高考数学计数原理

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1、mmnmmmnmmnm0m nmm m 1n 0n 1 n 1 1rn r rnn * nrr回扣 8计数原理1分类计数原理完成一件事，可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m 种方法，在第二类办法中有 m 种方1 2法，在第 n 类办法中有 m 种方法，那么完成这件事共有 Nm m m 种方法n 1 2 n(也称加法原理)2分步计数原理完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可，做第一步有 m 种方法，做第二步有 m 种方1 2法，做第 n 步有 m 种方法，那么完成这件事共有 Nm m m 种方法(也称n 1 2 n乘法原理)3排列(1) 排列的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元

2、素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(2) 排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 An表示(3)排列数公式：A n(n1)(n2)(nm1)n(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，A n (n1)(nn2) 21n！.排列数公式写成阶乘的形式为 Ann！ ，这里规定 0！1. (nm)！4组合(1) 组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合(2) 组

3、合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 C 表示nA n！ n(n1)(n2)(nm1)(3)组合数的计算公式：C ，由于 0！1，A m！(nm)！ m！所以 C 1.n(4)组合数的性质：C Cn nm；C C C n1 n n.5二项式定理(ab) C a C a b C a b C b (nN )n n n n这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做 (a b) 的二项展开式，其中的系数 C (r n0,1,2，n)叫做二项式系数式中的 Cnanrbr叫做二项展开式的通项，用 T 表示，即展r1r

4、n r r01 n 1 nmn mrnn01 2 r n n13 502 4 n 1开式的第 r1 项：T C a b .r1 n6二项展开式形式上的特点(1) 项数为 n1.(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n.(3) 字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从 第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.(4)二项式的系数从 C ，C ，一直到 C ，Cn n n n.7二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 C C .n nn1 n1(2)增减性与最大值：二项式系数

5、C ，当 r 时，二n 2 2项式系数是递减的当 n 是偶数时，那么其展开式中间一项Tn -112的二项式系数最大当 n 是奇数时，那么其展开式中间两项Tn -112和Tn +112的二项式系数相等且最大(3)各二项式系数的和(ab) 的展开式的各个二项式系数的和等于 2 ，即 C C C C C 2 .n n n n n二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C C Cn n nC C C 2 n n n.1关于两个计数原理应用的注意事项(1) 分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计 数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独

6、立，用其中任何一种方法都可以做完这件事； 分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件 事(2) 混合问题一般是先分类再分步(3) 分类时标准要明确，做到不重复不遗漏(4) 要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律2对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1) 以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3) 先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数3排列、组合问题的求解方法与技巧121322131321 3 2

7、 1(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻 问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理； (8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件4对于二项式定理应用时要注意：(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细项的系数与 a，b 有关，可正可负，二项式系数只与 n 有关，恒为正(2) 运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出 r，再求所需的某项；有时需 先求 n，计算时要注意 n 和 r 的取值范围及它们之间的大小关系(3) 赋值法求展开式

8、中的系数和或部分系数和，常赋的值为 0，1.(4) 在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待 a、b.1用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出 现，这样的四位数有_个答案 18解析2 3利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如： 13 2，共可确定 8 个四位数，但其中不符合要求的有 2 个，所以所确定的四位数应有 18 个2某学习小组男女生共 8 人，现从男生中选 2 人，女生中选 1 人，分别去做 3 种不同的工 作，共有 90 种不同的选法，则男、女生人数分别为_答案 3,5解析 设男生人数为 n，则女生人数为 8n，由题意可

9、知 C C A 90，即 C C 15，n 8n 3 n 8n解得 n3，所以男、女生人数分别为 3、5.3将甲，乙等 5 位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所 大学至少保送一人的不同保送方法有_种答案 1503 12 2312 321 3737r7 rrr7 r r 7 2r52 5343 22 3443223444 454解析 先将 5 个人分成三组，(3,1,1)或(1,2,2)，分组方法有 C C5 5C C4 2225(种)，再将三组全排列有 A 6(种)，故总的方法有 256150(种)34 从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到 3

10、个班担任班主任(每班 1 位班主任)， 要求这 3 位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有_种答案 420解析 因为要求 3 位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1 男 2 女或 2 男 1 女若选出的 3 位教师是 1 男 2 女，则共有 C C A 180(种)不同的选派方案，若选出的 3 位教师5 4 3是 2 男 1 女，则共有 C C A 240(种)不同的选派方案，所以共有 180240420(种)不同的5 4 3选派方案a 15若二项式(2x ) 的展开式中 的系数是 84，则实数 a 等于_x x答案 1a a解析 二项式(2x ) 的通项公式为 T C (

11、2x) ( )x r1 7 x 1r5.故展开式中 的系数是 C 2 a84，解得 a1.x 7C 27 a x ，令 72r3，得6(x1) 4x(x1) 6x (x1) 4x (x1)x 等于_ 答案 1解析 (x1)4x(x1)6x(x1) 4x (x1)x (x1)x) 1.7某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲、乙两人中至少有一人参加，那么不 同的发言顺序有_种答案 720解析 A A 720(种)7 58如图，花坛内有 5 个花池，有 5 种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜 色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为_答案 420解析 若 5 个花池栽了

12、 5 种颜色的花卉，方法有 A 种，若 5 个花池栽了 4 种颜色的花卉，5则 2,4 两个花池栽同一种颜色的花，或 3,5 两个花池栽同一种颜色的花，方案有 2A 种；若535 4 3ax38 4r8 ra r r r333x3322222 2 25 个花池栽了 3 种颜色的花卉，方案有 A 种，所以最多有 A 2A A5 5 5 5420(种)方案 9若 x的展开式中，x 的系数为 7，则实数 a_.答案12解析 TrC x 1 84 4 a C x8 r，由 8 r4 得 r3，由已知条件 a C 7，则 a8 3 3 831 1 ，a .8 210 圆上有 10 个点，过每三个点画一个

13、圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为 _答案 120解析 圆上任意三点都不共线，因此有三角形 C 120(个)1011 一排共有 9 个座位，现有 3 人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而 且至多有两个空座，则不同坐法共有_种答案 36解析 可先考虑 3 人已经就座，共有 A 6(种)，再考虑剩余的 6 个空位怎么排放，根据要3求把 6 个空位分为 1,1,2,2，放置在由已经坐定的 3 人产生的 4 个空中，共有 C46(种)，所以不同的坐法共有 6636(种)12我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5 架舰载机(甲、乙、丙、 丁、戊)准备着舰，如果甲、

14、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着 舰方法有_种答案 24解析 先把甲、乙捆绑在一起有 A 种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有 A 种情况，2 2这样产生了三个空位，插入丙、丁，有 A 种情况，所以着舰方法共有 A A A 2263 2 2 324(种)13实验员进行一项实验，先后要实施5 个程序(A，B，C，D，E)，其中程序 A 只能出现在 第一步或最后一步，程序 C 或 D 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有_ 种答案 24232323122解析 依题意，当 A 在第一步时，共有 A A 12(种)；当 A 在最后一步时，共有 A A2 3 2 312(

15、种)，所以实验的编排方法共有 24 种14用 1,2,3,4,5,6 组成数字不重复的六位数，满足 1 不在左右两端，2,4,6 三个偶数中有且只 有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为_答案 288解析 从 2,4,6 三个偶数中任意选出 2 个看作一个“整体”，方法有 A 6(种)，先排 3 个奇3数，有 A 6(种)，形成了 4 个空，将“整体”和另一个偶数插在 3 个奇数形成的 4 个空中， 3方法有 A24 12( 种 ) 根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6612 432(种)若 1 排在两端，1 的排法有 A A 4(种)，形成了 3 个空，将“整体”和另一个偶2 2数插在 3 个奇数形成的 3 个空中，方法有 A 6(种)，根据分步计数原理求得此时满足条件3的六位数共有 646144(种)，故满足 1 不在左右两端，2,4,6 三个偶数中有且只有两个 偶数相邻，则这样的六位数的个数为 432144288.