气体分子热运动的统计规律

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1、第十四章 气体分子热运动的统计规律 (statistical law of thermal motion of gas molecular) 14-1 平衡态 概率 统计平均值 (equilibrium state，probability，statistical mean quantity) 、平衡态(equilibrium state)1、概念( concept)宏观性质长时间不改变的状态2、描述( describe)( 1)状态参量压强P：单位面积上受到的压力)m 3 )(%(K)体积V：气体分子所能到达的空间单位面积的动量变化率温度T：气体的冷热程度VPT间关系一一物态方程MpV = R

2、T(但只有两个是独立变量)(2)几何图形(P 平衡态：点a(p、v) 准静态过程 过程：物态随时间的变化, 多点集合一一曲线 准静态过程：过程变化缓慢，每一步均可视为平衡态它在P V图上为一曲线，如ab。二、概率( probability)1、概念( concept) 事件出现的相对机会，即可能性2、表示( expression)N (N很大)次试验中，x事件出现了 N 次则X事件出现的概率 iP(X)=离散事件)N如果事件连续分布，且f (x)表示单位间隔中出现的概率， (亦称概率密度或分布函数)则出现在 dx 间隔中的概率 p( x) = f( x) d x3、 特性( specific

3、property )(1) 小于 1 , p (x)Wl(2) 归 1, Ep (x) =1 J f(x)dx = 104、等概率假设(postulate of equal probability)处于平衡态时，分子向各个方向运动概 率相等三、平均值( mean quantity)1 、 概念( concept )物理量的平均大小，表示量上加“一”如x2、 计算( computer )(1) 离散情况- 工x Nx =iL = x p + x p + +x pN 1 1 2 2 n n(2) 连续情况x = j xf (x) dx某变量的平均值二该量与分布函数的乘积对变量积分142气体压强与温

4、度的统计意义( statistical meaning of gas pressure and temperature ) 、气体的微观模型( microscopic model of gas )1、微观模型 ( microscopic model)(1) 分子可视为质点，同类分子的质量相同(2) 分子除碰撞外无其它相作用，而分子的碰撞为弹性碰撞2、验证( verification)不能直接用实验 而是根据其推论与宏观实际(气体宏观实验)一致性来检验、压强( pressure)1、 实质( substance)大量分子对器壁的碰撞，单位面积的动量变化率A s A s2、公式（formula）（

5、 1）如图，一个分子质量为 m ，速率为 v 的分子i与器壁As碰后动量大小的变化（在x方向上）v（力学）Ap = 一 2 mv cos 0 = 一 2 mvi i ix（2）一群处于斜高为v At，底面为iAs的柱体中速率基本为v的分子与As碰后的动量变化i 柱体中速率基本为 v 的分子数（设分子数密度为 n ，iiN = ni AsAtv c o s0i它们与As碰后动量的变化AP = N Ap = -2ni mv2AsAtiiix但据等概率假设，有一半的分子可能反向运动而不能与As同时相碰，故动量变化应修正减半，即A P = - ni mv2 A s A tiix斜柱体中各种速率分子与

6、As 相碰后引起总动量变化n v 2 AsAtA P =工 A Pi = - m 工 i 认nnn=一 nm 工 i v 2 A s A t（统计）n ix=一 nm v 2 A s A t据等概率假设v23vv2v2统计)故气体动量的变化2vA p = 一 nmA s A t3气体受到器壁的作用：At(4)根据牛顿第三定律，气体对器壁的作用力F = -F 压强公式据定义式中As1 一2n mv32丄2nmv322 -n 3kk1mv2为单个分子的平均动能2统计力学处理问题方法小结(1)对单个粒子：用牛顿力学规律(2)对大量粒子：用统计规律(求平均值)3、统计意义(statistical me

7、aning)公式的推导应用了统计的概念及方法压强是个统计量，是大量分子的集体表现，对少数几个分子说它们有多大压强无意义。三、温度( temperature)1、 公式( formula)由物态方程pv = MRT ,加工整理,得MRTP =-V卩NmRTVN mAn R2T = nkT = n 3kvN4式中 , nN为分子数密度V为玻耳兹曼常量故得3kT22、微观意义(microscopic meaning)从温度公式可以看出，温度随分子运动速度增减面增减温度是分子热运动剧烈程度的量度3、 统计意义( statistical meaning)从温度公式可以看出TK (统计平均量)温度是个统计

8、量，是大量分子热运动的集体表现，离开了大量分子，仅说单个分子 或少数几个分子，有多高温度是没有意义的。4、说明(explain)(1) 在很多物理公式中， k ， T 均以乘积形式同时出现，互不分离，故我们亦无必要 将其拆开，由于k T的量纲与能量相同，故也有人用能量单位来表示温度(2) P= n kT由物态方程PV = MRT导出，因此也有人将其符为物态方程 随堂小议( discuss on the class) 关于温度的概念：下列说法中不正确的是(3)(1) 温度的高低反映了物体内部分子运动剧烈程度的不同；(2) 气体的温度是分子平均平动动能的是度；(3) 从微观上看，气体的温度表示气体

9、每个分子的冷热程度；(4) 气体的温度是大量气体分子的集体形为，具有统计性143 玻耳兹曼分布律( Boltzmann distribution)、气体分子在重力场中的分布(distribution of gas molecular in gravity field)1、 等温气压公式( isothermal-pressure formula)(1) 公式( formula)p + dpz + dzp0z0利用空气柱模型可得压力差mgdp = -= -p g dzA s利用 p=nkt 可得密度p = nm =A sdzkT故 J P J g dzp T z 0处压强pkT0P 00积分得Im

10、gykTmgz pg,故 p p e kt p ert(1)00对应高度kTpRTpz ln 0 ln 0(2)mgpp gp式( 1)：等温气压公式 式(2)：等温高度公式(2)物理意义在温度不变情况下，大气压强随高温增加而接指数规律减少(Zf, Pl)2、气体分子在重力场中的分布( distribution of gas molecular in gravity field) 利用 P= nkT 可得mgzn n e kt0分子数密度n随咼z的增加而接指数规律减少mmp、玻耳兹曼他分布(Boltzmann distribution)1、公式( formula)可以得出(推导过程不要求).E

11、In A - 1kten分子数密度A 常量E 粒(分)子的能量iEiE玻耳兹曼因子kT2、物理意义(meaning of physics)具有E能量的分子数密度n随E的增加而按指数规律减少微观粒子优先占领 ii低能级。3、应用( application)很广，如分离同位素，激光理论等14-4 麦克斯韦速率分布律( Maxwell speed distribution)、麦克斯韦速率分布律( Maxwell speed distribution)1、内容(content)处于平衡态的气体，其分子处于某一速率附近(vv + dv ) 的数目dN与总分子数N之比dNm -_=4n()3 2 e 2k

12、t v2dv = f (v)dvN2 nKT(其推导不作要求)2、实质( substance)是一概率分布反映分子以速率v出在dv速率间隔内的分子占总分子数的比率，亦即出现概率。3、特点( characteristic)具有归一性，即J= 1 = J f (v) dvN、分布函数与分布曲线(distribution function and distribution curve)4、 分布函数( distribution function)2mv厶2 KT v 2dNNdv(1) 概念m3-f (v) = 4 n () 2 e2nKT2 )实质概率密度5、 分布曲线( distribution

13、 curve)1) 概念反映分布函数f (v)随v而变化的曲线(2) 得来 定量法 制表计算一连点成图vv.v12f(v)f1f 2 定性法1) v= 0, f (v) = 0,过 O 点，2) 初时 v T, v2竹 n e-kv2 l 陡小3) 而后v Tu v-kv2 缓慢大4) 拐点v = vp（3）几何意义曲线下方面积一概率曲线下方总面积=1（归一化）（A） 最概然速率 概念：对应拐点的速率 物理意义：分子以该速率出现概率最大由f = 0可得大小：dvI kTIRTv = 1.41= 1.41 ,Pm卩（4）影响分布曲线形状的因素： m=c T f, v f,右移，线矮平p T=c,

14、 m f, v （，左移，线陡峭p（参见附图）三、应用（ application）两种速率的计算1、平均速率(mean speed)v = j vf (v) dr =匝=1.6%疋=1.60,虽l mm卩8 1利用积分公式j x3 e -x2dx = - o202、平均根速率( root-mean-square speed )v 2 = j v 2 f (v )dr3kTm3、三种速率比较(1)大小V v2 : v : v = 1.73 :1.60 : 1.41p(它们有公共因子-)m( 2 )用途1=Vv 2分子(动能)能量v分子运动(平均自由程)v 分子按速率分布p、随堂练习(practi

15、ce on the class)1 、 注意( take note)(1) 理解f (v)的物理意义，会用它来分析简单情况下的分子分布。(2) 理解分布线与v的关系，会用m、T的变化分析判断分布曲线的形状。p2、 例题( example)例14一5设N (很大)个气体分子的速率分布函数2 - c (v - v )v (0 v v )0其中 c、 v 为常量，且已知，求0(1) 常量 c；(2)速率在00.3v 间分子数。0解(1)分布函数中的常量常由归一化条件求解由 J f (x) dv = J f (v) dv = J c (v 一 v ) vdv0 000v 3 v 3 Y v 3=一 c

16、 ( 一 v ) J = c = 13 2 0306c =v302)据麦克斯韦速率分布律可得A N-3v o=J f (v) dr Noo.oo6v3o( v 一 v ) vdvo6 v 3 vv=0.3 v ov 332 oo= o.216AN = o.21 6N 随堂小议(discuss on the class)设某温度下氢与氧的分布函数曲线如图所示则代表氧的分布函数曲线为(1) 曲线(2) 曲线()14-5 气体分子的平均动能 理想气体的内能(mean kinetic energy of gas molecular internal energy of ideal gas) 、自由度(

17、 free degree)1、 概念( concept)确空物体空向位置所需独立坐标数2、 数目( number)刚性分子）（1） 单原子分子一质点n i = t = 3（三平动）（2）双原子分子一两点一线n i = t + r = 3 + 2（三平二转）（3）三原子分子一两点一线一点n i = t + r = 3 + 2 + 1（三平三转）（多原子分子同三原子分子）、能量均分定理（equipartition theorem）1、 内容（ content ）（1） 单原子分子123e = mv = KT k22x 2 + 叮 +V 2 2=v2x= v 2 = v 2 2 （ 等概率 ） y2

18、2=1 - mv2一个自由度上的动能为丄2（2） 推广到一般情况均分定理各向运动机会相等。kT当气体处于平衡态时，每个自由度上都平均分配有 的平动动能22、证明（proof）不作要求分子总动能e = ikT.“ 2 = （t + r） kT三、理想气体的内能（internal energy of ideal gas）1、概念（ concept） 理想气体无相互作用 理想气体的内能等于组成理想气体的各分子动能之和2、1 个分子的平均动能（mean kinetic energy of a molecular）一 1i =(t + r) kT = kT223、lmol 分子 的内能(molar in

19、ternal energy)EmalN =上 N kT -RT4、M 物质的内能( internal energy of M matter )MiE = NE = RTmO 卩2可见，E仅为T的函数(对于一定量的理想气体)，T变则E也变，即MiA E = R A T卩2四、随堂练习( practice on the class )1、注意( take note)(1) 分清公式的物理意义(2) 分清气体(均作理想气体看待)的性质2、例题( example)例14-6计算500克氧气在0c时的分子平均动能摩尔内能及内能。解氧气为双原子分子所以i =5故氧分子的平均动能一 i 5 = kT = x

20、 1.38 x 10 -23 x 273 = 9.42 x 10 -21( J) 22氧气的摩尔内能i5E = RT=x 8.31 x 273 = 4.78 x 10 2 (J)m22氧气的内能Mi0.55E = RT =x x 8.31 x 273 = 7.47 x 10 3( J)卩 23.2 x 10 -2214-6气体分子的平均自由程( mean free path of gas molecular)、气体分子的热运动图象(thermal motion picture of gas molecular) 频繁碰撞曲折复杂、平均碰撞频率( mean collision frequency

21、 )1 、 概念( concept) 分子在单位时间里与其它分子的平均碰撞次数2、公式(formula) 在此时间内，分子与其它分子相碰的数目(1)其它分子不动设分子有效直径(两分子碰撞所能接运的最少距离)为D,分子数密度为n以D为半经，分子路径为轴，VAt为斜高作曲柱体如图A v = sh =冗 D 2 vA t体内平均分子数(它们均会与跟踪分子相碰)N = n A v = n 冗D 2 vA t(2)其它分子也动v应用相对速度u表示，其关系为u = : 2 v此时平均可碰分子数应修正为N = n兀D 2(丫2 v) A t故平均碰撞频率z = = 2n兀D 2v =nQ v(g=冗D 2)

22、At影响因数(正比于n)三、平均自由程( mean free path )1、 概念( concept ) 相邻两次碰撞间(自由)路程的平均值2、 公式( formula) 据定义，平均自由程v 1kT入=v t =-=-z V 2 n Q v 2qp影响因数反比于分子数密度 n。 随堂小议( discuss on the class )容积不变的容积储存有一定量的理想气体，温度为T，分子的平均速率为0，平 00均碰撞频率为z 0，平均自由程为九0。当温度T升至4T时其分子的平均速率v，0 0 0平均碰撞频率z，平均自由程为(l)v =4 v 0,z =2 z 0, h = h 0;(2)v = 2v0 =, z = 2zo,X = Xo；(2)作业(home work)14-1， 14-16 ， 14-23， 14-24 ， 14-27