1(kix)(kix)1(kix 建立迭代格式如下建立迭代格式如下:3 2009,Henan Polytechnic University3).,2,1(),()1(,/)()()1()()1()()1(1)(11)1()1(nixxxxxxaxaxabxkikikikikikiiinijkjijijkjijiki 即即niaxaxabxxiinijkjijijkjijikiki,2,1./)()(11)1()()1(0为为松弛因子松弛因子4 2009,Henan Polytechnic University4也可写作：也可写
3、作：).,2,1(/)(,),()(11)1()()1()0()0(1)0(niaxaxabxxxxxxxiinijkjijijkjijiiikikiTn niaxaxabxxiinijkjijijkjijikiki,2,1./)()(11)1()()1(此即为解此即为解Ax=b的的逐次超松弛迭代法逐次超松弛迭代法 (Successive Over Relaxation Method，简称，简称SOR方法方法).5 2009,Henan Polytechnic University5,)1()()()1(bxUDxLDkk ).()()()1()()1(kkkkkDxUxLxbDxDx nia
4、xaxabxxiinijkjijijkjijikiki,2,1./)()(11)1()()1(矩阵表示为：矩阵表示为：.)()1()(1)(1)1(bLDxUDLDxkk 其其逐次超逐次超松弛迭代矩阵松弛迭代矩阵为为.)1()(1UDLDB 逐次超松弛法可写为矩阵形式逐次超松弛法可写为矩阵形式6 2009,Henan Polytechnic University6 (1)显然，当显然，当=1时即为时即为GaussSeidel 迭代法迭代法.(2)SOR方法方法每迭代一次主要运算量是计算一次每迭代一次主要运算量是计算一次矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法.(3)当当 1时，称为时，称为超松弛法超松
5、弛法；当；当 1时，称为时，称为低低松弛法松弛法.(4)在计算机实现时可用在计算机实现时可用 )()1(11maxmaxkikiniinixxx控制迭代终止，或用控制迭代终止，或用 )()(kkAxbr控制迭代终止控制迭代终止.7 2009,Henan Polytechnic University7 例例 用用SOR方法解线性方程组方法解线性方程组Ax=b12344111114111.1141111141xxxx 解解 取初始向量取初始向量x(0)=0，迭代公式为，迭代公式为它的精确解为它的精确解为x*=(-1,-1,-1,-1)T.(1)()()()()()111234(1)()()()()
6、()221234(1)()()()()()331234(1)()()()()()441234(14)/4,(14)/4,(14)/4,(14)/4.kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 8 2009,Henan Polytechnic University8取取=1.3，第，第11次迭代结果为次迭代结果为(11)(0.99999646,1.00000310,0.99999953,0.99999912),Tx (11)520.46 10.满足误差满足误差迭代次数迭代次数k1.01.11.21.31.41.51.61.71.81.922171211(最少迭代次数最少迭代次数)1417233353109()5210.k 对对 取其它值，迭代次数如表取其它值，迭代次数如表.从此例看到，松弛因子选择从此例看到，松弛因子选择得好，会使得好，会使SOR迭代法的收迭代法的收敛大大加速敛大大加速.本例中本例中=1.3是是最佳松弛因子最佳松弛因子.
解线性方程组的超松弛迭代法法ppt课件
