求极值的若干方法

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1、求极值的若干方法1序言 一般来说函数的极值可以分为无条件极值和条件极值两类无条件极值问题即是函数中的自变 量只受定义域约束的极值问题；而条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外还受其它条 件限制的极值问题下面我们给出极值的定义定义1 1(P136)设函数f在点P的某邻域U (P )内有定义，若对于任何点P G U (P )，成立不 0 0 0等式f (P) f (P )，00则称函数f在点P取得极大(或极小)值，点P称为f的极大(或极小)值点极大值、极小值统00称为极值极大值点、极小值点统称为极值点2求解一元函数无条件极值的常用方法2.1 导数法定理1(刊42)设f在点X连续，在某邻域U

2、o (X ；5 )内可导.00(i) 若当 X G (X 一5 , X )时 f(x) 0,则 f 在点 X 取得极小0 0 0 0 0值(ii) 若当 X g (X 5,X )时 f(X) 0，当 x g (x ,X +5)时 f(X) 0，则 f 在点 X 取得极大0 0 0 0 0值由此我们可以推出当X G Uo (X ;5 )时，若f(x)的符号保持不变，则f (X)在X不取极值.00定理2 2(P142)设f在X的某邻域U(X0；5 )内一阶可导，在x = X0处二阶可导，且f (X) = 0，0 0 0f (X)丰 0 .若八x。) 0，则f在x0取得极小值.对于一般的函数我们既可

3、以利用定理1，也可以利用定理2，但对于有不可导点的函数只能用定理1例1求函数f (X)=x( X 2 1)的极值解显然f在X = 0, 土 1处不可导,f (x) = (3x2 一 l)sgn(x3 一 x)其中(x 丰 0, 土 1)3令f (x) = 0，得x = -，且f在x = 0, 1处导数不存在.当x e (一乜一1)时广(x) 0 , f (x)单调增加;当 x e f,0)时 f(x) 0 , f (x)单调增加;,1)时 f(x) 0 , f (x)单调增加,所以由定理1可以得到,32/3f (x)在x = r处取得极大值$ ，在x = 0 土1处取得极小值0 .若用定理2则

4、有f(x) = 6x sgn(x3 - x)其中(x丰0, 土 1),时，f(x)= 2J3 0 ；当 x = , f(x)= _2囂3 0,由此只能判断出f在x = 可 处取得极大值，而无法判断在不可导点x = 0,土 1处是否取得极值.定理2表明若函数/(x)在稳定点x0处的二阶导数八x)丰0，则稳定点x0-定是函数/(x)的 极值点，但如果遇到f( x) = 0时应用定理2无法判别，这时需借助更高阶的导数来判别.定理3(pi43)设f在x某邻域内存在直到n-1阶导函数，在x处n阶可导，且00f(k)(x ) = 0(k = 1,2，n -1), f (n)(x )主 0，则0 0(i)

5、当n为偶数时，f在x取得极值，且当f(n)(x ) 0时取极小值.0 0 0(ii) 当n为奇数时，f在x处不取极值.0例 2 求函数 f (x) = x4(x+1)3 的极值4解 由于f (x) = x3(x +1)2(7x + 4)，因此x = 0,-1,-7是函数f (x)的三个稳定点.f的二阶导数为f(x) = 6x2(x +1)(7x2 + 8x + 2),44由此得，f(o)=八-1) = 0及广(-7) 0 由于n = 3为奇数，由定理3知函数f在x = -1处不取极值，再求 f 的四阶导数f (4) (x) = 24(35 x3 + 45x 2 +15 x +1),有f(0)

6、0 .因为n = 4为偶数，故f在x = 0处取得极小值.综上所述，f (0) = 0为极小值，44 36912f (-)= (-)4(-)3 = 823543 为极大值，2.2对某些复杂函数求极值的特殊方法对某些比较复杂(比如含根号)的函数，求导数、稳定点比较困难，计算容易出错，这时我们 可以利用f ( x)与fn ( x)有相同的极值点(极值的类型可能不同)这一特点，把复杂的函数转化为一 般函数再求解推论1 3(p36)设x为f (x)的极大(小)值点，则有：01)如果f (x) 0，则f (x)与fn(x)有相同的极值点和极值.2)如果f (x) 0，则f (x)与f2n+1(x)仍有相

7、同的极值点，但f (x)与f2n(x)的极值的类型恰恰相反，即x为f 2n (x)的极小(大)值点.0例3求函数y = (x-8)2 5(x +1)4的极值.解 因为 y5 二(x - 8)10(x +1)4，所以(y5)二 10(x - 8)9(x +1)4 + 4(x - 8)10(x +1)3 二 2(x - 8)9(x +1)3(7x -11).令(y 5)二 0，得 x1 = 1，x2 二 8，x3 = y，故当x e (-o-12(，8)时，(y5) 0，y5 单调增，所以y5在x = -1, x = 8处取得极小值0 ,在x二占1处取得极大值(辛叭斗8)4.114518 4根据推

8、论1得y在x = 1和x =8处取得极小值0,在x 处取得极大值(_7)2(_7)5 -若直接用对函数求导的方法可得441=2( x 8)( x +1)5 + 5( X 8)2( x +1)52( x 8)( x +1) + 4( x 8)21(x + 1)5显然导数较复杂，求稳定点比较困难，且有不可导点，直接求导数容易出错由上述方法可知稳定点，导数不存在的点是连续函数可能的极值点，此外函数可能的极值点还能是第一类间断点.我们假设f (x)在x的某邻域(x 5,x +5)内有定义，x是f (x)的第一类间0 0 0 0断点，根据极值的定义可得到 f (x) 在 x 处求极值的两个推论4( P1

9、1) 0推论2如果f (x ) lim f (x)且f (x ) lim f (x)则f (x)在点x处取得极大值0xtx。-00xtx+00f(x0)推论3 如果当x G (x 5,x )时，f (x)单调增加，当x G (x ,x +5)时，f (x)单调减少，0 0 0 0且f (x ) lim f (x)、f (x ) lim贝y在点x处取得极大值f (x ).0x t x0 00xt x0 +000类似地可以推出极小值I x3 x,x 0,例4求函数f (x) = c的极值.I x + 3, x 0 时，f(x) = (x3x ) = 3x3x (Inx +1)，1令f( x) =

10、0得稳定点x =，e11当 0 x 时，f( x) 时，f( x) 0，ee故f (x)在x = 处取极小值f ( ) - ()e .ee e又当x 0，f (x)单调增加；当 0 x -时 f (x)二 3 x3 x (Inx +1) 0，(f f - f 2)(P ) 0时，f在点P取得极小值；xx0xx yyxy00(ii) 当f (P ) 0时，f在点P取得极大值；xx0xx yyxy00(iii) 当(f f -f 2)(P) 0时，f2n(x, y)与f (x, y)有相同的极值点和极值类型，即(x ,y )为f2n(x, y) 00的极大(小)值点；当f (x, y) 0时，f2

11、n(x, y)与f (x, y)仍有相同的极值点，但它们的极值类型恰恰相反，即(x ,y )为f2n(x, y)的极小(大)值点.00下证结论1) , 2)，1)证 由极值的定义知，若(x ,y )是f (x,y)的极大(小)值点，则对于(x ,y )的某一邻域 0 0 0 0内的任一点(x,y)都有f(x，y) f (x ,y )，故有0 0 0 0f2n+1(x,y) f2n+1(x ,y )0 0 0 0反之，若 f2n+1(x,y) f2n+1(x ,y )，则有 0 0 0 0f(x,y) f(x ,y )，0 0 0 0即f2n+i(x, y)与f (x, y)有相同的极值点和极值

12、类型.2)当f (x, y) 0时，结论很明显，证略.下证当f (x, y) 0时,证不妨设(x0, y0)是f(x, y)的极大值点，则对(x0, y0)的某邻域内有f(x, y) f(x0, y0)，所以有f2T(x, y) f2n-1(x , y )，00由于 f ( x, y ) f21(x , y )f (x , y )， 0 0 0 0即 f2n(x, y) f2n(x , y ).所以(x , y )是 f (x, y)的极小值点.0 0 0 01x 2 y 2 1例5 求函数z = (x2 + y2)2(1 - )2 (0 a b)的极值.a 2 b2分析：直接对z求偏导，则有

13、z2 x211x1 ( + ) y2a 2a 2b2：(x 2 + y 2)(1 乂 召)a 2b 22 y2b2 (x2 + y2)(1-三不a 2 b 2z _y1(丄+)x-壬y显然计算相当麻烦，且(0,0)点为函数Z的不可导点，但也可能是函数的极值点，故直接求导不可取, 这时可利用命题1来求解.x2y 2解令 f 二 z 2 二(x 2 + y 2)(1-厉)(0 a 0，且有a 0，故点(0,0)为函数f的极小值点；bb在点(0,)有AC - B2 0，且有A 0，故点(0,)为函数f的极大值点;2 2而在点 (,0)有AC - B2 0，故函数f在点(,0) 不取极值又因为z n0

14、，从而由命题i可得函数z在点(0,0)取得极小值0，在点(0,=2)取得极大值-4 求解隐函数无条件极值的常用方法4.1 利用显函数极值问题的相应结论定理5 5(p26)设函数f (x ,x ,x ,y)具有一阶、二阶连续偏导数，且12nf (x ,x ,x ,y)丰0，则由方程f (x ,x ,，x , y) - 0所确定的n元函数y - y(x ,x ,，x )在 y 12n12n12n点P (x 0, x 0,，x0)取得极值的必要条件是：f (x 0, xo,xo, y o) - 0 (i -1,2,n)其中 0 12nxj 12nf (xo,xo,xo, yo) = 0 若记h12n

15、ijf(x o, xo,xo, y o)xx 12nf (xo,xo,xo, yo)y 12n(i, j = 1,2,n), H(P) = (h )oij nxn么，当H q为正定矩阵时，y = y (xi，打,xn )在P处取得极小值；当H (伫)为负定矩阵时,y = y(x ,x,x )在P处取得极大值；当H(P)为不定矩阵时，y = y(x ,x ,，x )在P处不取12noo12no得极值例6求由方程2x2 + y2 + z2 + 2xy - 2x- 2y - 4z + 4 = o所确定的函数z二z(x, y)的极值.解 令 f (x, y) = 2x2 + y2 + z2 + 2xy

16、 - 2x - 2 y - 4z + 4，解方程组f = 4 x + 2 y - 2 = o,xv f = 2 y + 2x 2 = o,yf = 2 x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy - 2 x - 2 y - 4 z + 4 = o.解得稳定点为P(0,1,1), P (0,1,3)，进而可得12f = 4， f =2， f=2， f (P)=-2，f (P)=2，xxxyyyzLz2所以厂21、厂-2-1、H(P)=， H(P )=，12显然H(P)为正定矩阵，H(P)为负定矩阵.12由定理5可知函数z二z(x, y)在点P(o,1)处取得极小值1,在点P (o,1)处取得极

17、大值3 .124.2利用拉格朗日乘数法 6( P167)这种方法是把原方程中的隐函数设为目标函数，把原方程设为约束条件，将隐函数极值问题转 化为求条件极值的问题例7求由方程2x2 + 2y2 + z2 + 8xz - z + 8 = o所确定的隐函数z = z(x, y)的极值.解 取目标函数f (x, y, z)二z，约束条件为原方程，作辅助函数L(x, y, z,九)=z + 九(2x2 + 2 y 2 + z 2 + 8xz - z + 8)，令L = 4 九 x + 8 九 z = 0,xL = 4 九 y = 0, 0 (九 H 0),xx yy xy168故所求之点P(万,0, )

18、, P (2,0,1)均为极值点，且当九 0时为极大值点，当九0时为极小1 7728值点由此得所求函数z = z(x, y)的极大值为-7，极小值为1 同样例 1 也可以用这种方法求解5 求解条件极值的常用方法5.1代入法化为无条件极值问题这种方法一般是从条件方程(以二元条件极值为例)9 (x, y) = 0中解出显函数y = y(x)代入z =(x, y(x) 中化为无条件极值问题,从而使问题简化例8求函数/(x, y) = x2 + y2在条件x + y 1 = 0下的极值.解由 x + y 一 1 = 0，得 y = 1 x ,(1)将代入f (x, y)，得f = x 2 + (1 x

19、 )2 = 2 x 2 一 2 x + 1 ,11 由二次函数的顶点式可知当x =-时，f取得极小值-.显然用这种方法比拉格朗日乘数法更简洁，但在求解过程中要注意几个问题：1) 这种方法适合用于比较简单的、含自变量较少函数，一般不超过三个；2) 对有些约束条件较复杂、不易从约束条件中解出显函数的函数，这时不适合用代入法求解；3) 在求解过程中如果不注意代入的条件则可能导致不完整甚至错误的答案刀(P42).例如求解原点到曲面(X-y)2 + z2二1的最短距离.用代入法求解时，如果将z2二1 -(x-y)2代I u = 2 y = 0,入 u = x2 + y2 + z2 得 u 二 x2 +

20、y2 +1 - (x y )2 二 1 + 2 xy，由x得可能的极值点为I u = 2x = 0.yP(0,0,1)与P (0,0, -1)，此时P，P到原点的距离均为1,而曲面(x- y)2 + z2 = 1存在到原点的1 2 1 2距离比1小的点，比如p(|,-2,0)就是这样的点，因此用代入法求解时，这样的最短距离不存在.而1 1 1 1用拉格朗日乘数法求解时，则可得到二个可能的极值点分别是=(2，-2，)与P(-，0)，且从 几何图形不难看出p，p正是两个最值点，最短距离为上?.原因是求u = x2 + y2 + z2在约束条342件(x- y)2 + z2 = 1的最值时，x与y的

21、取值范围必须满足|x- y 0，则函数f在P取条件极小；002) 若d2L(P ) 0,k = 1,2,3,4)下的12341234k k kk=1极值.解 设拉格朗日函数为L(x ,x ,x ,x ) = x2 + x2 + x2 + x2 +X(a x 一 1)，1 2 3 412 34 k kk=1对L求偏导并令它们都等于0,则有解得2又当九一时,工a 2kk 1所以当 xiai工a 2kk1LxiLX2丿Lx3Lx4=2 x + 九 a = 0,11=2 x + 九 a = 0,222 x + 九 a=2 x + 九 a44f ax -1 0.kkk1x (i 1,2,3,4),1工a

22、 2kk 1(i 1,2,3,4) 0, 0,f4 a2k k 1d2L 2(d2x + + d2x ) 0 ,14时, f 取得极小值,极小值为k15.3运用梯度法求条件极值将梯度法用于求条件极值问题，方程组gradf (x ,x，,x ) f 1 九grad申(x ,x，,x ),12nii 12i1申(x ,x，,x ) 0,(i 1,2,n-1).L i 12n解就是所求极值问题的可能极值点9( P 35).例10 9(P35)试求n个正数，其和为定值l的条件下，什么时候乘积最大，并证明x x (x + x + x ).2n n 12n证本题的实质是求y f (x ,x ,，x ) x

23、x x在条件x + x + + x l下的最大值问12n12n12n题.根据本文定理，列出下列方程组，求解可能的极值点grad(xxx )九grad(x + x + x /),1 2n12nx + x + + x l.12n进一步求解得xxx ,x x x ,xx x = X 1,1，,1,2 3 n 1 3 n1 2n-1x + x + + x = l.12n容易得到x = x12-v*一xn n根据题意，贝（丄,-，丄）是唯一的极大值点,也是最大值点所以n n nf (x ,x，,x ) -,一一 n丿即 nx x x W (x + x + + x ). *12n n 12n5.4 利用球

24、面坐标求条件极值利用空间坐标点M的直角坐标（x,y,z）与球面坐标（,申,0）之间的关系，应用这一变换可求解 含平方和（或可化为含平方和）运算的条件极值问题10（p96）例11 io（p96）求函数u = x2 + y2 + z2在条件（x y）2 - z2 = 1下的极值.解 利用球面坐标法，由目标函数u = x2 + y2 + z2, 可设x u sin申cos0, y = u sin申sin0, z = pu cos申，代入约束条件可得丄=sin2 申（2 - sin 20） -1 2u1311（当申=2兀，0 = 4兀时取等号），于是u 2，故所求极小值为u =-利用球面坐标求解条件极

25、值问题其解法优于代入法、乘数法，且解法简洁，省去了对极值充分 性的考虑，比一般的方法省事许多，同时所获得极大（小）值就是最大（小）值6 极值与最值的联系与区别及最值应用 在日常生活、工程技术与生产实践中，我们常会遇到这样的问题：在一定的条件下，怎样才能 使产品最多而用料最省，成本最低而利润最大等，这些问题通常都归结为数学中的最值问题下面 我们给出最值的定义口280）定义2设函数f在区域D上连续，如果存在D中的点P，P使得f （P ） = M，f （P） = m，0 1 0 1且对于任意的点P e D都有m f （P） M，则称M为f在D上的最大值，m为f在D上的最小值，P称为最大值点，P称为最

26、小值点.最大值与最小值统称为最值，最大值点与最小值点统称为 01最值点最值和极值在某种程度上有相似点，也有不同点，了解了极值与最值的关系有助于求解函数的 最值极值与最值的区别和联系：1）极值是函数在某点的局部性质，而最值是函数在区域的整体性质；2）在给定的区域上极值可能有多个，而最大（小）值最多各有一个；3）在区间内部最值一定是函数在某个区域的极值，极值未必是最值；4）极值点不能是边界点，最值点可以为边界点；5）如果函数的最值在某个区域内取得，该点一定是极值点；6）在整个区域上极小值可能大于极大值，而最小值一定不大于最大值 所以要求函数在区域上的最大（小）值，只要比较函数在所有稳定点、不可导点

27、和区域的边界点上的函数值，就能从中找出函数在该区域上的最大值与最小值通常在求闭区域上的多元函数的最值时，都按下列步骤进行第一步：在区域内部求出函数的所有稳定点和偏导数不存在的点；第二步：计算在这些点处的函数值及函数在区域边界上的函数值；第三步：比较上述所求值的大小，最大（小）者为最大（小）值在实际问题中，根据对问题的分析知函数的最值存在，而函数在区域内部只有一个稳定点，则 函数在该点的值就是所求的最大（小）值例 12 7（P176） 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求价格分别是P二18-2Q , P二12-Q （单位：万元/吨），Q , Q分别表示该产品在两个市场的

28、销售量 1 1 2 2 1 2（单位：吨），则该企业生产这种产品的总成本是C二2Q + 5，其中Q二Q + Q .12（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得 最大利润（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使 该企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润的大小解 （1）根据题意，总利润函数为L = PQ + PQ -(2Q + 5)=-2Q2 -Q2 + 16Q + 10Q -5，L =4Q +16 二 0, Q1L 2Q +10 = 0.Q22解得Q 4 , Q 5，则有P = 10（万元/t）,

29、P = 7（万元/t）.1 2 1 2因稳定点 (4,5) 唯一，且该实际问题一定存在最大值，故最大值必在稳定点处达到，最大利润为L 2x42 52 +16x4 +10x5 5 52 （万元）.(2)若实行价格无差别策略，则P P，于是有2Q Q 6 ,1 2 1 2 构造拉格朗日函数F 2Q2 Q2 + 16Q + 10Q 5 + X （2Q Q 6），1 2 1 2 1 2令F 4Q +16 + 2九0,Q1 F 2Q +10 九0,Q22F 2Q Q 6 0.、九12解得 Q 5， Q 4，九2，则得 P P 8，1 2 1 2最大利润为L 2x52 42 +16x5 +10x4 5 4

30、9 （万元）.由上述结果知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润参考文献：1 华东师范大学数学系编.数学分析下册M.高等教育出版社，20022 华东师范大学数学系编.数学分析上册M.高等教育出版社，20023 孟赵玲，许燕.函数极值的两个简单求法J.北京印刷学院学报，2005, 094 王金金，任春丽.函数在间断点处的极值问题J.高等数学研究，2006，035 单国莉.矩阵的正定性和隐函数的极值J.高等数学研究，2004, 126 李心灿，宋瑞霞，旭辉.高等数学专题十二讲M.化学工业出版社，20017 莫国良.关于用代人法求条件极值的一点注记J.高等数学研究，2004, 068 邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程M.高等教育出版社，19999 肖翔，伯生.用梯度法求条件极值J.上海工程技术大学教育研究，2006, 0110 李德新.球面坐标解一类条件极值问题J.高等数学研究，2005, 0911 吉艳霞.函数极值问题的方法探讨J.运城学院学报，2006, 0812 Stanley J.Farlow and Gray M.HaggarydCaculus and its ApplicationsMNew York: McGraw-Hill Publishing Company，1990