第10部分计算机图形学Bezier曲线

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1、11/24/2022李辉 副教授Bezier曲线R第2页11/24/2022第10部分 Bezier曲线内容nBezier 曲线历史nBezier 曲线的定义nBernstein基函数的性质nBezier 曲线的性质nBezier 曲线的递推算法nBezier 曲线的拼接nBezier 曲线的升阶和降阶第3页11/24/2022第10部分 Bezier曲线Bezier 曲线历史 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF

2、 的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。第4页11/24/2022第10部分 Bezier曲线三次Bezier曲线示例0P1P2P3P0P1P2P3P第5页11/24/2022第10部分 Bezier曲线Bezier 曲线的定义n定义 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），则Bezier曲线可定义为：其中：Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：1,0),()(,0ttBPtPniini),1,0()1()!(!)1()(,nittininttCtBiniiniinni 第6页11/24/2022第10部分 Bez

3、ier曲线Bernstein基函数的性质1.正性2.端点性质 1,2,1)1,0(01,00)(,nitttBniotherwiseniBotherwiseiBnini0)(1)1(0)0(1)0(,第7页11/24/2022第10部分 Bezier曲线3.权性4.对称性ninininiinnittttCtB00,1)1()1()()1,0(1)(0,ttBnini)()(,tBtBninni)1()1()1()1(1)(,)(,tBttCttCtBniiniinininninnnin第8页11/24/2022第10部分 Bezier曲线5.递推性),.,1,0(),()()1()(1,11,

4、nittBtBttBninini)()()1()1()1()1()1()()1()(1,11,)1()1(111)1(1111,ttBtBttttCttCtttCCttCtBniniiniininiininiinininiinni第9页11/24/2022第10部分 Bezier曲线6.导函数;,1,0 ),()()(1,1,1,nitBtBntBninini ),1,0()1()!(!)1()(,nittininttCtBiniiniinni 第10页11/24/2022第10部分 Bezier曲线Bezier 曲线的性质1.端点性质曲线端点位置矢量由Bernstein基函数的端点性质可以推

5、得，当t=0时，P(0)=P0；当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。otherwiseniBotherwiseiBnini0)(1)1(0)0(1)0(,第11页11/24/2022第10部分 Bezier曲线 切矢量 当t=0时，P(0)=n(P1-P0)，当t=1时，P(1)=n(Pn-Pn-1)，说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。101,1,1)()()(nininiitBtBPntP第12页11/24/2022第10部分 Bezier曲线 二阶导矢 当t=0时 当t

6、=1时 结论：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关)()2()1()(2,1202tBPPPnntPniiinii)2)(1()0(012PPPnnP)2)(1()1(21nnnPPPnnP第13页11/24/2022第10部分 Bezier曲线2.对称性由控制顶点 构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：),.,1,0(,*niPPinininininiininininniinniitBPtBPtBPtBPtC000,0,*)1()1()()()(*1,0t第14页11/24/2022第10部分 Bezier曲线3.凸包性 且 Bezier曲线P(t)在 中各点是

7、控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中。ninitB0,1)(),1,0,10(1)(0,nittBni 1,0t凸包第15页11/24/2022第10部分 Bezier曲线4.几何不变性Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点Pi(i=0,1,n)的位置有关，不依赖坐标系的选择。5.变差缩减性若Bezier曲线的特征多边形 是一个平面图形P0P1Pn，则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。第16页11/24/20

8、22第10部分 Bezier曲线Bezier曲线的矩阵表示1001111)(PPttC21020010221211)(PPPtttC32102300010033036313311)(PPPPttttC一次三次二次第17页11/24/2022第10部分 Bezier曲线n需求 计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。n基本递推算法 抛物线三切线定理Bezier曲线的递推算法1P 0P 2P 11P 10P 20P Bezier曲线上的点11202010211111110100PPPPPPPPPPPP第18页11/24/202

9、2第10部分 Bezier曲线11102021111010)1()1()1(tPPtPtPPtPtPPtP2210220)1(2)1(PtPttPtP1P 0P 2P 11P 10P 20P 第19页11/24/2022第10部分 Bezier曲线n递推性质 当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。二次Bezier曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。由四个控制点定义的三次Bezier曲线P30可被定义为分别由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)确定的二条二次Bezi

10、er曲线的线性组合第20页11/24/2022第10部分 Bezier曲线 由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,.,n)定义的n次Bezier曲线Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线 P0n-1与P1n-1的线性组合：由此得到Bezier曲线的递推计算公式 这便是著名的de Casteljau算法。Pn0即为曲线P(t)上具有参数t的点。1,0)1(11100ttPPtPnnnkninktPPtkPPkikiiki,.,1,0,.,2,1)1(0111第21页11/24/2022第10部分 Bezier曲线0P1P2P3P10P11P12P20P21P

11、30Pn=3时niP的递推关系第22页11/24/2022第10部分 Bezier曲线几何作图法求Bezier曲线 上一点（n=3，t=1/3）)3/1(30PP 011/30P1P2P3P10P11P12P20P21P第23页11/24/2022第10部分 Bezier曲线Bezier 曲线的拼接n拼接的需求 几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。第24页11

12、/24/2022第10部分 Bezier曲线b1Pn-2Pn-1P(t)an-1anPnQ0Q1b2Q2Q(t)要使它们达到G0连续的充要条件是：Pn=Q0；要使它们达到G1连续的充要条件是：Pn-1，Pn=Q，Q1三点共线，即：)0(1nab第25页Bezier曲线的升阶与降阶11/24/2022第10部分 Bezier曲线原始控制顶点P0,P1,.,Pn新控制顶点为P0*,P1*,.,Pn+1*第26页从Bezier曲线到B样条曲线n以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面有许多优越性，但有两点不足：其一是Bezier曲线或曲面不能作局部修改；其二是Bezier曲线或曲面的拼

13、接比较复杂。n1972 年，Gordon、Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方法的弱点。11/24/2022第10部分 Bezier曲线第27页B样条曲线11/24/2022第10部分 Bezier曲线在上式中，0 t 1；i=0,1,2,m所以可以看出：样条曲线是分段定义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi(i=0,1,2,m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。nknkkinitFPtP0,)()(样条曲线第28页B样条基函数11/24/2022第10部分 Bezier曲线knjnjnjnkjkntCntF01,)()1(!1)(F k,n(t)为 n 次B样条基函数，也称样条分段混合函数：式中：0 t 1 k=0,1,2,n 第29页二次B样条曲线11/24/2022第10部分 Bezier曲线n=2,二次B样条曲线m+n+1个顶点，三点一段，共m+1段。第30页11/24/2022第10部分 Bezier曲线图例(Bezier)第31页11/24/2022第10部分 Bezier曲线第32页11/24/2022第10部分 Bezier曲线图例(B样条）第33页图例(2重点、3重点)11/24/2022第10部分 Bezier曲线2重点3重点