《高中数学二项式定理高考复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学二项式定理高考复习（6页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、nn +1 nn a n b na, b a , b-rr +1nnba b nn ra brr +1n n课题：二项式定理一、知识要点1.二项式定理一般地,对于任意整数 ,都有 ( a +b )n =C 0 a n +C 1 a n -1b +LC n n n nbn,这个公式叫做二项式定理.【注意】等号右边的多项式叫做( a +b )n的二项展开式;C r ( rn=0,1,2,L n )叫做二项式系数,它与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数Crn一定为正,而项的系数与a , b的系数有关,正负不能确定. 公式右边共有 项,比二项式的次数 大 1. 各项的次数都等于二项式的幂指数
2、;字母 按降幂排列,次数由 递减到 0,字母 按升幂排列,次数由 0 递增到 . 二项式定理表示一个恒等式,对于任意的 ,该等式都成立.通过对 取不同的特殊值,可给某些问题的解决带来方便.令a=1, b =x,则得到一个比较常用的公式:(1 +x )n=1 +C1nx +C2nx2+L +Cnnxn；若令a=1, b=1,则得到一个组合数恒等式:2n=C0n+C1n+C2n+L+Cnn；2.二项展开式的通项二项展开式的第r +1项 Tr+1=Crna n r b r ( r=0,1,2,Ln )叫做二项展开式的通项.【注意】它表示二项式展开的第 r +1 项,该项的二项式系数是 C ,而不是
3、C ; 字母 的次数和组合数的上标相同; 与 的次数之和为 ; 是常量,=0,1,2, L , n是变量; 公式中第一个量 与第二个量 的位置不能颠倒; 整理通项时,一般要将通项中的系数和字母分开整理; 它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着 广泛的应用.3.二项式系数的性质一般地,( a +b )n展开式的二项式系数C0n, C1n, C2nL Cnn有以下性质 C r =nCn -rn; Crn+Cr -1n=Crn +1;当 rn -1 n -1 时, C ,2 2Crn+1Cr ,即当 n 为偶数时,二项式系数中,
4、 nnC 2n最大;当 n 为奇数时, 二项式系数中,Cn -12n和Cn+12n（两者相等）最大. C 0 +C 1 +C 2 +L +C n = n n n n2n；r n rrtrn3 2 2(ax +bx +c( C0n+C2n+L =C1n+C3n+L =2n -1,即二项式展开式奇数项系数的和等于偶数项系数的和,二、金典题型题型一:通项公式的应用求二项式展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项,解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据整数的整除性求解.若求二项展开式 中的整式项,则其通项公式中同
5、一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.【?例 1】已知在 3x-1 23 x n的展开式中,第 6 项为常数项.求 n ;求含 x2的项的系数;求展开式中所有的有理项.点评:解此类问题可以分两步完成 :第一,根据所给出的条件（待定项）和通项公式,建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和 的隐含条件（ , 均为非负整数,n r）;第二,根据所求的指数,再求所求解的项 . 1 【?例 2】若 x + x n展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为（ ）A.10 B.20 C.30 D.120题型二:系数最大值问题t在求展开式中系数最大项时,可设第 r +1项的系数为
6、t 最大,则利用 r +1( )【?例 3】已知 x +3 x 展开式各项系数和比它的二项式系数和大 992.t+1 rt+1 r+2,解不等式组即可得出.求展开式中二项式系数最大项; 求展开式中系数最大项.点评:应注意区分项的系数和二项式系数两个概念 .在求项的系数和时 ,常采用赋值法,求项的系数时 ,用 T 出.【变式训练】r +1来求,而二项式系数能直接写1.1 +2 x)n的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.题型三:赋值法的应用对形如 ax +b)n、(2 )m( a , b, c R )的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法,
7、 只需令x =1即可;对(ax+by )n(a , b R )的式子求其展开式各项系数之和,只需令x =y =1即可.【?例 4】已知 1 -2 x)7=a +a x +a x 0 1 22+L+a x 77.求 a +a +L +a ; a +a +a +a ; a +a +a +a ; | a | +| a | +| a | +L+| a | 1 2 7 1 3 5 7 0 2 4 6 0 1 2 7【变式训练】.12n3n )a xx 265- 1 2.对于 2x - 2 x 三、基础落实的展开式,求求各项系数之和;奇数项系数之和;偶数项系数之和. 1 1.二项式 x2 + x 5展开式
8、中,x的系数为（ ）A.5 B.10 C.20 D.40 2 2.如果 3x - 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 可能是（ ）A.6 B.8 C.9 D.10 x 2 1 3.已知 - x 的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于（ ）A.15 B.-15 C.20 D.-20 x 1 4.若 3 x - x n展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为（ ）A.-540 B.-162 C.162 D.540x 1 5.在 - 2 3 x n的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式的常数项为（ ）A.-7 B.7 C.-28 D.286.在 x+2
9、 x n的二项展开式中,若常数项为 60,则n等于（ ） A.3 B.6 C.9 D127. 1 mx - x 6的展开式中x3的系数为 15.则m的值为 .8.若 C3 n27+1=Cn +276( n 2 N * ,则 x - 3 x n的展开式中的常数项是 . （用数字作答）9.已知 - 9的展开式中, x 3的系数为49,则常数a的值为 .10.(1 -2 x)展开式中,所有项的系数之和为 ;(1 +x3 )(1 -2 x) 6展开式中 x 的系数为 .四、课堂小结与作业1.“各项的二项式系数”是指Cin(i=0,1,2,L , n),而“某项的系数”是指这一项的所有的系数;只有当字母的系数为 1时,某项的二项式系数与某项的系数才是相等的.2.二项式系数之和为 2n=C0n+C1n+C2n+L+Cnn;各项系数之和是每项的所有系数之和.3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意给字母赋值是求解的重要方法之一.4.注意 Tr+1=Crna n r br表示的是二项式展开式中的第r +1项,而非第r项,此式为二次展开式的通项.【作业】见复印件
高中数学二项式定理高考复习
