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1、判断题：(1) 设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。丁(2) 距离空间中的列紧集都是可分的。丁(3) 若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。X(4) 任何一个Hilbert空间都有正交基。X(5) 设X是线性赋范空间，T是XX的有界线性算子，若T既是单射又是满射，则T有逆算子。X(6) 设X是线性赋范空间，若X与X*同构，则X必是完备的。丁(7) 设X是Hilbert空间，T是线性算子，满足5,y)(x,Ty),x,yX，则TL,X)OV(8) 设M匸X是线性赋范闭子空间，若x电M，则一定存在fX*，使0=0，f，X0)X0?f1(9) 设X是Banach空间，T是
2、X上线性算子，如果D(T)是X中的闭集且在X中稠密，则T有界。丁(10)设a匸&，定义12上的算子T为T()a，贝U,T)a。丁nnnnpn1设X是有限维赋范空间，试证：X上任意两个范数都是等价范数。证明：令X(x,),X,X,)，显然必存在有一个范数较强，不1122妨假设存在一个M0，使得xMx。取单位算子IL,X,X)，这时2112有IxMx，故I是有界线性算子，显然I是单射，满射，由逆算子定理21可知，I存在逆算子I-1，且有界，因而I-1x0，有Tx-Tx“。然而，在有限维空nk0nk00间X中，由于xb弱收敛，进而xb有界，所以有Tx矛盾，所以假若Tx,X按X的范数收敛。00n综述X
3、中弱收敛等价于按范数收敛。3定义12上的算子S为S(x,x，,x,)=(0,x,x,x,)，试证S有左逆12n12n但无右逆。证明：定义12上的算子H为H(x,x,x,)=(x,x,x,)，显然12n23n所以H为S有HS(x,x,x,)=H(0,x,x,x,-=(x,x,x，)，12n12n12n的左逆算子。另一方面，假设S存在右逆算子T，使得ST=I(其中I为单位算子)。取xe12使得x=(x,x,，x,)x=0或1;Z=1,2,显然x1，这时12niI=ST|=supSTxSTx0，使得对任意xeX有Txx，试证；T有有界逆T-1，且m证明：由条件1可以知道T为满射。令kerT=x|Tx
4、=则有0=Txmx,这时x=0,所以kerT=0，从而T为单射。由逆映射定理可以T存在逆映射T-1,易求T-1。m5.设X是线性赋范空间，xb是X中线性无关的序列，试证：存在nn=1f,X*，使得f=1且f(x)=：n=k。nnnk“0nk证明：令X=L(x,x，x,x，x),d=(x,X)。显然X,X，由i12i-1i+1niiiiHanna-Banach定理可知：存在feX*，使得f=1,f(X)=0,f(x)=d。iiiiiii取f=厶，得f=1且f(x)=rn=k。idnnk“0n=ki6. 设t,(a,b)，定义CiOa,b)上的泛函为F(f)=fQ),00|f|=maxf(x),f(x)。试证F,Ci(a,b)*。x,a,b)证明：任取，,R;f,g,C1(a,b),有F(f+g)=(f+g)(t)=fQ)+gr(t)=F(f)+F(g)000且F=f(t。)引f|,所以F,Ci(a,b)*。7. 若X是自反空间，弱收敛与弱*收敛等价。证明：显然在X中,弱收敛强于弱*收敛。假设序列f“X*,f,X*，nn=1有f”fo这时，对于任意的X,X，由于X是自反空间，存在nx=x*,X*，使得limx*(f)=limf(x)=f(x)，即ff。从而弱*收nnnn敛强于弱收敛。综上所述，弱收敛与弱*收敛等价。
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