《科学计算引论》实验课：第七章 常微分方程初值问题数值解法

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1、科学计算引论科学计算引论实验实验第七章第七章 常微分方程初值问题数值解法常微分方程初值问题数值解法本章内容简介本章内容简介常微分方程初值问题常微分方程初值问题问题0(,(),()(),dyf t y tta bdty ay dyR d 维维ODE IVPs 7.1 基本离散方法基本离散方法 7.2 Runge-Kutta 方法方法 7.3 数值算法理论数值算法理论 7.4 数值方法的有效实现数值方法的有效实现Matlab解解ODE IVP函数函数ode45：单步，单步，Runge-Kutta(4,5)公式对公式对(Dormand-Prince公式公式)ode23：单步，单步，Runge-Kut

2、ta(2,3)公式对公式对(Bogacki&Shampine)q 显式法：显式法：ode15s：多步，基于数值微分公式的变阶算法；差分代数方程多步，基于数值微分公式的变阶算法；差分代数方程ode23s：单步，修正的单步，修正的2阶阶Rosenbrock公式公式q 刚性问题：刚性问题：ode113：多步，变阶多步，变阶Adams-Bashforth-Moulton预估校正算法预估校正算法ode23t：单步，梯形公式；适度刚性；差分代数方程单步，梯形公式；适度刚性；差分代数方程ode23tb：TR-BDF2方法（隐式方法（隐式RK）a=b t0 t1 t2 .tn tn+1 .tN-1 tN 计算

3、流程计算流程0yy1 12yny1ny+1Ny-Nyq 单步法的计算流程单步法的计算流程0yy1 1ky1 Nyq 多步法的计算流程多步法的计算流程kynn k 1yy kya=b t0 t1 .tk-1 tk .tn .tn+k-1 .tk tN.多步法的启动值可用某种同阶的单步法计算得到多步法的启动值可用某种同阶的单步法计算得到常见线性常见线性-方法方法11(1)nnnnyyhff q 线性线性 方法方法 1:l 显示显示Euler（欧拉）法（欧拉）法11(1)nnnnyyhff 1nnnyyhf 0:l 隐式隐式Euler法法1:2 l 梯形法梯形法11nnnyyhf 112nnnnhy

4、yff (0,1)改进的改进的Euler法法11(,)(,)2nnnnnnnhyyf tyf tyhf l 显示显示Euler法预估：法预估：1(,)nnnnyyhf ty l 梯形法校正：梯形法校正：11(,)(,)2nnnnnnhyyf tyf ty q 改进的改进的Euler法：法：单支单支-方法方法q 单支单支 方法方法 nnnnnnyyhfttyy111(1),(1)1:2 l 隐式中点公式隐式中点公式111(,)22nnnnnnttyyyyhf 线性线性多多步法步法q 线性线性k步法步法：kkin iin iiiyhf00 例：例：k=2：Milne公式公式221(4)3nnnnn

5、hyyfff q 启动值可用某种同阶的单步法计算得到启动值可用某种同阶的单步法计算得到Runge-Kutta方法方法q s 级级Runge-Kutta方法：方法：si nnijnjj njsnnjnjj njYyha f tc h Yisyyhb f tc h Yn,11,1(,),1,2,(,),0,l其中诸系数其中诸系数aij，bj及横标及横标cj为实数，为实数，h0为步长，为步长，i nninnnYy tc htanhyy t,(),()l i j 时诸系数时诸系数 aij=0：显式方法显式方法；否则为；否则为隐式方法隐式方法si nnjnijj njsnnjj njf tc h yha

6、 fisyyhb ffn,11,1(,),1,2,0,显式显式Runge-Kutta方法方法q 显式显式Runge-Kutta方法：方法：i nnijnjj njsnnjnjj njiYyha f tc h Yisyyhb f tc h Yn,1,111(,),1,2,(,),0,i nnjnijj njsnnjj njif tc h yha fisyyhb ffn,11,11(,),1,2,0,显式显式Runge-Kutta方法的阶方法的阶经典经典Runge-Kutta方法方法Gill方法方法q 常见常见Runge-Kutta方法方法算法算法7.1 Gill方法方法Runge-Kutta方法示例方法示例Runge-Kutta方法示例方法示例Runge-Kutta方法示例方法示例Runge-Kutta方法示例方法示例Runge-Kutta方法示例方法示例图图7.2 Gill方法解例方法解例7.2初值问题的解曲线图初值问题的解曲线图.上机实验上机实验自己动手B 编程对教材中的数值例子进行验证。编程对教材中的数值例子进行验证。