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1、1.方向导数方向导数 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向的沿某一方向的变化率问题变化率问题),(yxfz 6-6 方向导数与梯度方向导数与梯度yxoxyltP0P6-6 方向导数与梯度方向导数与梯度1.方向导数方向导数讨论函讨论函z=f(x,y)在一点在一点P沿某一方向的变化率问题沿某一方向的变化率问题为始点的一条射线，平面上以是设),(000yxPxoyl是)cos,(coslell线同方向的单位向量，射与的参数方程为,cos0txx.cos0tyy),(t的某在点设函数),(),(000yxPyxfz）内有定义，（邻域0PUtpp0参数：xoyl),(000yxP),(yxPle0
2、 x0y).()cos,cos(000PUPltytxP上另一点，且为如果函数增量00000PP),()cos,cos(到与yxftytxf的比值的距离t|PP|0tyxftytxf),()cos,cos(0000即的方向导数，记作沿着方向在点限为函数的极限存在，则称此极（即趋于沿着当,|),()0P),(0000yxlflPyxftPl.),()cos,cos(lim|00000),(00tyxftytxflftyx0,11 e依定义，函数依定义，函数),(yxf在点在点P沿着沿着x轴正向轴正向、即当 l 与 x 轴同向xflf有时,2,0),1,0(P),(exyxf轴负向沿在点函数 即当
3、 l 与 x 轴反向有时,2,xflf关于方向导数的存在及计算：关于方向导数的存在及计算：方向导数是偏导数的推广方向导数是偏导数的推广定理定理 若函数若函数 在点在点 处可微处可微,则则000,P x y,f x y 在该点沿任一方向在该点沿任一方向 的方向导数均的方向导数均存在存在,且且,f x yl00000,cos,cosxyPffxyfxyl其中其中 为为 的方向余弦的方向余弦.cos,cos l证证)cos,cos(P00tytxlt上任意取一点在处可微，则，在由于)(f00yx)()(0PfPft)cos,cos(00tytxf),(00yxf).(cos),(cos),(0000
4、otyxftyxfyx|,|.PP0tt显然之间的距离与是其中因此，|),(|to)(o于是我们有tPfPftt)()(lim00tyxftytxft),()cos,cos(lim00000.cos),(cos),(0000yxfyxfyx 例例1 求函数 在点(1,2)处从点 到点 的方向的方向导数.yxyxf2),()2,1(0P)3,31(P解解首先计算f 在点(1,2)处的偏导数：,6|3|)2,1(2)12(yxxf.1|)12(yf其次计算给定方向的方向余弦.),1,3(PP0因为),21,23(lel同向的单位向量与),21,23()coacos(，余弦的方向即0PP故所求方向导
5、数.2133211236|)12(lf0000000000,cos,cos,cos.xyPzufx y zfx y zlfx y z 对于三元函数对于三元函数),(zyxfu 可以类似地定义点可以类似地定义点且的方向余弦为且的方向余弦为 ,则则lcos,cos,cos沿着方向沿着方向的方向导数的方向导数.0000,P xyzl0Pf在点可微在点可微若若例例2).1,3,1(,的坐标为又设方向设lzxyzxyu.)1,1,1(lfu点的方向导数在求函数解解根据定义先求 的方向余弦.l|)cos,cos,(cosll).111,113,111(cos|)1,1,1()1,1,1(xulfcos|)
6、1,1,1(yucos|)1,1,1(zu111211321112.11102.梯度梯度方向导数公式,cos),(cos),(|000000yxfyxflfxP),(),(00000yxfyxfgx令),cos,(cos0l),cos(|00lglg时，即0),(0lg00|lglfP),cos(0lgg,0方向一致与当gl方向导数取最大值：.|max00glfP这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值g梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 G 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则
7、对于每一点GzyxP),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 例例 3.|,),()3,2,1(gradfxyzzyxf求设解解).,(xyzxyzgradf).2,3,6(|)3,2,1(gradf例例4.已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点),(4222zyxrrqV),(zyxP试证处所产生的电势为.gradEV),(gradzyxVVVV),()()1(43222zyxzyxrqE沿着与电场强度相反的方向，电势增加率最高沿着与电场强度相反的方向，电势增加率最高.解解梯度计算的运算法则：梯度计算的运算法则：1.grad uvgrad ugrad v 2.grad u vv grad u u grad v 213.0;ugradvgrad u ugrad vvvv 4,ffgradf u vgrad ugrad vuv 其中有连续的一阶偏导数其中有连续的一阶偏导数f三、小结三、小结1.方向导数的概念方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）2.梯度的概念梯度的概念（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）3.方向导数与梯度的关系方向导数与梯度的关系.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf习题习题 6-6 1.3.5.7.8.
高等数学北大第二版66方向导数与梯度
