高中数学选修2-2知识点总结(最全版)

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1、0高中数学选修 2-2 知识点总结第一章、导数1函数的平均变化率为Dy Df= =Dx Dxf ( x ) - f ( x ) f ( x +Dx) - f ( x ) 2 1 = 1 1 x -x Dx2 1注 1：其中 Dx 是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。 注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2 、导函数的概念 :函数y = f ( x)在 x =x 处的瞬时变化率是 0limDx0DyDx=limDx0f (x +Dx)-f(x ) 0 0Dx，则称函数y = f ( x)在点 x 处可导，并把这个极限叫做 0y = f ( x) 在 x 处的导数，记

2、作 f ( x )0 0或y |x =x，即 f ( x ) 0=limDx 0DyDx= limDx 0f ( x +Dx) -f ( x ) 0 0Dx.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。4 导数的背景（ 1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 5、常见的函数导数函数(1) y =c导函数y =0(2) y =xn(nN*)y =nxn -1(3) y =ax(a0,a 1)y =a x ln a(4) y =exy =ex(5) y =log x (a0,a 1, x 0a(6) y =ln x)y =y =1x ln a1x(7) y =sin

3、x(8) y =cos xy =cos xy =-sin x1 / 6=() () b bbaaabb6、常见的导数和定积分运算公式 :若 f (x)，g(x)均可导（可积），则有：和差的导数运算f ( x ) g ( x ) =f( x) g( x)f ( x ) g( x ) =f( x) g ( x ) f ( x ) g( x)积的导数运算特别地： Cf (x)=Cf(x)f ( x ) f ( x ) g ( x) -f ( x ) g ( x ) g( x ) g ( x ) 2( g ( x ) 0)商的导数运算复合函数的导数 1 -g ( x ) 特别地： =g x g 2 x

4、y =y ux u xbf (x)dx=F(a)-F(b)微积分基本定理和差的积分运算a（其中 F (x)=f(x)）f ( x) f ( x)dx =f ( x) dx f ( x) dx 1 2 1 2kf ( x) dx =k f ( x)dx( k为常数) 特别地： a a积分的区间可加性bf ( x ) dx =cf ( x)dx +bf ( x ) dx (其中a c 0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间 . 令 f ( x ) 0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。7.求可导函数 f(x)的极值的步骤：(1) 确定函数的定义域

5、。(1) 求函数 f(x)的导数 f ( x)(1) 求方程 f ( x ) =0 的根(1) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格， 检查 f / ( x ) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如2 / 6 bb b b1 2 m 1 2 m1f ( x) dx =c 果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处 无极值8.利用导数求函数的最值的步骤 :求 f ( x ) 在 a , b 上的最大值与最小值的步骤如下： 求 f ( x ) 在 a, b 上的极值； 将

6、 f ( x ) 的各极值与 f ( a ), f (b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9求曲边梯形的思想和步骤: 分割 近似代替 求和 取极限 （“以直代曲 ”的思想）10.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 1b1dx =b -aa性质 5 若 f ( x ) 0, x a,b，则bf ( x) dx 0a推广： f ( x) f ( x) L f ( x)dx =f ( x) dx f ( x ) dx L f ( x ) a a a a推广:b cf ( x) dx +2f ( x) d

7、x +L +bf ( x) dxa a c1ck11 定积分的取值情况 :定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是 0.( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积12物理中常用的微积分知识（ 1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。第二章、推理与证明知识点13.归纳推理的定义：从个别事

8、实 中推演出一般性 的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体 ，由个别到一般 的推理。14.归纳推理的思维过程大致如图：实验、观察概括、推广猜测一般性结论3 / 6 15.归纳推理的特点 :归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验， 因此，它不能作为数学证明的工具。归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点， 帮助人们发现问题和提出问题。16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也

9、相似或 相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊 到特殊的推理。17.类比推理的思维过程观察、比较联想、类推推测新的结论18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法 则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般 到特殊 的推理。19演绎推理的主要形式：三段论20.“三段论”可以表示为：大前题： M 是 P小前提： S 是 M 结论：S 是 P。其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特殊对象； 是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。21. 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直

10、接推证结论的 真实性。直接证明包括综合法和分析法。22. 综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推 出要证的结论。23. 分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的 式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件 . 分析法和综合法常结合 使用，不要将它们割裂开。24 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的， 从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一般步骤（1） 假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2） 从假设出发，经过推理

11、论证，得出矛盾；（3） 从矛盾判定假设不正确 ，即所求证命题正确。4 / 600纯虚数( a =0)26 常见的“结论词”与“反义词” 原结论词 反义词原结论词反义词至少有一个一个也没有对所有的 x 都成立 存在 x 使不成立至多有一个至少有 n 个至多有 n 个至少有两个至多有 n-1 个至少有 n+1 个对任意 x 不成立p 或 qp 且 q存在 x 使成立 p 且 qp 或 q27. 反证法的思维方法:正难则反28. 归缪矛盾（1） 与已知条件 矛盾 :（2） 与已有公理、定理、定义 矛盾；（3） 自相矛盾29数学归纳法（只能证明与正 整数有关的数学命题）的步骤(1) 证明：当 n 取第

12、一个值n0(n0N*)时命题成立；(2) 假设当 n=k (kN*，且 kn )时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从 n 开始的所有正整数 n 都正确注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。第三章、数系的扩充和复数的概念知识点30.复数的概念：形如 a+bi 的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位， a 叫实部， b 叫虚部，数集 C =a+bi | a, b R叫做复数集。规定： a +bi =c +di a=c 且 b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。实数 (b =0)31数集的关系： 复数Z 一般虚数(a0) 虚数 (

13、b 0) 32. 复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33. 复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数 z =a +bi ，都可以由一个有序实数对 ( a , b) 唯一确定。5 / 6222由于有序实数对 ( a, b ) 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。34. 求复数的模 (绝对值 ) 与复数 z 对应的向量 OZ 的模 r叫做复数 z =a +bi 的模 ( 也叫绝对值)记作 z

14、 或 a +bi 。由模的定义可知： z = a +bi = a2+b235.复数的加、减法运算及几何意义复数的加、减法法则： z =a +bi与 z =c +di ，则 z z =a c +(b d )i1 2 1 2注：复数的加、减法运算也可以按向量 的加、减法来进行。复数的乘法法则： ( a +bi )(c +di ) =(ac-bd )+(ad+bc)i。复数的除法法则：a +bi ( a +bi )(c -di ) ac +bd bc -ad = = + ic +di (c +di )(c -di ) c 2 +d 2 c 2 +d 2其中 c -di叫做实数化因子36.共轭复数 :两复数 a +bi与a -bi 常见的运算规律互为共轭复数，当 b 0时，它们叫做共轭虚数。(1) z = z ;(2) z +z =2a, z -z =2bi;(3) z z = z = z =a2+b2;(4) z =z ;(5) z =z z R(6) i4 n +1=i , i4 n +2=-1,i4 n +3=-i, i4 n +4=1;(7)(1i)21 +i 1 -i=i;(8) =i , =-i, 1 -i 1 +i1i 2=i(9)设w =-1+ 3i 2是 1 的立方虚根，则1 +w+w2=0 ， w3n +1=w,w3n +2=w,w3n +3=16 / 6